MatematickiTalent/md/mk-primary-regional/Bahfoa109U-aTVseRB70gQ.md

IX РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Задачите и решенијата се скенирани од книгата

Регионални натпревари по математика 83-95

Подготвена од Боривое Миладиновиќ

$\mathbf{V}$ одделение

1. Колку степени има аголот што го опишува минутната стрелка на часовникот за 5 минути?
2. Татко, мајка и ќерка сега имаат заедно 76 години. Таткото е за 4 години постар од мајката. Кога се родила ќерката, таткото и мајката заедно имале 46 години. Колку години има секој од нив сега?
3. Во еден магацин имало 120 големи и 40 мали конзерви. Вкупната маса на сите конзерви е $108 \mathrm{~kg}$. Масата на 3 големи конзерви е иста со масата на 8 мали конзерви. Пресметај ја масата, одделно, на една мала и една голема конзерва.
4. Правоаголник со плоштина $99 \mathrm{cm}^{2}$ има должина $9 \mathrm{cm}$. Пресметај ја плоштината на оној квадрат чиј периметар е еднаков на периметарот на правоаголникот.

v одделение

1. Бидејки часот има 60 минутк, тогаш $60: 5=12.5$ минути претставуваат $\frac{1}{12}$ од полниот агол, т.е. 360: $12=30^{\circ}$.
2. Керката има: (76-46):3=10 години. Мајката има: $(46-4): 2+10=31$ година. Таткото има: $31+4=35$ години.
3. Ако 3 големи конзерни имаат иста маса како 8 мали конзерви, тогаш 120 големи, ќe имаат иста маса со 320 мали конзерни.

Бидејки во магацинот имало вкупно 120 големи и 40 мали конзерви, следува (320+40) мали конзерви имаат маса од $108 \mathrm{kg}$, т.е. една мала конзерва има маса: 108:(320+40) $=0,3 \mathrm{kg}=300$ грама, а една голема ( $108000-300-40): 120=800$ грама.

4. Ако со а и в ги обележиме страните на правоаголннкот, тогаш:

$\mathrm{P}=\mathrm{a} \cdot \mathrm{b} ; 99=9 \cdot \mathrm{b} ; \mathrm{b}=11 \mathrm{~cm}$.

Периметарот на правоаголникот е: $\mathrm{L}{\mathrm{p}}=2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=40 \mathrm{~cm}$. Ако со $\mathrm{x}$ ја означиме страната на квадратот, тогаш: $\mathrm{L}{\mathrm{k}}=4 \mathrm{x}=40$, и $\mathrm{x}=10 \mathrm{cm}$. $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}^{2}=100 \mathrm{cm}^{2}$.

VI оделение

1. Докажи дека спроти поголема страна во триаголник лежи поголем агол.
2. Нека $x, y$ и z се рационални броеви, од кои еден е позитивен, еден е негативен и еден е еднаков на нула. Определи кој од тие броеви е позитивен, кој негативен. а кој е нула ако $\frac{x(y-z)}{z}>0$.
3. Ако некој број се подели со 63 се добива количник $n$ и остаток 59 . Пресметај го остатокот, добиен со делење на тој број со 21.
4. Низ средината на кракот $\mathrm{AC}$ на рамнокрак триаголник $\mathrm{ABC}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=$ $=10 \mathrm{cm}$, повлечена е нормала на самиот крак. Нормалата го сече кракот ВC во точката D. Периметарот на триаголникот ABD e $18 \mathrm{cm}$. Пресметај го периметарот на триаголникот $\mathrm{ABC}$.

VI одделенне

1. Hexa $\overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AC}}$.

Треба да докажеме дека $\alpha>\beta$. Повлекуваме отсечка AM, така што $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{CM}}$. Оттука имаме $\alpha_{1}=\delta$ и $\alpha>\alpha_{1}$, т.е. $\alpha>\delta$. Аголот $\delta$ е надворешен за триаголникот. Според тоа $\delta>\beta$. Следува дека $\alpha>\beta$.

