| {"year": "2014", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Déterminer tous les nombres réels $x, y, z$ satisfaisant le système d'équations suivant : $x=\\sqrt{2 y+3}, y=\\sqrt{2 z+3}, z=\\sqrt{2 x+3}$.", "solution": "Il est évident que les nombres $x, y, z$ doivent être strictement positifs. Les deux premières équations donnent $x^{2}=2 y+3$ et $y^{2}=2 z+3$. En les soustrayant, on obtient $x^{2}-y^{2}=2(y-z)$. On en déduit que si $x \\leqslant y$ alors $y \\leqslant z$, et de même si $y \\leqslant z$ alors $z \\leqslant x$. Donc si $x \\leqslant y$, on a $x \\leqslant y \\leqslant z \\leqslant x$, ce qui impose que $x=y=z$.\n\nOn montre de même que si $x \\geqslant y$ alors $x=y=z$. Donc dans tous les cas, $x, y, z$ sont égaux, et leur valeur commune satisfait l'équation $x^{2}=2 x+3$, qui s'écrit encore $(x-3)(x+1)=0$. Or, $x$ est strictement positif, donc nécessairement $x=y=z=3$. Réciproquement, on vérifie immédiatement que $x=y=z=3$ est bien solution du système.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2014-2015-ofm-2014-2015-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"}} |
| {"year": "2014", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soient $n$ et $k$ des entiers strictement positifs. Il y a $n k$ objets (de même taille) et $k$ boîtes qui peuvent contenir chacune $n$ objets. Chaque objet est colorié en une couleur parmi $k$ couleurs possibles. Montrer qu'il est possible de ranger les objets dans les boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.", "solution": "On le montre par récurrence sur $k$. Si $k=1 c^{\\prime}$ est évident. Supposons la propriété vraie pour tous les entiers $<k$.\n\nSi l'une des couleurs $c$ est prise exactement $n$ fois, on range tous les objets dont la couleur est $c$ dans la dernière boîte. L'hypothèse de récurrence permet de ranger les $n(k-1)$ objets restants dans les $k-1$ premières boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.\n\nSupposons donc qu'aucune couleur ne soit prise exactement $n$ fois. Si toutes les couleurs sont prises $\\leqslant n-1$ fois, alors il y a au plus $(n-1) k$ objets au total, ce qui contredit l'hypothèse. Donc l'une des couleurs $c_{1}$ est prise $\\geqslant n+1$ fois. De même, l'une des couleurs $c_{2}$ est prise $\\leqslant n-1$ fois.\n\nOn place alors tous les objets de couleur $c_{2}$ dans la dernière boîte. On complète cette boîte avec des objets de couleur $c_{1}$. L'hypothèse de récurrence permet de ranger les $n(k-1)$ objets restants dans les $k-1$ premières boîtes de sorte que chaque boîte contienne des objets d'au plus 2 couleurs différentes.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2014-2015-ofm-2014-2015-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"}} |
| {"year": "2014", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "On dit qu'un entier strictement positif $n$ est amusant si pour tout diviseur strictement positif $d$ de $n$, l'entier $d+2$ est premier. Déterminer tous les entiers amusants dont le nombre de diviseurs est maximum.", "solution": "Soit $n$ un entier amusant et $p$ un diviseur premier de $n$. Alors $p$ est impair, puisque $p+2$ est premier.