| # Úlohy domácího kola kategorie C |
|
|
| 1. Najděte všechna trojmistná čísla n taková, že posledni trojčislí čisla $n^{2}$ je shodné $s$ číslem $n$. |
|
|
| Student může při řešení úlohy postupovat například tak, že bude hledat nejdříve ta čísla $n$, pro která je poslední číslice čísla $n^{2}$ totožná s poslední číslicí čísla $n$. V tom případě se musí poslední číslice čísla $n$ rovnat některé z číslic $0,1,5$ nebo 6 . |
|
|
| Vezměme například 6 a označme $b, a$ předcházející číslice čísla $n$, tedy $n=100 b+$ $+10 a+6, n^{2}=10000 b^{2}+2000 a b+1200 b+100 a^{2}+120 a+36$. Tato dvě čísla se shodují v posledním dvojčíslí právě tehdy, jestliže se $20 a+36$ rovná $10 a+6$ až na celý násobek čísla 100, tedy $10 a+30$ má být násobek 100 , což platí pouze pro $a=7$. Je tedy $n=100 b+76, n^{2}=10000 b^{2}+15200 b+5776$. Tato dvě čísla se shodují v posledních třech číslicích, právě když se $200 b+776$ rovná $100 b+76$ až na násobek čísla 1000 , to znamená, že $b+7$ má být celý násobek čísla 10, proto $b=3$. Jedním řešením je číslo $n=376$. Podobně bychom dostali další řešení $n=625$, zatímco předpoklad, že poslední číslice je 0 nebo 1 , nevede $\mathrm{k}$ cíli. |
|
|
| Výhodnější je ale postup založený na dělitelnosti - dvě čísla se shodují v posledních třech číslicích, právě když je jejich rozdíl dělitelný číslem 1000 . V našem případě má být číslo $n^{2}-n=n(n-1)$ dělitelné číslem $1000=2^{3} \cdot 5^{3}$. Čísla $n$ a $n-1$ jsou nesoudělná a menší než 1000 , proto musí být jedno dělitelné číslem 125 a druhé osmi. |
|
|
| První možnost je tedy: $n$ je lichým násobkem 125, takže se rovná některému z čísel $125,375,625,875$, a současně je $n-1$ násobek osmi, proto $n=625$. |
|
|
| Druhá možnost: $n$ je násobek 8 (tedy sudé) a $n-1$ lichý násobek 125 , proto $n=376$, nebot z čísel 126, 376,626, 876 je pouze číslo 376 násobek osmi. |
|
|
| Při tomto postupu hraje významnou roli nesoudělnost dvou čísel. Studenti by si měli připomenout pojem největšího společného dělitele čísel $a, b$ a ověřit, že ten dělí také každé číslo tvaru $k a+l b$, kde $k, l$ jsou celá. Existují-li tedy celá $k, l$ tak, že $k a+l b=1$, jsou čísla $a, b$ nesoudělná. Je-li $d$ největší společný dělitel čísel $a, b$, je $a=d p, b=d q$, kde $p, q$ jsou nesoudělná a číslo $n=d p q$ je nejmenším společným násobkem čísel $a, b$. |
|
|
| POMOCNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Najděte všechna přirozená čísla $n$ menší než 100 , pro která je číslo $7 n+4$ druhou mocninou přirozeného čísla. (45-C-S -1 ) |
|
|
| [Má platit $7 n+4=m^{2}$, kde $m$ je přirozené. Č́slo $m$ napíšeme ve tvaru $7 k+r$, kde $k$ je neúplný podíl a $r$ zbytek při dělení $m$ číslem 7 , takže $7 n+4=49 k^{2}+14 k r+r^{2}$, proto $r^{2}$ musí dát při dělení sedmi zbytek 4 , tedy $r=2$ nebo $r=5$. V prvním případě je $n=k(7 k+4)$, v druhém př́́padě je $n=7 k^{2}+10 k+3$, řešením úlohy jsou čísla 11 , 20, 36, 51, 75 a 96. Jiný postup: $7 n=m^{2}-4=(m-2)(m+2)$. Proto je jedno z čísel $m-2, m+2$ dělitelné sedmi, bud' je $m=7 k+2$, nebo $7 k-2, n=k(7 k+4)$ nebo $n=k(7 k-4)$. |
|
|
| 2. Dokažte, že pro každé přirozené číslo $n$ je číslo $n^{6}-n^{2}$ dělitelné číslem 20. (40-C-II-1) $\left[n^{6}-n^{2}=n^{2}\left(n^{2}+1\right)(n-1)(n+1)\right.$. Je-li $n$ sudé, je $n^{2}$ dělitelné 4 , jinak jsou $n-1$, $n+1$ sudá a součin $(n-1)(n+1)$ je dělitelný čtyřmi. Není-li žádné z čísel $n-1, n$, |
