XIV РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ
V.1. Од два града, оддалечени $690 \mathrm{km}$, пстовремено тргияле еден кон друг патнички п брз воз. Се сретнале 6 часа по тргиувавето. Пресметај со колкава брзина се движел брзиот воз, ако патиичкнот се двихел со брзина од $50 \mathrm{km}$ на час.
Решение: После 6 часа од тргнувањето, патничкиот воз поминал 6-50=300 $\mathrm{km}$. Брзиот воз за тоа време поминал $690-300=390 \mathrm{km}$. Значи, тој се двнжел со брзина 390:6=65, т.е. $65 \mathrm{km}$ на час.
V.2. Периметарот на еден рамнокрак триаголиик е $28 \mathrm{~cm}$, а основата е за 2 cm помала од кракот. Над страните од триаголипкот, во неговата падворешиост, се конструпрани квадрати. Пресметај го периметарот на добиената фигура.
Решение: Прв начин: $\mathrm{L}=2 \mathrm{b}+\mathrm{a} ; \mathrm{a}=\mathrm{b}-2$; $28=2 b+b-2 ; 30=3 b ; b=10 \mathrm{cm} ; a=10-2=8$; $\mathrm{a}=8 \mathrm{cm}$. Периметарот на фигурата е $\mathrm{L}=3 \mathrm{b}+3 \mathrm{b}+3 \mathrm{a}=3 \cdot 10+3 \cdot 10+3 \cdot 8=84 ; \mathrm{L}=84 \mathrm{cm}$. Вйор начин: $\mathrm{L}=3.28 \mathrm{cm} ; \mathrm{L}=84 \mathrm{cm}$.
V.3. Во една ииза се запишани 9 природни броеви. Четврти по ред е бројот 4, а деветти по ред е бројот 9. Збирот на секои три последователни броја е 18. Одреди ги запишаните броеви.
Решение: Нека низата е: a, b, c, 4, d, e, f, g, 9. Бидејки $a+b+c=b+c+4=$ $=4+\mathrm{d}+\mathrm{e}=\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}$, следи $\mathrm{a}=\mathrm{f}=4$. Бидејки $9+\mathrm{g}+\mathrm{f}=\mathrm{g}+\mathrm{f}+\mathrm{e}=\mathrm{e}+\mathrm{d}+4=\mathrm{d}+4+\mathrm{c}$, т.е. $9+\mathrm{g}+4=\mathrm{g}+4+\mathrm{e}=\mathrm{e}+\mathrm{d}+4=\mathrm{d}+4+\mathrm{c}$, следи $\mathrm{e}=\mathrm{c}=9$. Бидејки $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=4+\mathrm{d}+\mathrm{e}=$ $=\mathrm{f}+\mathrm{g}+9$, т.е. $4+\mathrm{b}+9=4+\mathrm{d}+9=4+\mathrm{g}+9=18$, следи $\mathrm{b}=\mathrm{d}=\mathrm{g}=5$. Низата е 4,5 , $9,4,5,9,4,5,9$.
V.4. Правоаголник и квадрат имаят еднакви плоштини. Мериите броеви на нивните димензии се различни природни броеви од првата десетка. Ако должината на едната страна на правоаголшикот е 2 cт одреди ја:
a) должината на другата страна на правоаголникот;
б) должината на страната на квадратот .
Решение: Нека страните на правоаголникот се: $a=2$ и $b, \quad$ a страната на квадратот нека е $\mathbf{x}$.
Плоштината на правоаголникот $P_{1}=a \cdot b=2 \cdot b$, а на квадратот $P_{2}$ $=x^{2}$. Според условот на задачата $P_{1}=P_{2}, b \leq 10$ и $x \leq 10$, имаме $2 b=x^{2}$. Овој услов е задоволен само за $\mathrm{b}=8 \mathrm{cm}$ и $x=4 \mathrm{cm}$.
VI.1. На цртежот, АCДCD. Одреди ја големината ва аглите $\alpha, \beta, \gamma$ в $\delta$.
