MatematickiTalent/md/mk-primary-regional/mk-BDckLnOCDEeWnnEMOKLa5A.md

ХХІ РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

IV одделение

Задача 1. Колку има четирицифрени броеви чиј збир на цифрите е еднаков на 3?

Решение. Бараните броеви се запишани со цифрите: $0,1,2$ и 3 . Toа се броевите: 3000, 2100,2010 2001, 1110, 1101, 1011, 1200, 1020, 1002.

Задача 2. Еден пилот за три дена прелетал $9014 \mathrm{km}$. Првиот ден прелетал $3154 \mathrm{km}$, а вториот ден $278 \mathrm{~km}$ помалку. Колку километри прелетал пилотот третиот ден?

Решение. Ако првиот ден пилотот прелетал $3154 \mathrm{~km}$, тогаш вториот ден прелетал $3154-278=2876 k m$, а третиот ден прелетал

$$9014-(3154+2876)=9014-6030=2984km9014-(3154+2876)=9014-6030=2984\; k\; m$$

Задача 3. Производот на два броја е 2250. Ако еден од нив се намали за 6, а другиот остане ист, тогаш новиот производ е 1800 . Кои се тие броеви?

Решение. Бараните броеви да ги означиме со $a$ и $b$. Имаме:

$$a\cdot b=2250\text{ и }(a-6)\cdot b=1800a\; \backslash cdot\; b=2250\; \backslash text\; \{\; и\; \}(a-6)\; \backslash cdot\; b=1800$$

па затоа:

$$a\cdot b-6\cdot b=1800;2250-6\cdot b=1800;6\cdot b=2250-1800=450a\; \backslash cdot\; b-6\; \backslash cdot\; b=1800\; ;\; 2250-6\; \backslash cdot\; b=1800\; ;\; \backslash quad\; 6\; \backslash cdot\; b=2250-1800=450$$

т.е. $b=450: 6=75$.Според тоа, $a=2250: 75=30$.

Задача 4. Една нива во форма на правоаголник е долга $72 m$ и широка $25 m$. Колку тони пченка ќе се добијат од оваа нива, ако од $1 \mathrm{m}^{2}$ се добиваат просечно по $5 \mathrm{kg}$ пченка?

Решение. Плоштината на правоаголникот (нивата) е:

$$P=72\cdot 25=1900m^{2}P=72\; \backslash cdot\; 25=1900\; m^\{2\}$$

Ако од $1 \mathrm{m}^{2}$ се добиваат просечно по $5 \mathrm{kg}$

пченка, тогаш од нивата ќе се добијат:

$1900 \cdot 5 \mathrm{kg}=9500 \mathrm{kg}$ тони пченка.

Задача 5. Правоаголник $A B C D$ е составен од три складни правоаголници (види цртеж). Ако обиколката на секој од овие правоаголници е $60 \mathrm{~cm}$, колкава е плоштината на квадратот кој со правоаголникот $A B C D$ има еднаква обиколка?

Решение. Од цртежот е јасно дека едната страна на секој од малите правоаголници мора да биде два пати подолга од другата. Ако должината на помалата страна е $x$, тогаш подолгата страна е $2 x$, па обиколката на еден од нив е $2(x+2 x)=60$. Оттука $x=10 \mathrm{cm}$. Обиколката на правоаголникот $A B C D$ е: $2(3 x+2 x)=10 x=100 \mathrm{cm}$, а толку е и обиколката на квадратот. Должината на страната на квадратот е: $100: 4=25 \mathrm{cm}$, па неговата плоштина е: $P=25^{2}=625 \mathrm{cm}^{2}$.

V одделение

Задача 1. Сашо замислил еден број и го помножил со 7 и со 16. Добиените производи ги собрал и го добил бројот 230. Кој број го замислил Сашо?

Решение. Нека со $x$ го означиме бројот што го замислил Сашо. Ако бројот го помножи со 7 и со 16 ги добива броевите $7 x$ и $16 x$. Ако ги собереме добиените производи, добиваме: $7 x+16 x=230 ; 23 x=230$; $x=230: 23 ; x=10$. Бројот кој го замислил Сашо е 10.