2. За да е $\frac{x \cdot(y-z)}{z}>0$, потребно е $z \neq 0$ и $x \neq 0$ значи $y=0$.
3. Нека тој број е х, тогаш имаме:

Според тоа бројот поделен со 21 има остаток 17.

4. Триаголниците AMD и CMD се правоаголни со еднакви катети, што значи тие се складни. $\triangle \mathrm{ADC}$ е рамнокрак, т.е. $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{CD}}$.

Оттуха следува дека: $\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}=10 \mathrm{~cm}$.

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{DB}}$.

$18=\overline{\mathrm{AB}}+10$, . .e. $\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{~cm}$.

Според тоа $\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{AC}}$

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=8+10+10$.

$\mathrm{L}_{\mathrm{ABC}}=\mathbf{2 8} \mathrm{cm}$.

VII одделение

1. Докажи дека разликата од квадратите на два последователни природни броја е непарен број.
2. Даден е паралелограм $A B C D$. Нека P е средина на страната $A D$, а M средина на страната BC. Докажи дека отсечките AM и СР ја делат дијагоналата BD на три еднакви дела.
3. Картата за концерт чинела 180 денари. Кога цената на картата била намалена, бројот на посетителите се зголемил за $50 %$, а приходот се зголемил за $25 %$. Колку била новата цена на картата?
4. Дадени се кружниците $\mathrm{k}{1}\left(\mathrm{O}{1}, \mathrm{r}{1}\right)$ и $\mathrm{k}{2}\left(\mathrm{O}{2}, \mathrm{r}{2}\right)$ и правата р. Да се конструира права $t$ паралелна со правата $p$, така што кружниците $k_{1}$ и $k_{2}$ да отсекуваат од неа еднакви тетиви.

VII одделенне

1. Ако $x$ и $x+1$ се последователни природни броеви, тогаш имаме: $(x+1)^{2}-x^{2}=x^{2}+2 x+1-x^{2}=2 x+1, x \in N$
2. Отсечките AP и МС се еднакви и паралелни, тоа значи дека четириаголникот АМСР е паралелограм. Ако повлечеме отсечка TS|MC, тогаш и четириаголниците ATSP и TMCS се паралелограмн. Од тука следува дека $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{MC}}$; $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{BM}}$ : $\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$ и $\overline{\mathrm{PD}}=\overline{\mathrm{BM}}$.

Да ги разгледаме трнаголниците PRD; RTS и TB M.

।. $\overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{TS}}=\overline{\mathrm{PD}}$.

2. $\angle 1=\angle 2=\angle 3$
3. $\angle 4=\angle 5=\angle 6$, како агли со паралелни краци.

Според тоа $\triangle \mathrm{PRD} \cong \triangle \mathrm{RTS} \cong \triangle \mathrm{TBM}$, а од тоа следува дека $\overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{RT}}=\overline{\mathrm{TB}}$.

3. Нека х е бројот иа поранешии посетители. Тогаш приходот бил 180x. По намалупането на цената. прнходот е 180x-1.25-225x. а посетттели I.5x. Картата чнни:

225x:1.5x-150 денарм.

4. Начин на конструкција.

1. Низ $\mathrm{O}_{2}$ повлекувамс права $\mathrm{m}$ нормална на р
2. Вриниме транслација на $\mathrm{k}{1}$ за вектор $\overrightarrow{0 O}{1}^{\prime}$ вok Aкo $k_{2} \cap k_{1}={A$. B}. правата AB e бараната права $t$.

Aкo $k_{2} \cap k_{1}={M}$. правата te тан-

гента на $\mathbf{k}{1} \mathbf{n} \mathbf{k}{2}$.

Ако $k_{2} \cap k_{i}=\oslash$. тогаш задачата нема решение.