Решение: Од $\triangle \mathrm{ABC}$ :
$\alpha=180^{\circ}-\left(76^{\circ}+36^{\circ}+48^{\circ}\right)=20^{\circ}$
Од $\triangle \mathrm{ACE}: \delta=180^{\circ}-\left(76^{\circ}+48^{\circ}\right)=56^{\circ}$
Од $\triangle \mathrm{ACD}: \gamma=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+48^{\circ}\right)=42^{\circ}$
$\beta=90^{\circ}-76^{\circ}=14^{\circ}$
VI. 2 Ако на бројот $х$ оддесно му допишеме 6 п го поделиме со 9, потоа на добиениот количник оддесно му допишеме 8 и го поделиме со 8 се добива 31. Кој е тој број ?
Решение: Бројот $\overline{\mathrm{y} 8}=31.8$, т.е. $10 \mathrm{y}+8=248 ; y=24 ; \quad \overline{\mathrm{x} 6}=24.9 ; 10 x+6=216$; $\mathrm{x}=21$.
VI.3. Членовите на едно еколошко друштво работеле 4 дена. ІІрвиот ден работеле во парови и секој пар бил послужен со едио шише кисела вода. Вториот ден работеле во групи по тројца и секоја група била послужена со едно шише лимонада. Третиот дсн работеле во групи по четворица и секоја група била послужена со едио шише овошен сок. Четвртиот ден работеле поединечно и секој бил послужен со едно шише кока кола. Утврдено е дека вкупио биле потрошени 50 шишиња. Колку членови иммло еколошкото друштво?
Решение: Кога работеле во парови, $\mathrm{x}$ членови добиле $\frac{1}{2} \mathrm{x}$ шишиња. Кога работеле по тројца во група, добиле $\frac{1}{3} \mathrm{x}$ шишиња. кога работеле по четворица $\frac{1}{4} \mathrm{x}$ шишиња, кога работеле поединечно секој добил по едно шише. $\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} x+\frac{1}{4} x+x=50 ; 25 x=50 \cdot 12 ; x=24$.
VI.4. Во триаголних $\mathrm{ABC}$ е позлечена симетралата $C_{1}$ на аголот при темето $C$. На страната $A B$ е избрана точка D низ која е повлечена права р паралелно со симетралата $\mathrm{CC}_{1}$. Правата $\mathrm{p}$ ја сече страната BC во точка $M$ и продолхението на страната $A C$ во точка N.
Докажи дека триаголникот MNC е рамнокрак .
Решение: $\angle 1=\angle 2$ - бидејки $\mathrm{CC}_{1}$ е симетрала на $\angle \mathrm{C}$; $\angle 2=\angle 3$ - хако наизменични агли при трансверзалата $\mathrm{BC}$; $\angle 1=\angle 4$ - како согласни агли при трансверзалата $\mathrm{AC}$;
Следува дека $\angle 3=\angle 4$, односно $\triangle \mathrm{MNC}$ е рамнокрак.
VII.1. Кружница со дијаметар $4 \mathrm{cm}$ е впишана во правоаголен триаголник со хипотенуза $19 \mathrm{cm}$. на триаголникот.
ІІресметај го периметарот Решение: Нека $\overline{\mathrm{BD}}=\mathbf{x}=\overline{\mathrm{BM}}$;
$\overline{\mathrm{AD}}=19-\mathrm{x}=\overline{\mathrm{AN}} ; \mathrm{L}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{BC}}=$ $=19+(19-x+2)+(x+2)=42$, т.e. $L=42 \mathrm{~cm}$.
VII.2. Еден воз се движи од местото А до местото В со брзина од $50 \mathrm{km}$ на час. Поради затворен сигнал, во местото $C$ се задржал 5 минути. За да стигне навреме од $С$ до В се движел со брзина од $60 \mathrm{km}$ на час. Одреди го растојанието мегі́у местата $C$ и В.
