| {"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Les cases d'une grille à 10 lignes et 10 colonnes sont coloriées en blanc et en noir. Un coloriage de ces cases est dit homogène s'il contient un carré $3 \\times 3$ monochrome, et inhomogène sinon. Montrer qu'il existe plus de coloriages inhomogènes que de coloriages homogènes.", "solution": "Il y a $2^{100}$ coloriages possibles. Si $c$ est un carré $3 \\times 3$, le nombre de coloriages tels que $c$ soit monochrome est égal à $2 \\times 2^{91}=2^{92}$. Or, il y a 64 carrés $3 \\times 3$, donc il y a au plus $64 \\times 2^{92}=2^{98}$ coloriages homogènes.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 1.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 1"}} |
| {"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Montrer que si $a, b, c$ sont des nombres réels positifs vérifiant $a+b+c=1$ alors\n\n$$\n\\frac{7+2 b}{1+a}+\\frac{7+2 c}{1+b}+\\frac{7+2 a}{1+c} \\geqslant \\frac{69}{4}\n$$", "solution": "Comme $7+2 b=5+2(1+b)$, on écrit le membre de gauche sous la forme\n\n$$\n5\\left(\\frac{1}{1+a}+\\frac{1}{1+b}+\\frac{1}{1+c}\\right)+2\\left(\\frac{1+b}{1+a}+\\frac{1+c}{1+b}+\\frac{1+a}{1+c}\\right)\n$$\n\nEn utilisant l'inégalité $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}+\\frac{1}{z} \\geqslant \\frac{9}{x+y+z}$, on minore le premier terme par $\\frac{45}{4}$.\nEn utilisant l'inégalité $x+y+z \\geqslant 3 \\sqrt[3]{x y z}$, on minore le second terme par 6 . L'assertion à démontrer en découle.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 2.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 2"}} |
| {"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $A B C$ un triangle, et $M$ le milieu de $[B C]$. On note $I_{b}$ et $I_{c}$ les centres des cercles inscrits à $A M B$ et $A M C$. Montrer que le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $A B I_{b}$ et $A C I_{c}$ se situe sur la droite $(A M)$.", "solution": "Soit $T$ l'intersection entre le cercle de diamètre $[B C]$ et la demi-droite $\\left[M A\\right.$ ). Il suffit de montrer que $T$ appartient au cercle $A B I_{b}$ (par symétrie des rôles de $B$ et $C$, ceci montrera qu'il appartient également au cercle $A C I_{c}$ ).\nComme $\\widehat{B T C}$ est droit, on a $\\widehat{A T B}=90^{\\circ}+\\frac{1}{2} \\widehat{A M B}=\\widehat{A I_{b} B}$.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 3.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 3"}} |
| {"year": "2015", "tier": "T1", "problem_label": "4", "problem_type": null, "exam": "French_tests", "problem": "Soit $n \\geqslant 1$ un entier. On suppose qu'il existe exactement 2005 couples $(x, y)$ d'entiers naturels tels que $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}=\\frac{1}{n}$. Montrer que $n$ est le carré d'un entier.\nN.B. Si $x \\neq y$ alors $(x, y) \\neq(y, x)$.", "solution": "On remarque que $x>n$ et $y>n$.\nL'équation s'écrit $x y=n(x+y)$, ou encore $n^{2}=(x-n)(y-n)$. On en déduit qu'il y a exactement 2005 couples d'entiers naturels $(u, v)$ tels que $n^{2}=u v$.\nSi $n^{2}=u v$ alors $u$ est un diviseur de $n^{2}$. Réciproquement, si $u$ est un diviseur de $n^{2}$ alors l'équation $n^{2}=u v$ détermine uniquement $v$. On en déduit que $n^{2}$ admet exactement 2005 diviseurs.\nEcrivons $n=p_{1}^{\\alpha_{1}} \\cdots p_{r}^{\\alpha_{r}}$ avec $p_{i}$ premiers distincts et $\\alpha_{i}$ entiers. On a donc $n^{2}=p_{1}^{2 \\alpha_{1}} \\cdots p_{r}^{2 \\alpha_{r}}$. On sait que le nombre de diviseurs de $n^{2}$ est égal à $\\left(2 \\alpha_{1}+1\\right) \\cdots\\left(2 \\alpha_{r}+1\\right)$. Or, la décomposition en facteurs premiers de 2005 est $5 \\times 401$, donc soit $r=1$ et $2 \\alpha_{1}+1=2005$, soit $r=2$ et $2 \\alpha_{1}+1=5$, $2 \\alpha_{2}+1=401$. Dans tous les cas, les $\\alpha_{i}$ sont pairs donc $n$ est un carré parfait.", "metadata": {"resource_path": "French/segmented/tests/fr-2015-2016-ofm-2015-2016-test-fevrier-junior-corrige.jsonl", "problem_match": "\nExercice 4.", "solution_match": "\nSolution de l'exercice 4"}} |
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