MatematickiTalent/md/mk-primary-federal/mk-ETI2iY6gV0SqaLiVFPBlqQ.md

Сојузен натпревар 1991

Седмо одделение

1. На таблата се запишани сите природни броеви од 1 до 1991. Горјан избришал два броја и наместо нив ја запишал апсолутната вредност на нивната разлика. Тој постапката ја повторил толку пати се додека на таблата не останал еден број. Дали тој број може да биде 1991?

Решение. Нека се избришани броевите $a$ и $b$, каде $a>b$. Тогаш збирот на броевите на таблата се намалува за

$$a+b-\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }=a+b-(a-b)=2ba+b-|a-b|=a+b-(a-b)=2\; b$$

т.е. за парен број. На почетокот на таблата збирот на сите запишани броеви бил

$$1+2+3+\dots +1990+1991=\frac{1991\cdot 1992}{2}=1991\cdot 9961+2+3+\backslash ldots+1990+1991=\backslash frac\{1991\; \backslash cdot\; 1992\}\{2\}=1991\; \backslash cdot\; 996$$

Бидејќи почениот збир е парен, а во секој чекор збирот се намалува за парен број, на таблата никогаш нема да има броеви чиј збир е непарен број, што значи дека не може да оистане бројот 1991.

2. Постои вистинска дропка поголема од $\frac{1}{3}$ со следните својства:

a) постои природен број $x$ таков што дропката не ја менува вредноста ако броителот се зголеми за $x$, а именителот се помножи со $x$, б) броителот и именителот се заемно прости броеви.

Определи ги сите такви дропки.

Решение. Нека бараната дропка е $\frac{a}{b}$, каде $b \neq 0$ и $\operatorname{NZD}(a, b)=1$. Tогаш $\frac{a}{b}=\frac{a+x}{b x}$, од каде добиваме $x=\frac{a}{a-1}=1+\frac{1}{a-1}$. Бидејќи $x$ е природен број, добиваме $a-1$, т.е. $a=2$. Според тоа, $x=2$. За дропките

$$\frac{2}{3}=\frac{2+2}{2\cdot 3},\frac{2}{5}=\frac{2+2}{2\cdot 5}\backslash frac\{2\}\{3\}=\backslash frac\{2+2\}\{2\; \backslash cdot\; 3\},\; \backslash frac\{2\}\{5\}=\backslash frac\{2+2\}\{2\; \backslash cdot\; 5\}$$

се исполнети сите услови на задачата. Кај дропката $\frac{2}{4}$ броителот и именителот не се заемно прости броеви, а за $b \geq 6$ важи $\frac{2}{b} \leq \frac{1}{3}$.

3. Даден е полиномот $P(t)=t^{4}-t+\frac{1}{2}$. Докажи дека за секој реален број $t$ важи: a) $P(t) \neq 0$, б) $P(t)>0$.

Решение. Имаме

$$P(t)=t^4-t+\frac{1}{2}=t^4-t^2+\frac{1}{4}+t^2-t+\frac{1}{4}={(t^2-\frac{1}{2})}^2+{(t-\frac{1}{2})}^{2}P(t)=t^\{4\}-t+\backslash frac\{1\}\{2\}=t^\{4\}-t^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+t^\{2\}-t+\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash left(t^\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{2\}+\backslash left(t-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{2\}$$

Броевите $t^{2}-\frac{1}{2}$ и $t-\frac{1}{2}$ не може да се истовремено еднакви на 0 , па затоа $P(t)>0$ за секој реален број $t$, што значи дека и $P(t) \neq 0$.

4. Даден е правоаголен триаголник $A B C$. Нека $M$ е точка на хипотенузата $A B$ таква што $B M=B C$ и $N$ е точка на катетата $A C$ таква што отсечката $C N$ е еднаква на висината спуштена кон хипотенузата. Докажи дека $\Varangle C N M=90^{\circ}$.

