| # JMMO 2008 |
|
|
| 1. Даден е $3 \times 3$ квадрат поделен на 9 квадратчиња и во секое квадратче е запишан цел број, така што збировите на елементите во секоја редица, секоја колона и секоја дијагонала се еднакви. Докажи дека овој збир не може да биде еднаков на 2008. |
|
|
| Решение. Нека збирот на секоја редица и колона е $m$. Тогаш еден магичен квадрат мора да го има следниов облик: |
|
|
| | $x$ | $y$ | $m-x-y$ | |
| | :--- | :--- | :--- | |
| | $a$ | $b$ | $m-a-b$ | |
| | $m-x-a$ | $m-b-y$ | $x+a+b+y-m$ | |
|
|
| Бидејќи и сумата на елементите на дијагоналите мора да е $m$, добиваме: |
|
|
| $$ |
| \left\{\begin{array}{l} |
| x+b+x+a+b+y-m=m \\ |
| m-x-a+b+m-x-y=m |
| \end{array}\right. |
| $$ |
|
|
| т.е. |
|
|
| $$ |
| \left\{\begin{array}{l} |
| 2 x+a+y+2 b=2 m \\ |
| 2 x+a+y-b=m |
| \end{array}\right. |
| $$ |
|
|
| Со одземање на равенствата, се добива: |
|
|
| $$ |
| 2 b+b=2 m-m |
| $$ |
|
|
| односно $3 b=m$, од каде $3 \mid m$. Но, 3 не е делител на 2008 , од каде добиваме дека 2008 не може да биде бараната сума. |
|
|
| 2. Нека $S$ е подмножество од $\{1,2, \ldots, 9\}$, такво што збировите на секои два елементи од $S$ се различни. На пример множеството $\{1,2,3,5\}$ има такво својство, но множеството $\{1,2,3,4,5\}$ не, бидејќи $\{2,3\}$ и $\{1,4\}$ имаат збир 5 . Колку најмногу елементи може да содржи $S$ ? |
|
|
| Решение. Лесно се проверува дека $\{1,2,3,5,8\}$ го задоволува условот на задачата. |
|
|
| Ќе докажеме дека $S$ не може да содржи повеќе од 5 елементи. |
|
|
| Нека $S$ содржи барем шест елементи. Тогаш најмалиот можен збир на паровите е 3 , а најголемиот $8+9=17$, т.е. можни збирови се |
|
|
| $$ |
| 3,4,5, \ldots, 17 |
| $$ |
|
|
| и нив ги има 15. Од друга страна имаме најмалку $5+4+3+2+1=15$ |
| различни парови. Односно, точно сите збирови од (*) се јавуваат по еднаш. Последното значи дека мора 1,2 и 8,9 да се во $S$. Но тогаш $1+9=2+8$. што противречи на условот. |
| |
| Значи максималниот број елементи што може да ги содржи $S$ е 5 . |
| |
| 3. Даден е остроаголен триаголник $A B C$. Точката $D$ е подножје на висината спуштена од $A$ кон страната $B C$. Точката $E$ лежи на отсечката $A D$ и при тоа важи $\frac{\overline{A E}}{\overline{E D}}=\frac{\overline{C D}}{\overline{D D}}$. Точката $F$ е подножје на нормалата повлечена од точката $D$ кон правата $B E$. Докажи дека $\angle A F C=90^{\circ}$. |
| |
| Решение. Нека $P$ е точка таква што четириаголникот $A D C P$ е правоаголник. |
| |
| Тогаш $\frac{\overline{A E}}{\overline{E D}}=\frac{\overline{C D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A P}}{\overline{D B}}$. Според тоа, точките $B, E$ и $P$ се колинеарни.(Зошто?). Затоа $\angle D F P=90^{\circ}$ и бидејќи $\angle D C P=90^{\circ}$, добиваме дека $F, D, C, P$ лежат на иста |
| |
|  |
| кружница, т.е кружницата опишана околу правоаголникот $A D C P$. Конечно $\angle A F C=90^{\circ}$, како агол над дијаметар. |
| |
| 4. Нека $a$ и $b$ се природни броеви поголеми од 2. Докажи дека постои природен број $k$ и конечна низа $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}$ од природни броеви, такви што $n_{1}=a, n_{k}=b$, и $\left(n_{i}+n_{i+1}\right) \mid n_{i} n_{i+1}, \forall i=1, \ldots, k$. |
| |
| Решение. Пишуваме $a \leftrightarrow b$, ако постои бараната низа. Лесно се гледа дека " $\leftrightarrow$ "е релација за еквиваленција. |
| |
| Да забележиме дека за секој $n, n \geq 3$, важи $n \leftrightarrow 2 n$, и бараната низа е |
| |
| $$ |
| n_{1}=n, n_{2}=n(n-1), n_{3}=n(n-1)(n-2), n_{4}=n(n-2), n_{5}=2 n |
| $$ |
| |
| За природен број $n, n \geq 4, n^{\prime}=(n-1)(n-2) \geq 3$, па следува |
| |
| $$ |
| n^{\prime} \leftrightarrow 2 n^{\prime} |
| $$ |
| |
| За $n \geq 4$, имаме: |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| & n_{1}=n, n_{2}=n(n-1), n_{3}=n(n-1)(n-2), n_{4}=n(n-1)(n-2)(n-3) \\ |
| & n_{5}=2(n-1)(n-2)=2 n^{\prime} |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| т.е. |
| |
| $$ |
| n \leftrightarrow 2 n^{\prime} |
| $$ |
| |
| и: |
| |
| $$ |
| n_{1}^{\prime}=n^{\prime}=(n-1)(n-2), n_{2}^{\prime}=n-1 |
| $$ |
| |
| т.е. |
| |
| $$ |
| n^{\prime} \leftrightarrow n-1 |
| $$ |
| |
| Сега, од (1), (2), (3) добиваме: |
| |
| $$ |
| n \leftrightarrow 2 n^{\prime}, 2 n^{\prime} \leftrightarrow n^{\prime}, \quad n^{\prime} \leftrightarrow n-1 |
| $$ |
| |
| па од транзитивност, добиваме |
| |
| $$ |
| n \leftrightarrow n-1, \text { за секој природен број } n, n \geq 4 |
| $$ |
| |
| односно, заради симетричност |
| |
| $$ |
| n \leftrightarrow n+1, \text { за секој природен број } n, n \geq 3 |
| $$ |
| |
| Одовде, лесно може секои два природни $a$ и $b$, да се поврзат со оваа релација, од каде добиваме дека бараното тврдење важи. |
| |
| |