Задача 2. Група ученици отишле во паркот да се одморат. Ако на секоја клупа седат по 6 ученици, тогаш за двајца нема место, а ако на секоја клупа седат по 7 ученици, тогаш 3 места остануваат празни. Колку клупи имало во паркот и колку ученици имало во групата?

Решение. Нека е $x$ број на клупи во паркот. Ако на секоја клупа седат по 6 ученици, тогаш бројот на ученици е $6 x+2$, бидејќи за двајца нема место. Ако пак седат по 7 ученици, тогаш бројот на ученици ќе биде $7 x-3$, бидејќи 3 места остануваат празни. Бидејќи во двата случаи има еднаков број ученици, следува дека $6 x+2=7 x-3$, од каде се добива дека $x=5$. Значи, имаме 5 клупи, а ученици има $6 x+2=6 \cdot 5+2=32$.

Задача 3. Количникот на два природни броја е 11. Ако деленикот се зголеми за 1650, а делителот остане ист, тогаш количникот ќе се зголеми 7 пати. Кои се тие броеви?

Решение. Ако количникот на два природни броја е 11, а х е делителот, тогаш деленикот ќе биде $11 x$. Ако деленикот се зголеми за 1650, тогаш новиот деленик ќе биде $11 x+1650$, па се добива

$$(11x+1650):x=7\cdot 11(11\; x+1650):\; x=7\; \backslash cdot\; 11$$

т.е. $66 x=1650$, од каде $x=25$. Деленикот ќе биде $11 x=11 \cdot 25=275$. Бараните броеви се 25 и 275.

Задаача 4. Во една спортска сала во правоаголна форма со должина $31 m$ и ширина $21 \mathrm{~m}$ се наоѓа базен. Секој sид на базенот е оддалечен три метри од sидот на салата. Колкава е плоштината на салата што е надвор од базенот?

Решение. Димензиите на базенот се $31-6=25 m$ и $21-6=15 m$.

Бараната плоштина е

$$P=31\cdot 21-25\cdot 15=651-375=276m^{2}P=31\; \backslash cdot\; 21-25\; \backslash cdot\; 15=651-375=276\; m^\{2\}$$

Задача 5. Во $\triangle A B C$, на страната $B C$ е означена точка $E$, така што $\overline{A E}=\overline{B E}$. Пресметај го периметарот на $\triangle A E C$, ако $\overline{A C}=5 \mathrm{cm}$ и $\overline{B C}=9 \mathrm{cm}$.

Решение. Нека $\overline{E C}=x$. Бидејќи $\overline{B C}=9 \mathrm{~cm}$ се добива

$$\overline{BE}=\overline{BC}-\overline{EC}=9-x\backslash overline\{B\; E\}=\backslash overline\{B\; C\}-\backslash overline\{E\; C\}=9-x$$

Но, $\overline{A E}=\overline{B E}$ па и $\overline{A E}=9-x$. Периметарот на $\triangle A E C$ ќе биде

VI одделение

Задача 1. Пресметај ја вредноста на бројниот израз:

$$\frac{1}{17}\cdot (\frac{2\frac{1}{2}+3\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}-2\frac{1}{3}}:\frac{5\frac{3}{5}+1\frac{1}{3}}{6\frac{3}{5}-4\frac{1}{3}})\cdot (\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{7}-\frac{1}{8}}-\frac{1}{5})\backslash frac\{1\}\{17\}\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{2\; \backslash frac\{1\}\{2\}+3\; \backslash frac\{1\}\{3\}\}\{3\; \backslash frac\{1\}\{2\}-2\; \backslash frac\{1\}\{3\}\}:\; \backslash frac\{5\; \backslash frac\{3\}\{5\}+1\; \backslash frac\{1\}\{3\}\}\{6\; \backslash frac\{3\}\{5\}-4\; \backslash frac\{1\}\{3\}\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{4\}-\backslash frac\{1\}\{5\}\}\{\backslash frac\{1\}\{7\}-\backslash frac\{1\}\{8\}\}-\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash right)$$

Решение. Последователно добиваме:

Задача 2. Зоки со велосипед изминал $64 %$ од патот, а преостанатите $9 \mathrm{~km}$ ги изминал пеш. Колку километри изминал Зоки со велосипедот?

