Hugging Face's logo

Datasets:
AI-MO
/
olympiads

Modalities:
Document
Dataset card Data Studio Files
xet
 Community
26
olympiads / MatematickiTalent /md /mk-jmmo /mk-2001.md
LxYxvv's picture
LxYxvv
add pdf files
802d9fe
preview code
|
Raw
History Blame
6 kB

JMMO 2001

  1. Во квадратна $3 \times 3$ таблица запишани се девет природни броеви такви што збирот на броевите запишани во секој ред, во секоја колона и на секоја дијагонали е еднаков на $m$. Докажи дека $3 \mid m$.

Решение. Нека броевите се $a_{i}, b_{i}, c_{i}, i=1,2,3$ (цртеж десно). Од условот на заадачата последователно добиваме:

(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)=3m(a1+a2+a3)+3b2+(c3+c2+c1)=3mm+3b2+m=3m3b2=m \begin{aligned} & \left(a_{1}+b_{2}+c_{3}\right)+\left(a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)+\left(a_{3}+b_{2}+c_{1}\right)=3 m \\ & \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)+3 b_{2}+\left(c_{3}+c_{2}+c_{1}\right)=3 m \\ & m+3 b_{2}+m=3 m \\ & 3 b_{2}=m \end{aligned}

од каде следува $3 \mid m$.

  1. Докажи дека во правилен деветаголник должината на страната е еднаква на разликата на должините на најдолгата и најкратката дијагонала.

Решение. Нека $A, B, C, D, E$ се темиња на правилен деветаголник означени како на цртежот десно. Тогаш $\overline{A B}=d_{2}$ е најдолгата дијагонала, $\overline{E C}=d_{1}$ е најкратката дијагонала и $\overline{A E}=a$ е страната на деветаголникот. Имаме

\VarangleAOE=360∘9=40∘,∡OAE=180∘−40∘2=70∘,∡OAB=180∘−4⋅40∘2=10∘,∡BAE=70∘−10∘=60∘,\VarangleOEC=180∘−2⋅40∘2=50∘,∡AEC=70∘+50∘=120∘. \begin{aligned} & \Varangle A O E=\frac{360^{\circ}}{9}=40^{\circ}, \measuredangle O A E=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}, \\ & \measuredangle O A B=\frac{180^{\circ}-4 \cdot 40^{\circ}}{2}=10^{\circ}, \measuredangle B A E=70^{\circ}-10^{\circ}=60^{\circ}, \\ & \Varangle O E C=\frac{180^{\circ}-2 \cdot 40^{\circ}}{2}=50^{\circ}, \measuredangle A E C=70^{\circ}+50^{\circ}=120^{\circ} . \end{aligned}

$a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$
$b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$
$c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$

Бидејќи $\measuredangle B A E+\measuredangle A E C=180^{\circ}$ и тоа се соседни агли на трансферзала добиваме $A B | E C$. Да повлечеме права $p$ низ точката $C$ која е паралелна со правата $A E$ и нека $p \cap A B=S$. Според тоа, $\measuredangle B S C=60^{\circ}$ и како $\measuredangle A B C=60^{\circ}$, залучуваме дека $\triangle S B C$ е рамностран. Значи,

a=BC‾=BS‾=AB‾−AS‾=AB‾−EC‾=d2−d1 a=\overline{B C}=\overline{B S}=\overline{A B}-\overline{A S}=\overline{A B}-\overline{E C}=d_{2}-d_{1}

што и требаше да се докаже,

  1. Рамностран триаголник со страна $a$ е впишан во кружница. На кружницата е избрана точка $M$. Определи го збирот на квадратите на растојанијата од точката $M$ до темињата на триаголникот.

Решение. Нека $M$ лежи на лакот $B C$ и нека $D$ е точка од отсечката $A M$ таква што $\overline{M B}=\overline{M D}$. Имаме $\measuredangle A C B=\measuredangle A M B=60^{\circ}$, како периферни агли над ист лак, па затоа $\triangle D B M$ е рамностран. Од $\measuredangle B A D=\measuredangle B C M$ (периферни агли над ист лак), $\overline{A B}=\overline{C B}$ и $\overline{B D}=\overline{B M}$ следува $\triangle A B D \cong \triangle C B M$, па

затоа $\overline{A D}=\overline{C M}$. Значи,

AM‾=AD‾+DM‾=CM‾+MB‾ \overline{A M}=\overline{A D}+\overline{D M}=\overline{C M}+\overline{M B}

Нека $E$ е подножјето на висината во рамностраниот триаголник $\triangle D B M$ и да означиме $\overline{A D}=x, \overline{A D}=\overline{D E}=y$. Тогаш $h=\overline{B E}=y \sqrt{3}$ и како триаголникот $A B E$ е правоаголен добиваме

a2=(x+y)2+(y3)2=x2+2xy+4y2. a^{2}=(x+y)^{2}+(y \sqrt{3})^{2}=x^{2}+2 x y+4 y^{2} .

Според тоа,

AM‾2+BM‾2+CM‾2=(x+2y)2+(2y)2+x2=2(x2+2xy+4y2)=2a2 \overline{A M}^{2}+\overline{B M}^{2}+\overline{C M}^{2}=(x+2 y)^{2}+(2 y)^{2}+x^{2}=2\left(x^{2}+2 x y+4 y^{2}\right)=2 a^{2}

  1. Определи го најголемот природен број $n$ таков што $n^{2}+2002 n$ е точен квадрат на некој природен број.

Решение. Нека $n^{2}+2002 n=a^{2}, a \in \mathbb{N}$. Тогаш $a=n+k$ за некој $k \in \mathbb{N}$, па затоа

n2+2002n=(n+k)22002n−2nk=k2n=k22002−2k=k22(1001−k) \begin{aligned} & n^{2}+2002 n=(n+k)^{2} \\ & 2002 n-2 n k=k^{2} \\ & n=\frac{k^{2}}{2002-2 k}=\frac{k^{2}}{2(1001-k)} \end{aligned}

Од последното равенство следува дека $k=2 m$ за некој $m \in \mathbb{N}$, што значи $n=\frac{2 m^{2}}{1001-2 m}$. Јасно, $1001-2 m>0$, па затоа $m \leq 500$. Сега, најголемиот природен број $n$ се добива кога во $n=\frac{2 m^{2}}{1001-2 m}$ имаме најголен броител и најмал именител, а тоа е за $m=500$. Конечно, бараниот број e $n=\frac{2.500^{2}}{1001-2.500}=500000$.

  1. Нека $a$ и $b$ се реални броеви такви што

a3−3ab2=44 и b3−3a2b=8 a^{3}-3 a b^{2}=44 \text { и } b^{3}-3 a^{2} b=8

Определи го $a^{2}+b^{2}$.

Решение. Имаме:

(a2+b2)3=a6+3a4b2+3a2b4+b6=a6−6a4b2+9a2b4+b6−6a2b4+9a4b2=(a3−3ab2)2+(b3−3a2b)2=442+82=2000 \begin{aligned} \left(a^{2}+b^{2}\right)^{3} & =a^{6}+3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}+b^{6} \\ & =a^{6}-6 a^{4} b^{2}+9 a^{2} b^{4}+b^{6}-6 a^{2} b^{4}+9 a^{4} b^{2} \\ & =\left(a^{3}-3 a b^{2}\right)^{2}+\left(b^{3}-3 a^{2} b\right)^{2} \\ & =44^{2}+8^{2}=2000 \end{aligned}

па затоа

a2+b2=20003=1023 a^{2}+b^{2}=\sqrt[3]{2000}=10 \sqrt[3]{2}