Решение. Нека $\Varangle C B A=\beta$ (цртеж десно). Триаголникот BCM е рамнокрак ( $B C=B M$ ), па затоа

$$\mathrm{\measuredangle }BCM=\mathrm{\measuredangle }BMC={90}^{\circ }-\frac{\beta }{2}\backslash measuredangle\; B\; C\; M=\backslash measuredangle\; B\; M\; C=90^\{\backslash circ\}-\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}$$

Бидејќи $\measuredangle B C D=90^{\circ}-\beta$, добиваме

Бидејќи $\measuredangle A C D=90^{\circ}-\alpha=\beta$, добиваме $\measuredangle N M C=\beta-\frac{\beta}{2}=\frac{\beta}{2}$. Триаголниците $C M D$ и $C M N$ се складни ( $C M$ е заедничка страна, $\Varangle D C M=$ $\measuredangle M C N=\frac{\beta}{2}$ и спорењд условот $C D=C N$ ), па од оваа складност следува $\measuredangle C N M=\measuredangle A D M=90^{\circ}$

5. Нека $A B$ и $B C$ се соседни страни на правилен деветаголник, точката $L$ е средина на лакот $B C$, точката $M$ е средина на отсечката $A B$ и точката $N$ е средина на отсечката $O L$, каде $O$ е центарот на кружницата опишана околу деветаголникот. Докажи дека $\Varangle O M N=30^{\circ}$.

Решение. Бидејќи $A B$ и $B C$ се страни на правилен деветаголник, важи $\measuredangle A O B=\measuredangle B O C=40^{\circ}$ (види цртеж). Бидејќи $\measuredangle B O L=\measuredangle L O C=20^{\circ}$, добиваме $\measuredangle A O L=60^{\circ}$, што значи дека триаголникот $A O L$ е рамностран. Понатаму, точката $N$ е средина на $O N$, па затоа $A N$ е висина на триаголникот $A O L$ и $\measuredangle A N O=90^{\circ}$. Но, важи и $\measuredangle A M O=90^{\circ}$, па затоа четириаголникот $A M N O$ е тетивен, а центарот на опишаната кружница е среднита на отсечката $A O$. Конечно, користејќи го фактот дека перифериските агли на ист лак се еднакви, добиваме $\measuredangle O M N=\measuredangle O A N=30^{\circ}$.

Осмо одделение

1. На колку начини бројот 1991 може да се запише како збир на последователни природни броеви?

Решение. Нека

$$n+(n+1)+\dots +(n+k)=1991n+(n+1)+\backslash ldots+(n+k)=1991$$

Тогаш

$$(k+1)n+\frac{k(k+1)}{2}=1991,\text{ т.e. }(k+1)(2n+k)=2\cdot 11\cdot 181(k+1)\; n+\backslash frac\{k(k+1)\}\{2\}=1991,\; \backslash text\; \{\; т.e.\; \}(k+1)(2\; n+k)=2\; \backslash cdot\; 11\; \backslash cdot\; 181$$

Сега, бидејќи $(k+1)(2 n+k)=2 \cdot 11 \cdot 181>k^{2}$, добиваме $k<64$, па затоа $k+1 \in{2,11,22}$.

a) Ако $k+1=2$, тогаш $k=1$ и $995+996=1991$.

б) Ако $k+1=11$, тогаш $k=10$, па $2 n+10=362$, т.е. $n=176$. Освен тоа важи $176+177+\ldots _186=1991$.

в) Ако $k+1=22$, тогаш $k=21,2 n+21=181$ и $n=80$. Освен тоа, $80+81+\ldots+101=1991$.

Конечно, од претходните разгледувања следува дека бројот 1991 може на три начини да се запише како збир на последователни природни броеви.

2. Ако

$$a^2=1\underset{1990}{\underbrace{00\dots 005}}\cdot \underset{1991}{\underbrace{11\dots 11}}+1a^\{2\}=1\; \backslash underbrace\{00\; \backslash ldots\; 005\}\_\{1990\}\; \backslash cdot\; \backslash underbrace\{11\; \backslash ldots\; 11\}\_\{1991\}+1$$

определи го бројот $a$.

Решение. Имаме:

Според тоа, $a=\frac{10^{1991}+2}{3}$ или $a=-\frac{10^{1991}+2}{3}$. Да забележиме дека

$$\frac{{10}^{1991}+2}{3}=\frac{1}{3}\cdot 1\underset{1990}{\underbrace{00\dots .00}}2=\underset{1990}{\underbrace{33\dots 334}}\backslash frac\{10^\{1991\}+2\}\{3\}=\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; 1\; \backslash underbrace\{00\; \backslash ldots\; .00\}\_\{1990\}\; 2=\backslash underbrace\{33\; \backslash ldots\; 334\}\_\{1990\}$$

3. Во едно езеро се влива поток кој секој ден во езерото внесува исто количество вода. 183 коњи денес може да ја испијат целата вода, т.е. за 24 часа би го испразниле изерото, а 37 коњи, почнувајќи од денес, целата вода може да ја испијат за 5 дена. За колку дена, почнувајќи од денес, еден коњ може да ја испие целата вода?