\n\nSupposons que $p \\geqslant 5$. Alors $p+2$ est premier, et $p+2>3$, donc $p+2$ n'est pas divisible par 3. On en déduit que $p$ n'est pas congru à 1 modulo 3 . Il est clair que $p \\mathrm{n}^{\\prime}$ est pas congru à 0 modulo 3 , donc $p \\equiv 2(\\bmod 3)$. Supposons que $p^{2} \\mid n$. Alors $p^{2} \\equiv 1(\\bmod 3)$, donc $p^{2}+2 \\equiv 0$ $(\\bmod 3)$. De plus, $p^{2}+2$ est premier, donc $p^{2}+2=3$, ce qui est impossible.\n\nOn déduit de ce qui précède que si $p \\geqslant 5$ est un diviseur premier de $n$, alors $p^{2}$ ne divise pas $n$.\n\nDe même, si $p_{1}$ et $p_{2}$ sont des diviseurs premiers distincts $\\geqslant 5$ de $n$, alors $p_{1} p_{2}$ divise $n$, donc $p_{1} p_{2}+2$ est divisible par 3 , ce qui est impossible.\n\nPar conséquent, tout entier amusant $n$ est de la forme $n=3^{k}$ ou bien $3^{k} p$ où $p$ est premier.\nOn vérifie que $3+2,3^{2}+2,3^{3}+2$ et $3^{4}+2$ sont premiers mais $3^{5}+2$ ne l'est pas, donc $k \\leqslant 4$. Les entiers amusants de la forme $3^{k}$ ont donc au plus 5 diviseurs.\n\nSi $n=3^{4} \\times 5=405$, alors $n+2$ n'est pas premier donc $n$ n'est pas amusant.\nSi $n=3^{k} p$ avec $p \\geqslant 7$ premier, et $k \\geqslant 3$, alors les nombres $p, 3 p, 9 p, 27 p$ sont des diviseurs de $n$ congrus à $p, 3 p, 4 p, 2 p$ modulo 5 . Aucun n'est congru à 0 modulo 5 , et les congruences de ces quatre nombres modulo 5 sont deux à deux distinctes, donc à l'ordre près valent $1,2,3,4$. On en déduit qu'il existe un diviseur $d \\geqslant 7$ de $n$ tel que $d \\equiv 3(\\bmod 5)$. On a donc $d+2>5$ et $5 \\mid d$, ce qui entraîne que $d$ n'est pas premier.\n\nOn déduit de ce qui précède que les entiers amusants de la forme $3^{k} p$ vérifient $k \\leqslant 2$ ou bien $(k \\leqslant 3$ et $p=5$ ), donc ont au plus 8 diviseurs, avec égalité seulement lorsque $k=3$ et $p=5$. Réciproquement, on vérifie que $3^{3} \\times 5$ est amusant, donc l'unique entier ammusant ayant un nombre maximal de diviseurs est $3^{3} \\times 5=135$.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2014-2015-ofm-2014-2015-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"}} |
| {"year": "2014", "tier": "T1", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $A B C$ un triangle non isocèle. Soit $\\omega$ le cercle inscrit et $I$ son centre. On note $M, N, P$ les points de contact de $\\omega$ avec les côtés $[B C],[C A],[A B]$. Soit $J$ le point d'intersection entre $(M N)$ et $(I C)$. La droite $(P J)$ recoupe $\\omega$ en $K$. Montrer que\na) $C K I P$ est cyclique;\nb) $(C I)$ est la bissectrice de $\\widehat{P C K}$.", "solution": "\na) Comme $(I N) \\perp(N C)$ et $(I M) \\perp(M C)$, les points $M$ et $N$ sont situés sur le cercle de diamètre [IC], donc $I, M, C, N$ sont cocycliques.\n\nD'après la puissance d'un point par rapport à ce cercle, on a $J I \\cdot J C=J M \\cdot J N$. D'autre part, en utilisant la puissance par rapport au cercle inscrit, on a $J M \\cdot J N=J K \\cdot J P$, donc finalement $J I \\cdot J C=J K \\cdot J P$, ce qui entraîne que $P, I, K, C$ sont cocycliques.\nb) D'après la question a), on a $\\widehat{I C P}=\\widehat{I K P}$ et $\\widehat{K C I}=\\widehat{K P I}$. Or, $I P K$ est isocèle en $I$, donc $\\widehat{I K P}=\\widehat{K P I}$, ce qui entraîne que $\\widehat{I C P}=\\widehat{K C I}$.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2014-2015-ofm-2014-2015-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "## Solution de l'exercice 4"}} |
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