| $n+1$ dělitelné pěti, je $n=5 k+2$ nebo $n=5 k+3$ a $n^{2}+1$ je dělitelné pěti. Když je číslo dělitelné 4 a 5 , je dělitelné 20.] |
| 3. Které čtyřciferné číslo má na prvních dvou místech stejné číslice, na druhých dvou místech stejné číslice, a je druhou mocninou přirozeného čísla? (1-B-II-2) |
|
|
| [Hledáme číslo ve tvaru $a a b b, \mathrm{tj} .1000 a+100 a+10 b+b=11(100 a+b)$, které je druhou mocninou. Protože je dělitelné 11 , musí být dělitelné číslem 121 , takže $100 a+b=99 a+$ $+a+b$ je dělitelné 11 , odkud $a+b=11$. Hledané číslo má tvar $11(99 a+11)=11$. $\cdot 11(9 a+1)$. Pouze pro $a=7$ je $9 a+1$ druhou mocninou, jediným řešením je číslo $7744=88^{2}$.] |
|
|
| Literatura: J. Sedláček: Co víme o přirozených číslech, 2. svazek Školy mladých matematiků (S̆MM), MF Praha 1977, |
|
|
| F. Veselý: $O$ dělitelnosti čísel celých, 14. sv. ŠMM, MF Praha 1966. |
|
|
| 2. Sestrojte lichoběžník, jsou-li dány délky $9 \mathrm{~cm}$ a $12 \mathrm{~cm}$ jeho úhlopř́ček, délka $8 \mathrm{~cm}$ střední přićky a vzdálenost $2 \mathrm{~cm}$ středi úhlopřiček. |
|
|
| ŘEŠENí. Zvolme označení podle obr. $1, K P$ je střední příčka v trojúhelníku $A C D$, |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 1 |
|
|
| proto $|K P|=\frac{1}{2}|D C|$, obdobně $|Q L|=\frac{1}{2}|D C|,|P L|=\frac{1}{2}|A B|$, takže $|P Q|=\frac{1}{2}(a-c)=$ $=2 \mathrm{~cm}$. Protože $|K L|=\frac{1}{2}(a+c)=8 \mathrm{~cm}$, je $a=10 \mathrm{~cm}, c=6 \mathrm{~cm}$. Nejdříve sestrojíme trojúhelník $A E C$ podle věty $s s s$, na úsečce $A E$ pak bod $B$, jím vedeme rovnoběžku s $C E$. Ta protne přímku vedenou bodem $C$ rovnoběžně s $A E$ v bodě $D$. |
|
|
| Řešitelé by si měli připomenout pojem střední přičky lichoběžníku, jejíž délka se rovná aritmetickému průměru délek základen. |
|
|
| POMOCNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Sestrojte lichoběžník, jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé, mají délky $6 \mathrm{~cm}$ a $8 \mathrm{~cm}$, jestliže se délka kratší základny rovná $2 \mathrm{~cm}$. |
|
|
| [Postup řešení je obdobný, nejdříve sestrojíme pravoúhlý trojúhelník $A C E \mathrm{~s}$ danými odvěsnami.] |
|
|
| 2. Střední příčka dělí lichoběžník na dva lichoběžníky, poměr jejich obsahů je $q$. Určete poměr délek základen lichoběžníku. Pro která $q$ má úloha řešení? (41-C-S-3) |
|
|
| [Označíme-li $a, c$ délky základen, je $q=(3 a+c):(a+3 c)$, nebot oba menší lichoběžníky mají poloviční výšku než pưvodní a délka střední přičky, která je základnou vzniklých lichoběžníků, je $\frac{1}{2}(a+c)$. Je pak $a: c=(3 q-1):(3-q)$. Toto číslo je kladné, $q$ je menší než 3 a větší než $\frac{1}{3}$, ale různé od 1 ( $a$ je různé od $c$ ).] |
|
|
| 3. Určete obsah lichoběžníku, jestliže jsou dány délky $a, c$ obou jeho základen, délka $u$ jedné úhlopříčky a úhlopřičky jsou navzájem kolmé. (36-C-II-1) |
|
|
| [Označení opět jako na obr., trojúhelníky $C D A, C D B$ a $B E C$ mají stejný obsah, proto |
| se obsah lichoběžníku rovná obsahu pravoúhlého trojúhelníku $A C E$. Přepona je $a+c$, jedna odvěsna je $u$, obsah je $\frac{1}{2} u \sqrt{(a+c)^{2}-u^{2}}$.] |
|
|
| 3. Najděte všechny dvojice přirozených čísel $a, b$, pro které platí |
|
|
| $$ |
| n(a, b)+D(a, b)=63 |
| $$ |
|
|
| kde $n(a, b)$ znači nejmenši společný násobek a $D(a, b)$ největši společný dělitel čísel $a, b$. |
|
|