Решение. Преостанатите $9 \mathrm{km}$ изнесуваат $100-65=36 %$ од целиот пат. Според тоа, целиот пат е $9 \mathrm{km} \cdot \frac{100}{36}=25 \mathrm{~km}$. Значи, Зоки со велосипедот изминал $25-9=16 k m$.

Задача 3. Определи го најмалиот четирицифрен број кој е делив со 9, ако производот на неговите цифри е еднаков на 180 .

Решение. Од $180=1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ следува дека цифрите кои може да дадат производ 180 можат да бидат: $1,4,5,9$ или $1,5,6,6$ или $2,2,5,9$ или 3 , $3,4,5$ или $2,3,5,6$. Но, бројот треба да е делив со 9 , што значи дека збирот на неговите цвифри треба да е делив со 9. Оттука добиваме дека цифрите на бројот може да бидат $1,5,6,6$ или $2,2,5,9$. Бидејќи се бара најмалиот број кој ги има бараните својства, заклучуваме дека тоа е бројот 1566.

Задача 4. Збирот на два надворешни агли на триаголникот $A B C$ е $270^{\circ}$. Докажи дека триаголникот е правоаголен.

Решение. Збирот на надворешните агли

$${\alpha }_1+{\beta }_1+{\gamma }_1={360}^{\circ }\backslash alpha\_\{1\}+\backslash beta\_\{1\}+\backslash gamma\_\{1\}=360^\{\backslash circ\}$$

Притоа

$${\alpha }_1={180}^{\circ }-\alpha \text{ и }{\beta }_1={180}^{\circ }-\beta \backslash alpha\_\{1\}=180^\{\backslash circ\}-\backslash alpha\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash beta\_\{1\}=180^\{\backslash circ\}-\backslash beta$$

Ако

$${\alpha }_1+{\beta }_1={270}^{\circ }\backslash alpha\_\{1\}+\backslash beta\_\{1\}=270^\{\backslash circ\}$$

тогаш

$${\gamma }_1={360}^{\circ }-{270}^{\circ }={90}^{\circ }\backslash gamma\_\{1\}=360^\{\backslash circ\}-270^\{\backslash circ\}=90^\{\backslash circ\}$$

Бидејќи $\gamma+\gamma_{1}=180^{\circ}$ следува дека $\gamma=90^{\circ}$ т.е. триаголникот е правоаголен.

Задача 5. Во sвездата на цртежот аглите кај точките $A$ и $B$ се еднакви, а исто и аглите кај точките $E$ и $C$ се еднакви и важи $\overline{A C}=\overline{B E}$. Докажи дека $\overline{A D}=\overline{B D}$.

Решение. Ги разгледуваме $\triangle A G C$ и $\triangle B E F$. Тие се складни според признакот $\mathrm{ACA}(\overline{A C}=\overline{B E}$ и аглите што лежат на нив се еднакви по услов на задачата), па од складноста ќе имаме

$$\mathrm{\measuredangle }AGC=\mathrm{\measuredangle }BFE,\overline{AG}=\overline{BF}\backslash measuredangle\; A\; G\; C=\backslash measuredangle\; B\; F\; E,\; \backslash overline\{A\; G\}=\backslash overline\{B\; F\}$$

Значи, $\measuredangle D G F=\measuredangle D F G$, т.е. $\triangle G D F$ е рамнокрак и

$$\overline{GD}=\overline{FD}\backslash overline\{G\; D\}=\backslash overline\{F\; D\}$$

Од (1) и (2) имаме $\overline{A G}+\overline{G D}=\overline{B F}+\overline{F D}$, од каде $\overline{A D}=\overline{B D}$.

