ЗАДАЧА 1. Неха $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1 v 4}$ се дени броеви такви што
Да се определи остатокот при делење на $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{199}^{3}$ со 6 .
PEILIHVIE. Бидејки $a^{3}-a=(a-1) a(a+1)$, јасно е дека за секој цел број $a$ вахх: $a^{3}=a($ мод 6). Знача :
Бидејки 1994 = 2(мод 6), доволно е да се определи остатокот при делење на $2^{\text {vom }}$ co 6. Но, $2^{2 k+1}=2($ мод 6$)$ и $2^{2 k}$ = $4($ мод 6$)$, па бараниот остаток е 4 .
ЗАДАЧА 2. Неха $A B C$ е тркагоднвв чии темиња имаат целобројни хоординати и во чија внатрешшвост пөстоп точно една точка $O$ со целобројни координати. Неха точката $D$ е пресекот на правите $B C$ и $A O$. Да се определи најгодемата можна вредноог на $\frac{\overline{A O}}{\overline{\partial D}}$.
PEHEHYE. Hexa $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ ce среддни на $B C, A C$ и $A B$, соодветно.
Внатрешната точка $O$ со целобројни коорданати не може да се наоѓа во внатрешноста на триаполниците I,II или III. Неха, на пример, точката $O$ се наоѓа во триаголнихот I. При хомотетија со центар во $A$ и коефициент 2, триаголникот I се прествкува во $A B C$, а точката $O$ во точха $O^{\prime}$ с делобројна воордината. Според тоа, $A B C$ содрхи две точки со делобројпи координати, противречност.
Внатрешната точка $O$ со делобројни координати не може да се наоѓа ниту во внатрещноста на триаголнидте IV,V или VI. Нека, на пример, точхата $O$ се наоға во трдаголнихот IV. Нри хомотетија со центар во $A^{\prime}$ и коефицдент 3 , тркаголникот IV œ пресликува во $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, а точката $O$ во точка $O^{\prime}$ со делобројна координата. Но, тоа значи деха $A B C$ содржи две точки со пелобројни коорданати што по претпоставка не е точно.
Од сето досега, јасно е деха бараниот однос е најмногу 5 (висините на триаголницате IV, V и VI се $1 / 6$ од висднвте на $A B C$ ), и тој сооднос се достігнува на пример за триаголнив: $A(0,0), B(6,2) ; C(6,3)$.
ЗАДАЧА 3.а) Неха $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се пенегатввні реалви броеві н $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да œе определи махсвмалната вредност на сумата
б) Неха $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(n>2)$ се венегативнд прғоддід броевн и $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=m$. Да се ошредели матсималвата вредност на сумата
PEIIIEHUE. a) Означуваме $K=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$. Имаме :
Согласно врскаха мену геометрисва, арщметичка и хвадратна средива, за $i=1,2, \ldots, n, j=1,2, . ., n, i \neq j$, добнваме :
од каде што по сумирање ва сите вахви неравенства добиваме $S \leq \frac{n-1}{2} K$.
Со замената $K=m^{2}-2 S$, од последното добвваме $S S \frac{(n-1)^{2} m}{2 n}$, при што равенство се достига за $x_{1}=x_{2}=\ldots .=x_{n}=\frac{m}{n}$.
б) Воведуваме ознаха
Нека максвмалната вредвост на $S$ се достита за $x_{1}=a_{1}, x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n}=a_{n}$.
Да петіоставиме дека постојат два броја $a$, . $a$, ( $i<j$ ) за кои $a_{i}-a_{j}>2$. Toram :
штто не е можно бидејки максвмалната вредност за $S$ се добвна за $x_{1}=a_{1}$, $x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{n}=a_{n}$. Ист заклучок с изведува и аво $i>j$. Значе, био код два
$n-r$ се едваквв на $k$, при што $0<r<n$. Имаме
Одтуха е јасно (бидејки $0 \leq r<n$ ) деха $r$ е остатохот дри делење ва $m$ со $n$, а $k$ е соодветвиот количник.
Значе, махсвмалната вредвост на $S$ се добдва кога $r$ од броевіте $x_{1}$ се $k+1$, а $n-r$ се $k$, хаде птто $k$ е количникот, а $r$ е остатохот при делење на $m$ $\infty \quad n$. Притоа, максвмалната вредвост на $S$ e
Fi PHili. Ḱe noтaneme nexa од усnomire ва задачата следува
ce noxprjaт со вpyr co дхjaverep 1. Ho, като н да се езберат 98-те точки, барем две од топстre $A ; B, C$ i $D$ to onger mиучент во ндв. Бддејки тие две
две точдв од цуг е едваве в дпjgметарот на щууоот). Значи од кои било
Неха $X$ е провsвonв дnam тoчza. Конструвpaмe хруг $K X$ со центар
потрававе co eqен хруг.