| ŘEŠENÍ. Využijeme to, co jsme uvedli v 1. úloze. Je $a=D p, b=D q, n=D p q$, kde $D$ je největší společný dělitel, $n$ nejmenší společný násobek čísel $a, b$, čísla $p, q$ jsou nesoudělná. Podle textu úlohy má platit $D(1+p q)=63$, takže máme tyto možnosti (bez újmy na obecnosti předpokládáme, že $a \leqq b$ ): |
|
|
| | $D$ | $p q$ | $(p, q)$ | | $(a, b)$ | | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | 1 | 62 | $(1,62)$, | $\overline{(2,31)}$ | $(1,62)$, | $\overline{(2,31)}$ | |
| | 3 | 20 | $(1,20)$, | $(4,5)$ | $(3,60)$, | $(12,15)$ | |
| | 7 | 8 | $(1,8)$ | | $(7,56)$ | | |
| | 9 | 6 | $(1,6)$, | $(2,3)$ | $(9,54)$ | $(18,27)$ | |
| | 21 | 2 | $(1,2)$ | | $(21,42)$ | | |
|
|
| Úloha má 8 řešení, nerozlišujeme-li pořadí čísel $a, b$. |
|
|
| POMOCNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Najděte nejmenší přirozené číslo, jehož polovina druhé mocniny je druhou mocninou přirozeného čísla a jehož třetina třetí mocniny je třetí mocninou přirozeného čísla. (35-C-II-1) |
|
|
| [Hledané číslo $n$ je tvaru $n=2^{k} \cdot 3^{l} \cdot c$, kde $c$ je přirozené číslo, které není dělitelné ani dvěma, ani třemi. Pak $\frac{1}{2} n=2^{k-1} \cdot 3^{l} \cdot c$ má být druhou mocninou, proto musí být $k$ liché a $l$ sudé. Č́́slo $\frac{1}{3} n=2^{k} \cdot 3^{l-1} \cdot c$ je třetí mocninou, tzn. že čísla $k, l-1$ jsou dělitelná třemi. Nejmenší $n$ dostaneme, položíme-li $c=1, k=3, l=4$. Je tedy $n=648, \frac{1}{2} n=324=18^{2}, \frac{1}{3} n=216=6^{3}$.] |
|
|
| 2. Dokažte, že pro největší společný dělitel $D$ a nejmenší společný násobek $n$ čísel $a, b$ platí $a b=D n$. Pozor - pro tři čísla toto neplatí, viz čísla $1,2,4, D=1, n=4$, $1 \cdot 2 \cdot 4=8$. |
|
|
| Literatura: stejná jako při úloze C-I-1. |
|
|
| 4. Dokažte, že pro délky $a, b, c$ stran libovolného trojúhelníku platí |
|
|
| $$ |
| \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{a b c^{2}} \leqq 2 |
| $$ |
|
|
| Pro které trojúhelníky nastane v předchozím vztahu rovnost? |
|
|
| ŘEŠENí. Uvedenou nerovnost upravíme na ekvivalentní tvar |
|
|
| $$ |
| 0 \leqq\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right) c^{2} |
| $$ |
|
|
| tj. |
|
|
| $$ |
| 0 \leqq(a-b)^{2} \cdot\left[(a+b)^{2}-c^{2}\right] . |
| $$ |
|
|
| Protože $a+b>c$, platí tato nerovnost pro délky libovolného trojúhelníku, rovnost nastane, právě když $a=b$, tedy pro rovnoramenné trojúhelníky se základnou $c$. |
|
|
| POMOCNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Odvodte Heronův vzorec: Pro obsah $S$ trojúhelníku s délkami stran $a, b, c$ platí |
|
|
| $$ |
| 16 S^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) . |
| $$ |
|
|
| [Můžeme předpokládat, že při straně $a$ jsou oba úhly ostré, pata výšky $v$ rozdělí stranu $a$ na úsečky délek $a-x, x$ (obr.). Je tedy $2 S=a v, x^{2}+v^{2}=b^{2},(a-$ $-x)^{2}+v^{2}=c^{2}$. Z posledních dvou rovnic vyloučíme $x$ a vyjádříme $v$. Dostaneme $16 S^{2}=4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}$ a použijeme vícekrát vzorec pro rozdíl druhých mocnin. |
|
|
| 2. Dokažte, že pro délky $a, b, c$ stran trojúhelníku platí |
|
|
|  |
|
|
| $$ |
| a^{2}+b^{2}+c^{2}<2 a b+2 b c+2 c a . |
| $$ |
|
|
| 3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla $a, b, c$ platí |
|
|
| $$ |
| 2 a b+2 b c+2 c a \leqq 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) . |
| $$ |
|
|