VII одделение

Задача 1. Најди два последователни природни броја чија разлика на квадратите е 111.

Решение. Да ги означиме последователните природни броеви со n и $n+1$. Тогаш, од условот имаме:

$$(n+1{)}^2-n^2=111,n^2+2n+1-n^2=111,2n=110(n+1)^\{2\}-n^\{2\}=111,\; n^\{2\}+2\; n+1-n^\{2\}=111,2\; n=110$$

т.е. $n=55$. Значи бараните броеви се 55 и 56 .

Задача 2. Во низа од шест природни броеви третиот и секој нареден е еднаков на збирот на двата претходни. Да се најдат броевите ако петтиот број е еднаков на 7.

Решение. Нека низата дадени броеви е $a, b, c, d, 7, e$. Од условот на задачата имаме:

$$a+b=c,b+c=d,c+d=7,d+7=ea+b=c,\; b+c=d,\; c+d=7,\; d+7=e$$

од каде

$$a+b=d-b,a+2b=d\text{ и }(a+b)+(a+2b)=7a+b=d-b,\; a+2\; b=d\; \backslash text\; \{\; и\; \}(a+b)+(a+2\; b)=7$$

т.е.

$$2a+3b=72\; a+3\; b=7$$

Оваа равенка има единствено решение за $a=2, b=1$ и $c=3, d=4, e=11$.

Задача 3. Во иста кружница се впишани рамностран триаголник и правилен шестаголник. Докажи дека плоштината на шестаголникот е два пати поголема од плоштината на триаголникот.

Решение. Со а да го означиме радиусот на кружницата. Тогаш плоштината на шестаголникот е

$$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}P=6\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{3\; a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$$

Висината $h$ на рамностраниот триаголник е $h=a+\frac{a}{2}=\frac{3 a}{2}$ и ако со $b$ ја означиме страната на триаголникот добиваме $h=\frac{b \sqrt{3}}{2}$, т.е.

$$b=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3a}{2}=a\sqrt{3}b=\backslash frac\{2\; h\}\{\backslash sqrt\{3\}\}=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{3\; a\}\{2\}=a\; \backslash sqrt\{3\}$$

Конечно, плоштината на триаголникот

$$P^{\ast }=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(a\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}P^\{*\}=\backslash frac\{b^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{(a\; \backslash sqrt\{3\})^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{3\; a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}$$

што значи

$$P=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=2\cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}=2P^{\ast }P=\backslash frac\{3\; a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}=2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{3\; a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=2\; P^\{*\}$$

што и требаше да се докаже.

Задача 4. Во ромб $A B C D$ остриот агол е $60^{\circ}$. На страната $A B$ дадена е точката $M$, а на страната $B C$ точката $N$, така што

$$\overline{MB}+\overline{BN}=\overline{AB}\backslash overline\{M\; B\}+\backslash overline\{B\; N\}=\backslash overline\{A\; B\}$$

Докажи дека $\triangle M N D$ е рамностран.

Решение. Од условот $\measuredangle B A D=60^{\circ}$ и $\overline{A D}=\overline{A B}$, па се добива дека $\triangle A B D$ е рамностран. Од условот

$$\overline{MB}+\overline{BN}=\overline{AB}=\overline{BC}\backslash overline\{M\; B\}+\backslash overline\{B\; N\}=\backslash overline\{A\; B\}=\backslash overline\{B\; C\}$$

