MatematickiTalent/md/mk-primary-federal/APXg838FQkW5S94WpQmPsA.md

Сојузен натпревар 1973

Седмо одделение

1. Определи го најмалиот природен број со кој треба да се помножи бројот 8316 за да се добие број кој е точен квадрат на природен број. На кој број?

Решение. Бидејќи $8316=2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 11$ најмалиот природен број со кој треба да се помножи за да се добие квадрат на природен број е производот $3 \cdot 7 \cdot 11$. Тогаш

$$3\cdot 7\cdot 11\cdot 8316=2^2\cdot 3^4\cdot 7^2\cdot {11}^2={(2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11)}^2={1386}^{2}3\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 11\; \backslash cdot\; 8316=2^\{2\}\; \backslash cdot\; 3^\{4\}\; \backslash cdot\; 7^\{2\}\; \backslash cdot\; 11^\{2\}=\backslash left(2\; \backslash cdot\; 3^\{2\}\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 11\backslash right)^\{2\}=1386^\{2\}$$

2. По намалувањето на цената за $20 %$, за 240 денари може да се купи 1 метар платно повеќе отколку што пред намалувањето можело да се купи за 270 денари. Определи ја цената на платното пред намалувањето.

Решение. Нека $x$ е бројот на метрите кои биле купени по цена од $y$ денари по метар за 270 денари. Тогаш од условот на задачата следува $x y=270,(x+1) \frac{80 y}{100}=240$, од каде добиваме $x=9$ и $y=30$.

3. Од градовите $A$ и $B$, кои се оддалечени $250 \mathrm{km}$, истовремено во пресрет еден кон друг тргнале два моторцикли. Брзината на едниот од нив е за $10 \mathrm{km} / \mathrm{h}$ поголема од брзината на другиот. По два часа патување до средбата им преостанале уште $30 \mathrm{~km}$. Определи ја брзината на секој моторциклист.

Решение. Нека брзината на првиот мотоциклист $v \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Тогаш вториот се движи со брзина $(v-10) \mathrm{km} / \mathrm{h}$. Сега имаме

$$2v+2(v-10)=220,\text{,.e. }v=60\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}2\; v+2(v-10)=220,\; \backslash text\; \{,.e.\; \}\; v=60\; \backslash mathrm\{~km\}\; /\; \backslash mathrm\{h\}$$

4. Во рамнокрак трапез средната линија е $s$, а дијагоналата е двапати подолга од средната линија. Определи ја плоштината на овој трапез.

Решение. Нека $A B C D$ е дадениот трапез и нека $M N$ е неговата средна линија (види цртеж). Имаме $M N=s$ и $A C=2 s$. Сега, бидејќи $A C^{\prime}=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=M N=s$, добиваме

Конечно,

5. Дадена екружница $s$ со центар $O$ и дијаметар $A B=4 \mathrm{~cm}$.

a) Конструирај три тангенти на оваа кружница, од кои две се во точките $A$ и $B$, а третата таква што отсечокот $C D$ меѓу првите две тангенти е со должина $5 \mathrm{~cm}$.

б) Определи го $\Varangle C O D$.

в) Определи ја плоштината на ликот ограничен со конструираните тангенти и дадената кружница.

Решение. а) Нека $t_{1}$ и $t_{2}$ се тангентите на дадената кружница конструирани во точките $A$ и $B$ (цртеж десно). Околу произволна точка $P$ на тангентата $t_{1}$ опишуваме кружница со радиус $r=5 \mathrm{~cm}$ и во пресек со $t_{2}$ ја наоѓаме точката $Q$. Од точката $O$ повлекуваме нормала $O R$ на правата $P Q$ и во пресекот на оваа нормала со дадената кружница ја наоѓаме точката $S$. Во точката $S$ повлекуваме права паралелна со права та $P Q$ и тоа е бараната трета тангента на кружницата.

б) Имаме:

$$\mathrm{\measuredangle }COD=\mathrm{\measuredangle }COS+\mathrm{\measuredangle }SOD=\frac{1}{2}(\mathrm{\measuredangle }AOS+\mathrm{\measuredangle }SOB)={90}^{\circ }\backslash measuredangle\; C\; O\; D=\backslash measuredangle\; C\; O\; S+\backslash measuredangle\; S\; O\; D=\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash measuredangle\; A\; O\; S+\backslash measuredangle\; S\; O\; B)=90^\{\backslash circ\}$$

в) Бараната плоштина се добива кога од плоштината на трапезот $A B D C$ се одземе плоштината на половина круг со радиус $r=2 \mathrm{~cm}$. Имаме

$$P_1=\frac{AC+BD}{2}\cdot AB=\frac{CS+DS}{2}\cdot AB=\frac{CD}{2}\cdot AB=10{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\text{ и }{P}_2=\frac{4\pi }{2}=2\pi \mathrm{c}\mathrm{m}P\_\{1\}=\backslash frac\{A\; C+B\; D\}\{2\}\; \backslash cdot\; A\; B=\backslash frac\{C\; S+D\; S\}\{2\}\; \backslash cdot\; A\; B=\backslash frac\{C\; D\}\{2\}\; \backslash cdot\; A\; B=10\; \backslash mathrm\{~cm\}^\{2\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; P\_\{2\}=\backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{2\}=2\; \backslash pi\; \backslash mathrm\{cm\}$$

па е $P=P_{1}-P_{2}=(10-2 \pi) \mathrm{cm}^{2}$.