VIII одделение

1. Од равенката (a-3)x+(a-1):(3-x)=a+x-8 определи го $x$ ако е познато дека а $e$ корен на равенката $2(a-5)-3(a-2)=6(a-3)$.
2. Во паралелограм $\mathrm{ABCD}$, со периметар $48 \mathrm{~cm}$, отсечките што ги поврзуваат темињата А и В со средината на страната CD се заемно нормални. Пресметај ги должините на страните на тој паралелограм.
3. Низ темето $B$ на правоаголник $A B C D$ повлечена е права $\mathrm{p}$ нормална на дијагоналата BD. Темињата A и C, соодветно, се оддалечени од правата р за 6,4 $\mathrm{cm}$ и $3,6 \mathrm{~cm}$. Пресметај ги страните на правоаголникот.
4. Учениците Јован, Аница и Илија заедно имале 780 денари. Кога Јован потрошил $\frac{1}{4}$ од своите пари, Аница потрошила $\frac{1}{5}$, а Илија потрошил $\frac{3}{7}$, тогаш на сите им останале еднаква сума на пари. Колку пари имал секој од нив?

VIII оцеление

1. Прво ќe ја рениме птората равенка со што ḱe rо определиме a. 2a-10-3a+6-6a-18 $\Leftrightarrow \mathrm{a}=2$. Првата равенка гласи: $(2-3) x+(2-1)(3-x)=2+x-8 \Leftrightarrow x=3$.
2. Ако ја повлечеме техишната линија MP на правоаголниот триаголиих ABM, тогаш точката $\mathrm{P}$ е центар иа опишаната круххница околу правоаголниот трнаголиих, ( $\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}$ ).

Четириаголникот PBCM е роиб.

$\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{BC}}$. т.e. $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{BC}}$.

Пермметарот на паралелограмот $\mathrm{e}$ :

$\mathrm{L}=2 \overline{\mathrm{AB}}+2 \overline{\mathrm{BC}}$

$48=2(2 \overline{\mathrm{BC}})+2 \overline{\mathrm{BC}}-6 \overline{\mathrm{BC}}$, ,.e. $\overline{\mathrm{BC}}=8 \mathrm{cm}, \mathrm{a} \overline{\mathrm{AB}}=16 \mathrm{cm}$.

3. Од тек ныата А и С повлекуваме нориали $\mathrm{AA}{1}$ и $\mathrm{CC}{1}$ па дијагоналата BD. Четириаголниците AEBA ${1}$ и $\mathrm{CC}{1} \mathrm{BF}$ се правоаголиици, т.е. $\overline{\mathrm{BA}{1}}=6,4 \mathrm{~cm} \mathrm{n}$ $\overline{\mathrm{BC}{1}}=3,6 \mathrm{cm}$. Правоаголияте трмаголиици $\mathrm{AA}{1} \mathrm{D}^{\circ} \mathrm{CC}{1} \mathrm{B}{1}$ се ссладин. $\overline{\mathrm{DA}{1}}=\overline{\mathrm{BC}_{1}}=3,6 \mathrm{cm}$, r.e. $\overline{\mathrm{BD}}=10 \mathrm{cm}$.

Од теоремата 3 пропорционталит отсечики во правовголивот триаголитах ABD mame:

$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=\overline{\mathrm{BD}} \cdot \overline{\mathrm{BA}_{1}}$.

$\overline{\mathrm{AB}}^{2}=10 \cdot 6,4$

$\overline{\mathrm{AB}}=8 \mathrm{cm} \mathrm{n} \overline{\mathrm{AD}}=6 \mathrm{cm}$

4. Нека на секој му останале по $\mathrm{x}$ денари.

Ако Јован имал а денари, тогаш: $a-\frac{1}{4} a=x \Rightarrow a=\frac{4}{3} x$.

Ако Аннца венала $b$ денари, тогап: $b-\frac{1}{5} b-x \Rightarrow b=\frac{5}{4} x$.

Ахо Илија нмал с денари, тогаш: $c \cdot \frac{3}{7} c=x \Rightarrow c=-\frac{7}{4}$.

Бваејku a+b+c=780, mame: $\frac{4}{3} x+\frac{5}{4} x+\frac{7}{4} x=780 \Rightarrow x=180$ денарн.

Јован пмал 240 денари, Анпца 225 денарм и Илщја 315 денарв.