следува дека

$$\overline{MB}=\overline{BC}-\overline{BN}\text{, т.е. }\overline{MB}=\overline{NC}\backslash overline\{M\; B\}=\backslash overline\{B\; C\}-\backslash overline\{B\; N\}\; \backslash text\; \{,\; т.е.\; \}\; \backslash overline\{M\; B\}=\backslash overline\{N\; C\}$$

a $\measuredangle M B D=60^{\circ}=\measuredangle N C D$ и $\overline{D B}=\overline{D C}$ од каде, според признакот $\mathrm{CAC}$, се добива дека $\triangle M B D \cong \triangle N C D$. Оттука, следува дека $\overline{D M}=\overline{D N}$ и $\measuredangle M D B=\measuredangle N D C$, па

$$\mathrm{\measuredangle }MDN=\mathrm{\measuredangle }MDB+\mathrm{\measuredangle }BDN=\mathrm{\measuredangle }NDC+\mathrm{\measuredangle }BDN=\mathrm{\measuredangle }BDC={60}^{\circ }\backslash measuredangle\; M\; D\; N=\backslash measuredangle\; M\; D\; B+\backslash measuredangle\; B\; D\; N=\backslash measuredangle\; N\; D\; C+\backslash measuredangle\; B\; D\; N=\backslash measuredangle\; B\; D\; C=60^\{\backslash circ\}$$

Значи, $\triangle M N D$ е рамнокрак со агол при врвот од $60^{\circ}$ т.е. тој е рамностран.

Задача 5. Дали постои триаголник со висини 1,2 и 3 ?

Решение. Од формулата за плоштина на триаголник следува дека

$$\frac{1\cdot a}{2}=\frac{2\cdot b}{2}=\frac{3\cdot c}{2}\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; a\}\{2\}=\backslash frac\{2\; \backslash cdot\; b\}\{2\}=\backslash frac\{3\; \backslash cdot\; c\}\{2\}$$

т.е. $a=2 b=3 с . З$ начи, $b=\frac{a}{2}, c=\frac{a}{3}$. Тогаш,

што е контрадикција. Значи, таков триаголник не постои.

VIII одделение

Задача 1. Определи прост број $p$, таков што бројот $2 p+1$ е точен куб на некој природен број.

Решение. Од условот $2 p+1=n^{3}$ следува дека $n$ е непарен број, понатаму

$$2p=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)2\; p=n^\{3\}-1=(n-1)\backslash left(n^\{2\}+n+1\backslash right)$$

Бидејќи $n$ е непарен број, нека $n=2 k+1, k \in \mathbb{N}$. Тогаш

Бројот $p$ е прост, па од последното равенство следува $k=1$, а

$$p=13,2p+1=27=3^{3}p=13,2\; p+1=27=3^\{3\}$$

Задача 2. Две прави $p$ и $q$ се паралелни со основите на трапезот $A B C D$ и го делат кракот $A D$ на три еднакви делови. Определи ги должи- ните на отсечките $x$ и $y$ на правите $q$ и $p$ меѓу краците, ако $\overline{A B}=13$ и $\overline{C D}=4$.

Решение. Нека $p$ ги сече краците $A D$ и $B C$ во точките $E$ и $F$, соодветно, и нека $q$ ги сече краците $A D$ и $B C$ во точките $G$ и $H$, соодветно (цртеж десно). Тогаш, EF е средна линија во трапезот $G H C D$, па затоа

$$y=\overline{EF}=\frac{1}{2}(\overline{GH}+\overline{CD})=\frac{1}{2}(x+4)y=\backslash overline\{E\; F\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash overline\{G\; H\}+\backslash overline\{C\; D\})=\backslash frac\{1\}\{2\}(x+4)$$

Од $G H$ средна линија во трапезот $A B F E$ се добива

$$x=\overline{GH}=\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{EF})=\frac{1}{2}(13+y)x=\backslash overline\{G\; H\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash overline\{A\; B\}+\backslash overline\{E\; F\})=\backslash frac\{1\}\{2\}(13+y)$$

Така, го добиваме системот

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}(x+4)\\ x=\frac{1}{2}(13+y)\end{array}\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}\; y=\backslash frac\{1\}\{2\}(x+4)\; \backslash \backslash \; x=\backslash frac\{1\}\{2\}(13+y)\; \backslash end\{array\}\backslash right.$$

од каде се добива дека $x=10, y=7$.