| [Nerovnost v úloze 2 je ekvivalentní s nerovností $0<(a+b-c) c+(b+c-a) a+(c+a-b) b$, nerovnost $\mathrm{v}$ úloze $1 \mathrm{~s}$ nerovností $0 \leqq(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$.] |
|
|
| Literatura: S. Horák: Nerovnosti v trojúhelníku, 57. svazek ŠMM, MF Praha 1986. |
|
|
| 5. Třicet maturantư jednoho gymnázia si podalo přihlášku $k$ dalšímu studiu na některou ze šesti fakult Českého vysokého učeni technického. Využili možnost podat více přihlášek, a tak polovina žákui podala přihlášku aspǒ̌ na tři fakulty, třetina si podala přihlášku na více než tři fakulty. Na fakultu architektury se s ohledem na talentovou přijimací zkoušku nehlásil nikdo. Dokažte, že na některou ze zbývajicích pěti fakult se přihlásilo méně než dvacet studentů. |
|
|
| ŘEŠENí. Nejdříve odhadneme, kolik přihlášek celkem maturanti podali. Polovina, tj. 15 studentů, podala jednu nebo dvě přihlášky. Z druhé poloviny podalo 10 studentů aspoň 4 , tedy 4 nebo 5 přihlášek, a zbývajících pět studentů podalo přihlášku právě na tři fakulty. Celkem podali nejvýše $15 \cdot 2+5 \cdot 3+10 \cdot 5=95$ přihlášek. Proto nemohli podat na každou fakultu aspoň 20 přihlášek, to by jich muselo být aspoň 100 . |
|
|
| Studentům doporučte, aby si udělali rozpis pro př́ipad, kdy na každou z pěti fakult bylo podáno právě 19 přihlášek (A znamená, že žák v příslušném sloupci podal přihlášku na fakultu uvedenou v řádku, znak - znamená, že přihlášku nepodal. Studenti jsou rozděleni do tří skupin, první je složena z 15 studentư, kteří podali dvě přihlášky. Následuje skupina pěti studentů s třemi přihláškami, třetí skupina má 10 členů, každý podal 5 přihlášek): |
|
|
| | student | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | 1. fakulta: | A | A | A | A | A | A | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |
| | 2. fakulta: | - | - | - | A | A | A | A | A | A | - | - | - | - | - | - | |
| | 3. fakulta: | - | - | - | - | - | - | A | A | A | A | A | A | - | - | - | |
| | 4. fakulta: | - | - | - | - | - | - | - | - | - | A | A | A | A | A | A | |
| | 5. fakulta: | A | A | A | - | - | - | - | - | - | - | - | - | A | A | A | |
|
|
| student $\quad 161718192021222324252627282930$ |
|
|
| 1. fakulta A A A -- A A A A A A A A A A |
| 2. fakulta - A A A - A A A A A A A A A A |
| 3. fakulta - A A A A A A A A A A A A A |
| 4. fakulta A - - A A A A A A A A A A A |
| 5. fakulta A A - A A A A A A A A A A A |
|
|
| ## POMOCNÁ ÚLOHA: |
|
|
| Dokažte, že za stejných předpokladů jako v soutěžní úloze si podalo aspoň na jednu fakultu přihlášku aspoň 14 studentů. |
|
|
| [Celkem podali aspoň $15 \cdot 1+5 \cdot 3+10 \cdot 4=70$ přihlášek na pět fakult. Kdyby neplatilo tvrzení této úlohy, mohlo by být přihlášek nejvýše $5 \cdot 13=65$. Rozpis pro případ, kdy si na každou z pěti fakult podalo přihlášku právě 14 studentů: |
|
|
| | student | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | | 15 | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | 1. fakulta | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | A | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |
| | 2. fakulta | - | - | - | A | A | A | - | - | - | - | - | - | 8 | - | - | |
| | 3. fakulta | - | - | - | - | - | - | A | A | A | - | - | - | $r_{1}$ | - | - | |
| | 4. fakulta | - | - | - | - | - | - | - | - | - | A | A | A | - | - | - | |
| | 5. fakulta | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | _ | - | A | A | A | |
