Czech/md/cs-mo-secondary/cs-3471674-b48s.md

48. ročník matematické olympiády

Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie B

1. Na hřišti je méně než 500 dětí. Přitom počet procent chlapců ze všech dětí se rovná počtu všech děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat je na hřišti? Najděte všechny možnosti.
2. V trojúhelníku $A B C$ známe $a=|B C|$, poloměr $\varrho$ kružnice vepsané a poloměr $\varrho_{a}$ kružnice vně připsané straně $B C$. Dokažte, že vzdálenost středů obou kružnic se rovná $\sqrt{a^{2}+\left(\varrho_{a}-\varrho\right)^{2}}$.
3. Kvadratická rovnice $x^{2}-35 x+334=0$, jejíž koeficienty jsou zapsány v číselné soustavě o základu $z(z \geqq 6)$, má dva různé reálné kořeny. Určete $z$ a oba kořeny.

Školní - klauzurní část I. kola kategorie B se koná

v úterý 26. ledna 1999

tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže.

1. Označme po řadě $c, d$ počet chlapců a dívek na hřršti. Potom platí

$$\frac{100c}{c+d}=d\backslash frac\{100\; c\}\{c+d\}=d$$

Odtud

$$c=\frac{d^2}{100-d}=\frac{{100}^2-({100}^2-d^2)}{100-d}=\frac{10000}{100-d}-d-100.c=\backslash frac\{d^\{2\}\}\{100-d\}=\backslash frac\{100^\{2\}-\backslash left(100^\{2\}-d^\{2\}\backslash right)\}\{100-d\}=\backslash frac\{10000\}\{100-d\}-d-100\; .$$

Jelikož $c$ je celé nezáporné číslo, musí být $100-d$ kladným dělitelem čísla 10000 , tj. výraz $100-d$ může nabývat pouze hodnot: $1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80$. Navíc ale podle zadání musí být splněna podmínka $c+d<500$, tedy

odkud plyne $100-d>16$. Pro hodnoty $100-d$ rovné $20,25,40,50,80$ tak dostaneme postupně všechna řešení

$$(c,d)=(320,80),(225,75),(90,60),(50,50),(5,20)(c,\; d)=(320,80),(225,75),(90,60),(50,50),(5,20)$$

Za úplné řešení je 6 bodů, z toho 1 bod za sestavení rovnice, nejvýše 3 body za úvahy vedoucí $\mathrm{k}$ poznatku, že číslo $100-d$ dělí číslo 10000,2 body za následné určení všech dvojic $(c, d)$.

2. Označme podle obr. 1 odpovídající úseky tečen k oběma vepsaným kružnicím

Obr. 1

$|A T|=|A R|=x,|B T|=|B S|=y,|B U|=|B V|=z$. Navíc ještě platí $|C R|=|C S|$, $|C W|=|C V|$, takže

a zároveň

$$\mathrm{\mid }AW\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }AU\mathrm{\mid }=x+y+z\text{. }|A\; W|=|A\; U|=x+y+z\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Je tedy $|C S|=z$ a také

$$a=\mathrm{\mid }CB\mathrm{\mid }=z+y=\mathrm{\mid }TU\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\text{. }a=|C\; B|=z+y=|T\; U|=|O\; P|\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Z pravoúhlého trojúhelníku $O P O_{a}$ podle Pythagorovy věty pak plyne

$$\mid O{O}_a\mid =\sqrt{\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2+{\mid P{O}_a\mid }^2}=\sqrt{a^2+{({\varrho }_a-\varrho )}^2},\backslash left|O\; O\_\{a\}\backslash right|=\backslash sqrt\{|O\; P|^\{2\}+\backslash left|P\; O\_\{a\}\backslash right|^\{2\}\}=\backslash sqrt\{a^\{2\}+\backslash left(\backslash varrho\_\{a\}-\backslash varrho\backslash right)^\{2\}\},$$

což bylo dokázati.

Za úplné řešení je 6 bodů. Za důkaz vztahu $|T U|=a$ dejte 4 body. Pokud řešitel přijde na to, že se úkol redukuje na důkaz rovnosti $|T U|=a$, tu ale nedokáže, udělte 2 body. Zbývající výpočet použitím Pythagorovy věty oceňte 2 body.

3. Daná rovnice

$$x^2-(3z+5)x+(3z^2+3z+4)=0x^\{2\}-(3\; z+5)\; x+\backslash left(3\; z^\{2\}+3\; z+4\backslash right)=0$$

má dva různé reálné kořeny, právě když je její diskriminant $D$ kladný,

odkud $z<3+\sqrt{12}$. Podle zadání je však $z \geqq 6$, proto vyhovuje jedině $z=6$. Daná rovnice má pak v desítkové soustavě tvar

$$x^2-23x+130=0x^\{2\}-23\; x+130=0$$

$\mathrm{s}$ kořeny $x_{1}=10, x_{2}=13$. ( $\mathrm{V}$ soustavě o základu $z=6$ budou mít nalezené kořeny zápis $x_{1}=14, x_{2}=21$.)

Za úplné řešení je 6 bodů, z toho 2 body za správný přepis koeficientů dané rovnice jako mnohočlenů proměnné $z, 1$ bod za výpočet diskriminantu $D, 2$ body za řešení nerovnosti $D>0 \mathrm{v}$ oboru celých čísel $z \geqq 6,1$ bod za výpočet kořenů $x_{1,2} \mathrm{v}$ případě $z=6$.