Решение: Нека растојанисто $\overline{\mathrm{BC}}=\mathbf{x}$. Ако возот продолжел бсз задржување, врсмето на движење од С до в е $\mathrm{t}{2}=\frac{\mathrm{x}}{50}$. Со задржувањето од 5 минути, т.е. $\frac{1}{12}$ часа, времето $\mathrm{t}{2}=\frac{\mathrm{x}}{60}+\frac{1}{12}$.
Бидејќи $t_{1}=t_{2}$ имаме $\frac{x}{50}=\frac{x}{60}+\frac{1}{12}$, од каде $x=25 \mathrm{~km}$.
VII.3. Iросечната старост на 11 фудбалери од една екипа е за едиа година поголема од просечната старост на истата екипа без капитенот. Колку години повеќе има капитенот од просечната старост на целата екипа?
Решение: Нека х е бројот на годините на просечната старост на 11 фудбалери. Сите заедно имаат $11 x$ години. Без капитенот, просечната старост на екипата е $x$ - 1 години, па останатите фудбалери имаат $10(x-1)$ години. Капитенот има $11 x-10(x-1)=x+10$, т.е. тој има 10 години повеќе од просечната старост на целата екипа.
VII.4. Помалата основа CD на трапез $\mathrm{ABCD}$ е дијаметар на кружница. Оваа кружница ја допира поголемата основа АВ и ги преполовува дијагоналите на трапезот.
Одреди ги внатрешните агли на трапезот.
Решение: Нека $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ се пресечните точки на кружницата и дијагоналите, односно $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{MC}}$ и $\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{ND}}$.
$\angle \mathrm{DMC}=\mathbf{9 0}$ - како периферен агол над дијаметарот $\mathrm{CD}$.
Според тоа $\triangle \mathrm{ACD}$ е рамнокрак со основа AC и краци $\mathrm{AD}$ и $\mathrm{CD}$.
И $\triangle \mathrm{DBC}$ е рамнокрак со основа ${ }^{A}$
$\mathrm{DB}$ па $\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{BC}}$. Следува дека $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{BC}}$, односно трапезот $\mathrm{ABCD}$ е рамнокрак. Висината $\overline{\mathrm{DE}}=\mathrm{r}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{DC}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}}$, па $\angle \mathrm{DAM}=30^{\circ}$.
како агол во правоаголен триаголник наспроти катетата што е половина од хипотенузата. $\angle \mathrm{CBN}=30^{\circ}$ и $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{DCB}=120^{\circ}$.
VIII.1. Tрите страни на еден тангентен четириаголник се однесуваят како 1:2:3. Одреди ги должините на страните на четириаголникот ако неговиот периметар е $36 \mathrm{~cm}$.
Решение: Од a:b:c=1:2:3 имаме $a=k, b=2 k, c=3 k$. Бидејки четириаголникот е тагентен следува: $a+c=b+d=36: 2=18 \mathrm{~cm}$. Од $a+c=18$, следува $k+3 k=18$
или $k=4,5$. Според тоа $a=4,5 \mathrm{cm}, b=9 \mathrm{cm}, \mathrm{c}=13,5 \mathrm{cm}$; од $b+d=18$, следи $d=9 \mathrm{cm}$.
VIII.2. Збирот на квадратите на три последователни непарни природни броеви е четирицифреи број запишан со исти цифри. Одреди ги тие броеви.