Задача 3. Во $\triangle A B C$ мерните броеви на страните се природни броеви, а должината на најмалата страна е $2 \mathrm{~cm}$. Најди ја плоштината на $\triangle A B C$ ако

$$h_c=h_a+h_{b}h\_\{c\}=h\_\{a\}+h\_\{b\}$$

Решение. Очигледно $h_{c}$ е најголемата висина, па затоа $c$ е најмалата страна, т.е. $c=2 c m$. Од формулите за плоштина на триаголник имаме

$$h_a=\frac{2P}{a},h_b=\frac{2P}{b},h_c=\frac{2P}{c}h\_\{a\}=\backslash frac\{2\; P\}\{a\},\; h\_\{b\}=\backslash frac\{2\; P\}\{b\},\; h\_\{c\}=\backslash frac\{2\; P\}\{c\}$$

и ако замениме во равенството $h_{c}=h_{a}+h_{b}$ добиваме

$$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\backslash frac\{1\}\{c\}=\backslash frac\{1\}\{a\}+\backslash frac\{1\}\{b\}$$

и како $c=2 c m$ добиваме $\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. Последната равенка е еквивалентна на равенката

$$ab-2a-2b=0a\; b-2\; a-2\; b=0$$

т.е. на равенката

$$(a-2)(b-2)=4(a-2)(b-2)=4$$

Во множеството природни броеви последната равенка има решенија

$$a=4,b=4;a=3,b=6\text{ и }a=6,b=3\text{. }a=4,\; b=4\; ;\; a=3,\; b=6\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; a=6,\; b=3\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Понатаму, $a, b, c$ се страни на триаголник, па затоа $|a-b|<c$, што значи $a=4 c m, b=4 c m$ и $c=2 \mathrm{~cm}$.

Задача 4. Еден автомобил патот од местото $A$ до местото $B$ го поминал со брзина од $60 \mathrm{km} / \mathrm{h}$, а патот од местото $B$ до местото $A$ го поминал со брзина од $40 \mathrm{km} / \mathrm{h}$. Определи ја средната брзина на движењето на автомобилот.

Решение. Co s да ја означиме должината на патот од $A$ до $B$, со $v_{1}$ брзината со која автомобилот се движе од $A$ до $B$ и со $v_{2}$ брзината со која се движел од $B$ до $A$. Тогаш соодветните времиња се $t_{1}=\frac{s}{v_{1}}$ и $t_{2}=\frac{s}{v_{2}}$. Според тоа, ако $v_{S}$ е средната брзина со која за време $t_{1}+t_{2}$ автомобилот го поминува целиот пат, тогаш

$$v_S=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot 60\cdot 40}{60+40}=48\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}v\_\{S\}=\backslash frac\{2\; s\}\{t\_\{1\}+t\_\{2\}\}=\backslash frac\{2\; s\}\{\backslash frac\{s\}\{v\_\{1\}\}+\backslash frac\{s\}\{v\_\{2\}\}\}=\backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{v\_\{1\}\}+\backslash frac\{1\}\{v\_\{2\}\}\}=\backslash frac\{2\; v\_\{1\}\; v\_\{2\}\}\{v\_\{1\}+v\_\{2\}\}=\backslash frac\{2\; \backslash cdot\; 60\; \backslash cdot\; 40\}\{60+40\}=48\; \backslash mathrm\{~km\}\; /\; \backslash mathrm\{h\}$$

Задача 5. Докажи дека периметарот на триаголник е поголем од периметарот на кружницата впишана во него.

Решение. Плоштината на кругот впишан во триаголникот изнесува $r^{2} \pi$, каде $r$ е радиусот на впишаната кружница. Плоштината на целиот триаголник е еднаква на $s r$, каде $s$ е полупериметарот на триагол-

никот. Плоштината на впишаниот круг е помала од плоштината на триаголникот, па затоа $r^{2} \pi<s r$. Ако последното неравенство го скратиме со $r$ и го помножиме со 2 , добиваме $2 r \pi<2 s$, што и требаше да се докаже.