MatematickiTalent/md/mk-primary-regional/WRbDPDUYCkOai7Jtrgj7iA.md

V РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ

$\mathbf{V}$ одделение

1. Триесет ученици решавале 2 задачи од математика. И двете задачи ги решиле 10 ученици. Тројца ученици не решиле ниту една задача, 12 ученици ја решиле само првата задача. Колку ученици ја решиле првата, а колку втората задача?
2. Точките $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ се средини на две соседни страни од квадратот чија плоштина е $16 \mathrm{~cm}^{2}$. Определи ја плоштината на триаголникот чии две темиња се во $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$, а третото во темето на квадратот во кое се сечат страните на квадратот на коишто лежат точките $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$.
3. При делење на нехој број со 48 се добива количник п и остаток 36. Колкав ќe биде количникот, а колкав остатокот при делење на тој број со 16 ?
4. Миле има во едниот џеб парен број бонбони, а во другиот непарен број. Неговиот другар Петре сакал да погоди во кој џеб има парен, а во кој непарен број на бонбони и му рекол на Миле: "Помножи го бројот на бонбоните од десниот цеб со 2 , а од левиот цеб со 3 . Собери ги добиените производи и кажи ми го збирот, а јас ќe ти кажам во кој цеб имаш парен, а во кој непарен број на бонбони."

Дали Петре сигурно ќе погоди ? Образложи го одговорот.

v одделение

1. Само втората задача ја решиле: $30-(10+3+12)=5$ ученици. Првата задача ја решиле $10+12=22$ ученици. Втората задача ја решиле $10+5=15$ ученици.
2. Ако а е страна на квадратот, тогаш плоштината на бараниот триаголник $\mathrm{e}$ :

$\mathrm{P}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{a}}{2} \cdot \frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{8}=\frac{16}{8}=2 \mathrm{~cm}^{2}$.

3. Ако е $x$ - дадениот 6рој, тогаш:

$x=48 n+36 ; \quad x=16 \cdot 3 n+2 \cdot 16+4 ; \quad x=16(3 n+2)+4$.

Количникот при делењето на дадениот број $x$ со 16 е за два поголем од трихратната вредност на вториот количник, а остатокот е 4 .

4. а) Да претпоставиме дека во десниот цеб има парен 6 рој, т.е. 2 p, а во левнот непарен, т.е. $2 k+1$ бонбони, $k, p \in N$.

$$n=(2p)\cdot 2+(2k+1)\cdot 3;n=4p+6k+3;n=2(2p+3k+1)+1n=(2\; p)\; \backslash cdot\; 2+(2\; k+1)\; \backslash cdot\; 3\; ;\; \backslash quad\; n=4\; p+6\; k+3\; ;\; \backslash quad\; n=2(2\; p+3\; k+1)+1$$

Се добива непарен број, што е исто со претлоставката дека во левиот реб има непарен број на бонбонн.

б) Нека во десниот џеб има $2 p+1$, а во левиот $2 k$ бонбони, $k, p \in N$.

$$n=(2p+1)\cdot 2+2k\cdot 3;n=4p+2+6k;n=2(2p+3k+1)n=(2\; p+1)\; \backslash cdot\; 2+2\; k\; \backslash cdot\; 3\; ;\; n=4\; p+2+6\; k\; ;\; \backslash quad\; n=2(2\; p+3\; k+1)$$

Се добива парен број, што е исто со претпостапката дека во левиот џеб има парен број бонбони.

Петре сигурно погодил. Добиениот збир ке биде од ист вид броевн (парен, непарен). Како што бил бројот на бонбоните во левиот џеб.

VI оделение

1. Еден ден во една паралелка биле отсутни $\frac{1}{12}$ од учениците. Наредниот ден дошол еден ученик повеќе, така што отсутни биле $\frac{1}{18}$ од учениците. Колку ученици имало во паралелката?
2. Три лица поделиле извесна сума пари на следниот начин: Првиот добил $\frac{1}{3}$ од сумата и уште 72 денари. Второто лице добило $\frac{1}{3}$ од остатокот и уште 72 денари, а третото лице добило $\frac{1}{3}$ од новиот остаток и уште 72 денари. Колкава била сумата на парите и по колку денари добило секое лице ?
3. Нацртај два напоредни агли и конструирај ги нивните симетрали. Докажи дека симетралите на аглите се заемно нормални.
4. Одреди го бројот $\mathrm{m}$, така што точката $\mathrm{A}(-2,2)$ да припағ́а на графикот на функцијата $y=(-3 m+2) \cdot x+m-1$. За добиената вредност на $m$ нацртај го графикот на функцијата и одреди ја нејзината нула.