Решение: Ако бараните броеви се: $2 \mathrm{n}-1,2 \mathrm{n}+1$ и $2 \mathrm{n}+3$, тогаш $(2 n-1)^{2}++(2 n+1)^{2}+(2 n+3)^{2}=\overline{x x x x}, x \in{1,2,3, \ldots, 9} ; 12 n(n+1)=x \cdot 1111-11$, $2 \cdot 2 \cdot 3 n(n+1)=11(101 x-1)$. На левата страна имаме парен број. Затоа $x \in{1,3,5,7,9}$. За $x=1$ имаме $12 n(n+1)=10 \cdot 10 \cdot 11$, односно не постои природен број што го задоволува ова равенство. За $x=3, x=7$ и $x=9$, на ист начин се утврдува дека не постои природен број што го задоволува равенството. За $\mathrm{x}=5$ имаме $12 \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)==11(505-1)=12 \cdot 21 \cdot 22$. Според тоа $n=21$, па бараните броеви се:2n-1=41, $2 n+1=43$ и $2 n+3=45$. Забелешк: Решението е поедноставно ако се претпостави дека п е непарен број. Тогаш и $\mathrm{n}-2$ и $\mathrm{n}+2$ се напарни броеви, па од ( $\mathrm{n}-2)^{2}+\mathrm{n}^{2}+$ $+(\mathrm{n}+2)^{2}=\overline{\mathrm{xxxx}}$, односно $3\left(\mathrm{n}^{2}+2\right)+2=\overline{\mathrm{xxxx}}$, следува дека четирицифрениот број при делење со 3 дава остаток 2, а таков е само бројот $5555(=3 \cdot 1851+2)$.
VIII.3. Дадени се две произволни точки А и В на права р. Во овие точки се повлечени нормалите $\mathrm{AA}{1}$ и $\mathrm{BB}{1}$ на правата $p$ така што $\overline{\mathrm{AA}{1}}>\overline{\mathrm{BB}{1}}$ и точките $\mathrm{A}{1}$ и $\mathrm{B}{1}$ се наогаят на иста страна од правата р. Од пресечната точка $C$ на правите $A_{1}$ и $A_{1} B$ с повлечена нормалата $\mathrm{CC}{1}$ на правата р ( $\mathbf{C}{1} \in \mathrm{p}$ ).
Пресметај ја должината на отсечката $\mathrm{CC}{1}$ со помош на до:жините на отсечките $\mathrm{AA}{1}$ и BB $_{1}$.
Peweние: Нека $\overline{\mathrm{AC}{1}}=\mathrm{m}, \overline{\mathrm{C}{1} \mathrm{~B}}=\mathrm{n}$, $\overline{\mathrm{AA}{1}}=\mathrm{a}, \overline{\mathrm{BB}{1}}=\mathrm{b}$.
Од $\mathrm{AA}{1}\left|\mathrm{BB}{1}\right| \mathrm{CC}{1}$ и $\mathrm{AA}{1} \perp \mathrm{p}, \mathrm{BB}{1} \perp \mathrm{p}$, $\mathrm{CC}{1} \perp \mathrm{p}$, следува $\triangle \mathrm{ABA}{1} \sim \triangle \mathrm{CC}{1} \mathrm{~B}$, па $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$ (1),
а од $\triangle \mathrm{ABB}{1} \sim \triangle \mathrm{ACC}{1}$, следува $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$
Ако ги собереме равенствата (1) и (2) се добива:
$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1$ односно $c \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1$, па $c=\frac{a b}{a+b}$. Од последното равенство се гледа дека должината на с не зависи од $m$ и $n$, т.е. од должината на $\mathrm{AB}$.
VIII.4. Погоните A п В на една фабрика можат да завршат една работа 3 а 12 дена. После 2 дена погонот $\mathbf{A}$ престанал со работа поради ремонт, па делата работа ја завршил погонот В. За псто време погонот В може да заврши $66 \frac{2}{3} %$ од работата на погонот $A$.
Најди за кольу дена била завршена работата.
Решение: Нека погонот В може да ја заврши работата за $\mathrm{x}$ дена. Тогаш, погонот А ке ја заврши за $\frac{2}{3} \mathrm{x}$ дена. За 1 ден двата погони ке завршат $\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{2}{3} x}=\frac{1}{12}$. Одовде се добива: $x=30$, односно погонот В сам би ја завршил работата за 30 дена. За 2 дена било завршено $\frac{1}{6}$ од работата. Погонот сам работел $30 \cdot \frac{5}{6}=25$ дена. Работата била завршена за $25+2=27$ дена.