Осмо одделение

1. Нека $a$ и $b$ се произволни природни броеви. Докажи дека барем еден од броевите $a+b, a-b$ и $a b$ е делив со 3 .

Решение. Секој природен број може да се запише во еден од облиците $3 k, 3 k+1,3 k+2, k \in \mathbb{N}$. Можни се следниве слуичаи:

• Ако барем еден од броевите $a$ и $b$ е од облик $3 k$, тогаш нивниот производ е делив со 3 .
• Ако двата броја $a$ и $b$ се од облик $3 k+1$ или $3 k+2$, тогаш нивнта разлика е делива со 3.
• Ако едниод од броевите $a$ и $b$ е од облик $3 k+1$, а другиот е од облик $3 k+2$, тогаш нивниот збир е делив со 3 .

2. По намалувањето на цената за $20 %$, за 240 денари може да се купи 1 метар платно повеќе отколку што пред намалувањето можело да се купи за 270 денари. Определи ја цената на платното пред намалувањето.

Решение. Види го решението на задачата 2 од седмо одделение.

3. Во рамнината на правоаголен координатен систем $X O Y$ коструирај правоаголник $A B C D$, ако се познати координатите на три негови темиња: $A(-3,-1), B(5,-1), C(5,3)$. Определи ги:

a) координатите на четвртото теме,

б) координатите на пресекот на правите $A C$ и $B D$.

в) равенките на правите на кои припаѓаат страните и дијагоналите на овој правоаголник.

Решение. а) Координатите на четвртото теме $D$ се $(-3,4)$.

б) Координатите на пресечната точка $S$ на отсечките $A C$ и $B D$ се $x_{S}=\frac{-3+5}{2}=1, y_{S}=\frac{-1+3}{2}=1$.

в) Равенките на правите на кои лежат страните на правоаголникот се

$x=-3, x=5, y=-1, y=3$.

Равенките на правите на кои лежат дијагоналите на правоаголникот ce:

$y+1=\frac{3+1}{5+3}(x+3), y+1=\frac{3+1}{-3-5}(x-5)$, т.е. $x-2 y+1=0, x+2 y-3=0$.

4. Основите $A B$ и $C D$ на трапезот $A B C D$ се продолжени на двете страни. Симетралите на надворешните агли на трапезот во темињата $A$ и $D$ се сечат во точката $M$, а симетралите на надворешните агли во темињата $B$ и $C$ се сечат во точката $N$. Определи го периметарот на трапезот $A B C D$ ако $M N=2 k$.

Решение. Бидејќи точката $M$ лежи на симетралите на аглите во темињата $B$ и $C$, таа е еднакво оддалечена од правата $A B$ и од правата $C D$, што значи дека припаѓа на средната линија на

трапезот $A B C D$. Аналогно, точката $N$ припаѓа на средната линија на трапезот $A B C D$. Понатаму, триаголниците $N A P$ и $N D P$ се рамнокраки (Зошто?), па затоа $N P=A P=P D$. Слично, $M Q=B Q=C Q$. Конечно, за периметарот на трапезот добиваме:

5. Врвот на прав конус е во центарот на едната основа на цилиндар. Другата основа на цилиндарот и основата на конусот лежат во иста рамнина и имаат заеднички центар. Волумените на конусот и цилиндарот се еднакви. Радиусот на основата на цилиндарот е $r$, а висината на цилиндарот е $h$.

a) Определи го радиусот на основата на конусот (изразен преку $r$ ).

б) Колкав е волуменот на делот од цилиндарот кој е во конусот (изразен со помош на $r$ и $h$ ).

Решение. Нека радиусот на основата на конусот е $R$. Од $V_{k}=V_{c}$ следува

$$\frac{R^{2}h}{3}=r^{2}h,\text{ т.e. }R=r\sqrt{3}\backslash frac\{R^\{2\}\; h\}\{3\}=r^\{2\}\; h,\; \backslash text\; \{\; т.e.\; \}\; R=r\; \backslash sqrt\{3\}$$

Сега, од сличноста на триагониците $B Q N$ и $O Q S$ добиваме

$$\frac{BN}{OS}=\frac{R-r}{R}\backslash frac\{B\; N\}\{O\; S\}=\backslash frac\{R-r\}\{R\}$$

па затоа

ЗАтоа волуменот на делот од цилиндарот кој се наоѓа во конусот е:

$$V=\pi r^{2}h\frac{3-\sqrt{3}}{3}V=\backslash pi\; r^\{2\}\; h\; \backslash frac\{3-\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$$