| | student | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | |
| | 1. fakulta | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | - | - | $\mathrm{A}$ | A | A | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | A |  | - | |
| | 2. fakulta | - | A | A | A | - | A | A | A | A | A | A | - | - | A | A | |
| | 3. fakulta | - | - | A | A | A | A | A | A | A | - | - | A | A | A | A | |
| | 4. fakulta | A | - | - | A | A | A | A | - | - | A | A | A | A | A | A | |
| | 5. fakulta | A | A | - | - | A | - | - | A | A | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | A | | A | |
|
|
| 6. Do dané kružnice s poloměrem r vepište lichoběžník $A B C D$ s kratši základnou $C D$ a prưsečíkem úhlopřiček $E$ tak, aby platilo $|B C|=|C D| a|A E|=r$. |
|
|
| ŘEŠENí. Předpokládejme, že jsme již lichoběžník sestrojili (obr. 2), přímka $S E$ je |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 2 |
|
|
| nutně jeho osou souměrnosti. Označíme-li $\alpha$ velikost úhlu $A C D$, mají stejnou velikost i úhly $B D C, A B D$ a $C A B$, jak plyne ze souměrnosti lichoběžníku podle přímky $S E$ a z rovnoběžnosti přímek $C D$ a $A B$. Protože $|B C|=|C D|$, je trojúhelník $B C D$ rovnoramenný, a proto se $\alpha$ rovnají i velikosti úhli̊ $C B D$ a $C A D$. A protože $|A E|=|A S|$ a $A B$ je kolmá na $S E$, rovnají se $\alpha$ také velikosti úhlů $S A B$ a $S B A$. Z rovnoramenného |
| trojúhelníku $A S D$ plyne, že úhly $S A D$ a $S D A$ mají velikost $3 \alpha$, velikost úhlu $S D B$ je $2 \alpha$ (trojúhelník $S D B$ je také rovnoramenný). Z trojúhelníku $A C D$ pak plyne, že $8 \alpha=180^{\circ}, \alpha=22,5^{\circ}$. Tím už je dána konstrukce: zvolíme na dané kružnici libovolně bod $A$, jím vedeme přímku $p$ svírající s přímkou $A S$ úhel $2 \alpha=45^{\circ}, p$ protne kružnici $k$ v bodě $C$ různém od $A$. Na úsečce $A C$ zvolíme bod $E,|A E|=r$. Body $B, D$ sestrojíme jako body souměrně sdružené k bodům $A, C$ podle přímky $S E$. Jiná volba bodu $A$ by vedla pouze $\mathrm{k}$ řešení, které by vzniklo otočením řešení již sestrojeného. Podobně volba druhé přímky vedené bodem $A$ pod úhlem $45^{\circ} \mathrm{s}$ přímkou $A S$ vede $\mathrm{k}$ řešení souměrně sdruženému k sestrojenému podle přímky $A S$. |
|
|
| ## POMOCNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Pomocí úhlů v rovnoramenných trojúhelnících dokažte větu o obvodovém a středovém úhlu (obr. a). Proved'te důkaz také v případě, kdy je bod $S$ bodem trojúhelníku $A B C$. |
| 2. Dokažte také, že polovině středového úhlu se rovná i úhel $E A B$, kde $A E$ je tečna kružnice $k$ (obr. a), tzv. úhel úsekový. |
|
|
|  |
|
|
| a |
|
|
|  |
|
|
| b |
|
|
| 3. Čtyřúhelník má tři strany stejně dlouhé, délka čtvrté strany se rovná délce jedné i druhé úhlopřićčky čtyřúhelníku. Určete velikosti vnitřních úhlů čtyřúhelníku. Jaký je to čtyřúhelník? (40-C-S-1) |
|
|
| [Zvolme označení vrcholů tak, že $|B C|=|C D|=|D A|$ (strany) a $|A B|=|A C|=|B D|$ (obr. b). Ze shodnosti trojúhelníků $A B C, B A D$ (podle věty sss) plyne, že čtyřúhelník je rovnoramenný lichoběžník osově souměrný podle osy úsečky $A B$. Označíme-li $\alpha$ velikost úhlu $A C D$, velikost úhlu $C B A$ je $2 \alpha$ a $\alpha=36^{\circ}$. Velikosti vnitřních úhlů jsou $72^{\circ}$ a $108^{\circ}$.] |
|
|
| Literatura: S. Horák: Kružnice, 16. svazek ŠMM, MF Praha 1966. |
|
|
|
|