похрававе co 2 хруra.
KY. Hexa Z е точса вqpoop or дpyтostre $K X$ в $K Y$. Копструвpaмe хруг $K Z$ со цевтар во $Z$ п рafryс 1. Да преrmocrangue дега постоп точка $W$ надвор од вpyтonare $K X, K Y$ в $K Z$. Toram, tomine $X, Y, Z$ & $W$ ce qемвp точкн тaxa пuто
дадени точки. Добтвме дека, без огмен распоредот на точките, доволния
Да докахезе деха постое спушуj to гој се потребнд најмалку три кру-'
трmanomax co crpara 3, a пpeocrubintre тoгв се во хрутот со двjаметар 1 и дентар во $R$. Baxa постаsentre тонвт н надоводуваат условите на задачата.
$S$ i $T$, зanoa mrтo pajamerapor ma qyт co panyc 1 e 2, a pacrojaнвето меfу $R, S$ и
ЗАДАЧА 5. Од дефектвi тogu $\infty$ дмензїа $3^{n} \times 3^{n}(n \in N, n>1)$ e
a) Догаху деха ceroja дефества тава $\infty$ двменкпја $3^{n} \times 3^{n}$ може да c пoxpse co фarypir oд облат $\square$ (ro mapexysaмe oбляz 1) в $\square \square \square$ (ro нарехуваме облвв 2). Фдтуріте штто ја похргваaт таблата не смеат да - се цеериваат меfусебно и ве смеат да го мануваат работ ва таблата. Исто така отстранетнот хвадрат од таблата не сreе да் бдде похрнен.
вање на таблата?
со трн. Но, бројот на квадратя на дефектва табла цпто треба да се похрвјат е $3^{n} \cdot 3^{n}-1$, па, значв, само со фптурі од обліх 1 не е мохно похрввање.
Ḱe дозаземе деза едва фнуура од обліт 2 е доволна.
Отстранетвот хвадрат го ояначуваме со $P$.
Прво, te догахеме деза постов квадрат $S$ со дрмензщја $3 \times 3$ кој то содрхв $P$ таха щтто над и под тој ввадрат ниа по парен број редвци, а, всто тава, дево н десво од тој квадрат вма по парен број на колонд. Да го разгледаме квадратот $C$ со двензцја $3 \times 3$ во чвј цевтар се наода $P$ (ваквпӧт квадрат мохе да преоға преху рабовмте на дефектната табла ахо отстранетнот квадрат е блису до работ). Бидејки 3.3 -3 е парен број, јаспо е дека над н под ввадратот С вма вхушво парен број на редвдв. Arо од двете странв вма по ветарен број на реддщи со поместуваве на С за еден ред погоре выи пододу (порадв мохната блевнна ва работ, понекогаm само едва од овие две насохя е мохва) добвваме свадрат сoj ro содрве $P$ таха mто над и под тој квадрат нка по парен број ва реддщд. Авалогва днсдусвја може да се спроведе и за колоните, на значт од свадаттот $C$ со најмвогу едво поместување во правец торе-долу и едно поместување во правед лево-деспо го добнваме бараниот квадрат $S$.
Јаспо, со две фитурв од облвв 1 мохе да се похрве дел од та6лата од
отстраветиот хвадат мохат да се похрщjат со деловн од облих - . На вахов начвн гн похрвваме слте редицв вад в под хвадратот S. Hі остапуваат трп редвид во ков се содрзв $S$ така щто лево и десно од $S$ вма по парен број вев холони. Коловнте лево н десво од $S$ ти похриваме со деловн од обуіх 1 . Досега се всхордстені само фитурн од обліт 1 , а за похр-вање оставува само хвадратот S. Постојат 9 мохвости за отстранетвот хвадрат од $C$, но само
следвіте три се битно различні:
Во сезој од трвте случад е очваглддво деха похриваве на $S$ мохе да се извртвя со едва фигура од облаг 1 и едва фпура од облах 2.
Значд, мохво е похрвваве на таблата со корпстење на само една фвгура од облех 2 .