VI ойеленне

1. Еден ученик препстанува $\frac{1}{12}-\frac{1}{18}=\frac{1}{36}$, од бројот на ученнците во паралелката. Во паралелката пмали 36 ученици.
2. Нека сите пари изнесуваат $\mathrm{x}$ денари.

Првото лице добшло: $\frac{1}{3} \mathrm{x}+72$; остануваат $\mathrm{x}-\left(\frac{1}{3} \mathrm{x}+72\right)=\frac{2}{3} \mathrm{x}-72$ денари.

Второто лице добило: $\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3} x-72\right)+72=\frac{2}{9} x+48 ;$ остануват

$$(\frac{2}{3}x-72)-(\frac{2}{9}x+48)=\frac{4}{9}x-120\text{ денари. }\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}\; x-72\backslash right)-\backslash left(\backslash frac\{2\}\{9\}\; x+48\backslash right)=\backslash frac\{4\}\{9\}\; x-120\; \backslash text\; \{\; денари.\; \}$$

Третото лице добило: $\frac{1}{3}\left(\frac{4}{9} x-120\right)+72=\frac{4}{27} x+32$ денари.

$$(\frac{1}{3}x+72)+(\frac{2}{9}x+48)+(\frac{4}{27}x+32)=x\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\; x+72\backslash right)+\backslash left(\backslash frac\{2\}\{9\}\; x+48\backslash right)+\backslash left(\backslash frac\{4\}\{27\}\; x+32\backslash right)=x$$

оттука добиваме дека $\mathrm{x}=513$ денари, па прмото лице добило 243 денари, второто 162. а третото 108 денари.

3. Налоредни агли се агли кои вмавт зведннчки крак, а другите два крака образуваат права.

$\alpha+\beta=1800$ и $\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=90^{\circ}$ T.e. $s_{\alpha} \perp \mathrm{s} \beta$.

4. Ако $г и$ замениме координатите на точката А во дадената функцнја добиваме:

$2=(-3 m+2) \cdot(-2)+m-1$, т.e. $m=1$,

За $\mathrm{m}=1$ функцијата е $\mathrm{y}=\mathrm{x}$, нејзиниот график е симетрала на вториот и четвртвот квадрант. Нула на функцијата е бројот 0 .

VII одделение

1. Една фудбалска екипа одиграла извесен број на натпревари. Во $\frac{2}{3}$ од натпреварите победила, $\frac{1}{4}$ загубила, а другите ги одиграла нерешено. Колку натпревари одиграла екіпата, ако бројот на загубените натпревари е за 4 поголем од бројот на нерешените ?

број.

3. Низ темето $B$ на квадрат $A B C D$ повлечена е права нормална на дијагоналата $\mathrm{BD}$ ( $\overline{\mathrm{BD}}=6 \mathrm{~cm}$ ). Одреди ја должината на отсечката од оваа права што ја отсечуваат продолженијата на страните DA и DC.
4. Низ пресечната точка А на две дадени кружници $\mathrm{k}{1}\left(\mathrm{O}{1}, \mathrm{r}{1}\right)$ и $\mathrm{k}{2}\left(\mathrm{O}{2}, \mathrm{r}{2}\right)$ повлечи права $p$, така што тетивите на дадените кружници, кои лежат на правата $\mathrm{p}$ се складни.

VII одяеление

1. Ако екипата одиграла $\mathrm{x}$ натпревари, тогаш: $\frac{2}{3} \mathrm{x}$ победила; загубените натшревари биле $\frac{1}{4} x$, а нерешено играла $x-\frac{2}{3} x-\frac{1}{4} x=\frac{1}{12} x$ натпревари. Според тоа: $\frac{1}{4} x-\frac{1}{12} x=4$ т.е. $\mathbf{x}=\mathbf{2 4}$.
2. Треба да докажеме дека бројот е делив со 2 и со 3. Производот $n(n+1)$ е секогаш делив со 2, бидејќи од два последователни прнродии броја еден е секогаш парен. Треба да покажеме дека $x=n(n+1)(2 n+1)$ е делив $\infty 3$. Остатоците при делењето со 3 можат да бидат 0.1 и 2 , т.е. $n=3 k, n=3 k+1$ и $n=3 k+2$.