Решение. Нека $x$ е количеството вода кое во почетниот момент се наоѓа во езерото, у е количеството вода кое за еден ден потокот го внесува во езерото и z е количеството вода кое за еден ден го пие еден коњ. Тогаш

$$183z=x+y,5\cdot 37z=x+5y183\; z=x+y,\; 5\; \backslash cdot\; 37\; z=x+5\; y$$

Од овие равенки добиваме

$$185z-183z=(x+5y)-(x+y),\text{ т.е. }2z=4y185\; z-183\; z=(x+5\; y)-(x+y),\; \backslash text\; \{\; т.е.\; \}\; 2\; z=4\; y$$

Понатаму,

$$z=2y\text{ и }x=183z-y=365yz=2\; y\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; x=183\; z-y=365\; y$$

Да го означиме со $n$ бројот на деновите за кои еден коњ ќе ја испие целата вода. Тогаш $x+n y=n z$, од каде добиваме

$$n=\frac{x}{z-y}=\frac{365y}{2y-y}=365\text{ дена. }n=\backslash frac\{x\}\{z-y\}=\backslash frac\{365\; y\}\{2\; y-y\}=365\; \backslash text\; \{\; дена.\; \}$$

4. Докажи дека збирот на квадратите на дијагоналите на произволен трапез е еднаков на збирот на квадратите на краците зголемен за двојниот производ на основите.

Решение. Од правоаголните триаголници $A C C^{\prime}$ и $B D D^{\prime}$ следува

(види цртеж). Ако ги собереме овие две равенства добиваме

5. Нека $P$ е произволна точка од основата на правилна четиристрана пирамида. Нормалата во точката $P$ на рамнината на основата ги сече рамнините на бочните sидови во точките $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$. Докажи дека збирот

$$P{M}_1+P{M}_2+P{M}_3+P{M}_{4}P\; M\_\{1\}+P\; M\_\{2\}+P\; M\_\{3\}+P\; M\_\{4\}$$

е четири пати поголем од висината на пирамидата.

Решение. Нека $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ се растојанијата од точката $P$ до рабовите на основата и $\varphi$ е аголот меѓу бочните страни и основата на пирамидата. Тогаш

$$x_1+x_2+x_3+x_4=2ax\_\{1\}+x\_\{2\}+x\_\{3\}+x\_\{4\}=2\; a$$

(види цртеж). Нека $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ се пресечните точки на правата $n$, која

минува низ точката $P$ и е нормална на рамнината на основата, со соодветните бочни sидови на пирамидата. Триаголниците SS'V и $P P^{\prime} M_{k}, k=1,2,3,4$ се слични (двата се правоаголни: $\measuredangle S=\measuredangle P=90^{\circ}$ и $\measuredangle P P^{\prime} M_{k}=\measuredangle S S^{\prime} V=\varphi$ ). Од сличноста добиваме

$$S{S}^{\mathrm{\prime }}:SV=P{P}^{\mathrm{\prime }}:P{M}_k\text{, т.e. }\frac{a}{2}:H=x_k:P{M}_{k}S\; S^\{\backslash prime\}:\; S\; V=P\; P^\{\backslash prime\}:\; P\; M\_\{k\}\; \backslash text\; \{,\; т.e.\; \}\; \backslash frac\{a\}\{2\}:\; H=x\_\{k\}:\; P\; M\_\{k\}$$

Според тоа, $P M_{k}=\frac{2 x_{k} H}{a}$ и затоа

$$P{M}_1+P{M}_2+P{M}_3+P{M}_4=\frac{2H}{a}(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac{2H}{a}\cdot 2a=4HP\; M\_\{1\}+P\; M\_\{2\}+P\; M\_\{3\}+P\; M\_\{4\}=\backslash frac\{2\; H\}\{a\}\backslash left(x\_\{1\}+x\_\{2\}+x\_\{3\}+x\_\{4\}\backslash right)=\backslash frac\{2\; H\}\{a\}\; \backslash cdot\; 2\; a=4\; H$$