а) за $n=3 k$ се добива $x=3 k(3 k+1)(6 k+1)$, т.е. $3 \mid x$ :

6. за $n=3 k+1$ се добква $x=(3 k+1)(3 k+2)(6 k+3) ; x=(3 k+1)(3 k+2) 3(2 k+1)$, т.е. $3 \mid x$ :

в) за $n=3 k+2$ се добива $x=(3 k+2)(3 k+3)(6 k+5) ; x=(3 k+2) 3(k+1)(6 k+5)$, т.е. $3 \mid x$.

Според тоа бројот е делів со 3, т.е. даденнот број е природен.

3. Нека' $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ се пресечни точки на правата со продолженијата на страните DA и DC.

Отсечката MNLBD, следува дека $\angle \mathrm{BDN}=45^{\circ}$,

т.е. $\triangle$ DBN е рамнокрак правоаголен, т.е.

$\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{DB}}$. Од исти причини и тркаголникот

DBM е рамнокрак правоаголен, т.е.

4. Ако кружницата $k_{2}$ ја ротираме со центар во точката А за агол од 1800 (во $k_{2}$ ').

тогаш $\mathbf{k}{2}{ }^{\prime} \cap \mathbf{k}{\mathbf{1}}={\mathrm{B}}$. Бараната права $\mathrm{p}=\mathrm{AB}$. Aко $\mathrm{k}{1} \cap \mathrm{k}{2}={\mathrm{A}, \mathrm{C}}$, тогаш втората права е

$\mathrm{PI}=\mathrm{AC}$.

VIII одделение

1. Колку години има човек кој во 1987 година ќе има онолку години колку што изнесува збирот на цифрите на годината во којашто се родил тој човек?
2. Докажи дека збирот од бројот $\overline{x x y у}$ и бројот напишан со истите цифри, но во обратен ред е делив со 101 .
3. Докажи дека средната линија на тангентен рамнокрак трапез е еднаква на кракот
4. Докажи дека кружницата на која висината на рамнострани триаголник е дијаметар, ги сече двете страни од триаголникот во точки што ги делат во однос $1: 3$

VIII одиеление

1. Човекот е роден во овој век затоа што ако е родеи во минатнот век би имал најмногу $27=1+8+9+9$ години, што е невозможно. Според тоа:

$1987-19 \overline{x y}=1+9+x+y$. По сведувањето се добива $y=\frac{11(7-x)}{2}$, при што $x, y={0,1,2, \ldots, 9}$. Добнениот услов е задоволен само за $x=7$ и $y=0$, т.е. човекот е роден во 1970 , а во 1987 година има 17 години. 2. Oд $^{\mathrm{xxyy}}+\overline{\mathrm{yyxx}}=\left(x \cdot 10^{3}+x \cdot 10^{2}+10 \cdot y+y\right)+\left(y \cdot 10^{3}+y \cdot 10^{2}+10 \cdot x+x\right)=1111 \cdot(x+y)=101 \cdot 11 \cdot(x+y)$, т.е. збирот е делив $о 101$.

3. Неха долирните точки соодветно се M, N, P, Q. Од еднахвоста на должините иа тангентните отсечки од иста точка имаме: $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AQ}} ; \overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{BN}} ; \overline{\mathrm{CP}}=\overline{\mathrm{CN}}$ и $\overline{\mathrm{DP}}=\overline{\mathrm{DQ}}$. Средната лниија е:

$m=\frac{\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{CD}}}{2}=\frac{2 \overline{\mathrm{AM}}+2 \overline{\mathrm{DP}}}{2}=\overline{\mathrm{AM}}+\overline{\mathrm{DP}}=\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{DQ}}=\overline{\mathrm{AD}}$.

4. Триаголниците CDB и DMB се правмаголии. а $\angle$ В им е заедничкн. Оттука следува дека се слични. т.е. нивните страни се пропорционални .

$$\frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{M}}}{\mathrm{D}\mathrm{B}}=\frac{\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}}{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}\backslash frac\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{BM\}\}\}\{\backslash mathrm\{DB\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{DB\}\}\}\{\backslash overline\{\backslash mathrm\{BC\}\}\}$$

Бидејќи $\overline{\mathrm{DB}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}$ следи: $\overline{\mathrm{BM}}=\frac{\overline{\mathrm{DB}}^{2}}{\overline{\mathrm{BC}}}$ :

$\overline{\mathrm{BM}}=\frac{\left(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}\right)^{2}}{\overline{\mathrm{BC}}}=\frac{1}{4} \overline{\mathrm{BC}} \cdot \mathrm{a} \overline{\mathrm{MC}}=\frac{3}{4} \overline{\mathrm{BC}}$. ..e. $\overline{\mathrm{BM}}: \overline{\mathrm{MC}}=1: 3$.