MatematickiTalent/md/mk-primary-federal/mk-O9ioXgCKUkW9gSTMcvaq7A.md

Сојузен натпревар 1978

Седмо одделение

1. Докажи дека $7^{10000}-1$ е деливо со 10 .

Решение. Од $(10 a+a)(10 b+1)=100 a b+10(a+b)+1$ следува дека производот на два броја чии цифри на единиците се 1 има цифра на единиците 1. Понатму, $7^{4}=49 \cdot 49=2401$, па затоа цифрата на единиците на $7^{10000}=\left(7^{4}\right)^{2500}=2041^{2500}$ е 1. Според тоа, цифрата на единиците на бројот $7^{10000}-1=2401^{2500}-1$ е 0 , што значи дека тој е делив со 10 .

2. Над страните $A B$ и $B C$ на паралелограмот $A B C D$ од надворешната страна се конструирани квадрати $A E F B$ и $B G H C$. Докажи дека отсечката GF е еднаква на една од дијагоналите на паралелограмот $A B C D$.

Решение. За триаголниците $B G F$ и $A B D$ важи $A B=B F$ како страни на квадрат и $B G=B C=A D$. Од $\quad \measuredangle A B F=\measuredangle C B G=90^{\circ}$ следува

$$\mathrm{\measuredangle }ABC+\mathrm{\measuredangle }FBG={180}^{\circ }\backslash measuredangle\; A\; B\; C+\backslash measuredangle\; F\; B\; G=180^\{\backslash circ\}$$

па затоа $\measuredangle F B G=\measuredangle B A D$. Според тоа, ${ }_{\triangle} B G F \cong \triangle A B D$. Оттуја следува $G F=B D$,

што и требаше да се докаже.

3. Двократната плоштина на правилен шестаголник е еднаква на трикратната плоштина на рамностран триаголник. Определи го односот на периметрите на шестаголникот и триаголникот.

Решение. Ако $a$ е должината на страната на шестаголникот, а $b$ е должината на страната на триаголникот, тогаш $2 \cdot 6 \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}=3 \frac{b^{2} \sqrt{3}}{4}$, од каде добиваме $4 a^{2}=b^{2}$. Бидејќи $a, b>0$, од последното равенство следува $b=2 a$, т.е. $6 a=3 b$. Според тоа, периметрите на дадените фигури се еднакви, па нивниот однос е 1:1.

4. Во разностран триаголник $A B C$ должината на висината повлечена од темето $C$ кон страната $A B$ е еднаква на збирот на должините на дру- гите две висини. Изрази ја должината на страната $A B$ во функција од должините на другите две страни. Потоа докажи дека не постојат триаголници кои го исполнуваат дадениот услов, а кај кои должината на страната $B C$ е еднаква на 6 и должините на другите две страни се изразуваат со природни броеви.

Решение. Нека должините на страните $A B, B C, C A$ се $c, a, b$ соодветно, а должините на соодветните висини се $h_{c}, h_{a}, h_{b}$. Од

$$P=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{b{h}_b}{2}=\frac{c{h}_c}{2}P=\backslash frac\{a\; h\_\{a\}\}\{2\}=\backslash frac\{b\; h\_\{b\}\}\{2\}=\backslash frac\{c\; h\_\{c\}\}\{2\}$$

следува

$$h_a=\frac{2P}{a},h_b=\frac{2P}{b},h_c=\frac{2P}{c}h\_\{a\}=\backslash frac\{2\; P\}\{a\},\; h\_\{b\}=\backslash frac\{2\; P\}\{b\},\; h\_\{c\}=\backslash frac\{2\; P\}\{c\}$$

Сега, од условот $h_{c}=h_{a}+h_{b}$ добиваме $\frac{2 P}{c}=\frac{2 P}{a}+\frac{2 P}{b}$, односно $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. Оттука добиваме $c=\frac{a b}{a+b}$.

Ако $a=6$, тогаш

$$c=\frac{6b}{6+b}=\frac{6b+36-36}{6+b}=6-\frac{36}{6+b}c=\backslash frac\{6\; b\}\{6+b\}=\backslash frac\{6\; b+36-36\}\{6+b\}=6-\backslash frac\{36\}\{6+b\}$$

Според тоа, треба $c$ да е природен број и $c=6-\frac{36}{6+b}$. Според условот на задачата последното е можно само ако $b=6, c=3$ или $b=3, c=2$ или $b=12, c=4$ или $b=30, c=5$. Случајот $b=6, c=3$ отпаѓа, бидејќи триаголникот треба да е разностран, а преостанатите случаи отпаѓаат бидејќи не е исполнето неравенсвтото на триаголник.

5. Во $100 \times 100$ табела се запишани произволни десет илјади броеви. Со $a_{1}$ да го означиме збирот на броевите во првата колона, со $a_{2}$ збирот на броевите во втората колона итн.со $a_{100}$ збирот на броевите во стотата колона. Понатаму, со $b_{1}$ да го означиме збирот на броевите во првиот ред, со $b_{2}$ збирот на броевите во вториот ред итн. со $b_{100}$ збирот на броевите во стотиот ред. Пресметај ја вредноста на изразот:

$$(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\dots +(a_{100}-b_{100})\backslash left(a\_\{1\}-b\_\{1\}\backslash right)+\backslash left(a\_\{2\}-b\_\{2\}\backslash right)+\backslash ldots+\backslash left(a\_\{100\}-b\_\{100\}\backslash right)$$

Решение. Дадениот израз може да се запише во видот

$$(a_1+a_2+\dots +a_{100})-(b_1+b_2+\dots +b_{100})\backslash left(a\_\{1\}+a\_\{2\}+\backslash ldots+a\_\{100\}\backslash right)-\backslash left(b\_\{1\}+b\_\{2\}+\backslash ldots+b\_\{100\}\backslash right)$$

и тој еднаков на нула, бидејќи во првата заграда е збирот на сите 10000 броеви (збирот на колоните), а исто така и збирот во втората заграда е еднаков на збирот на сите 10000 броеви (збирот на редовите).

Осмо одделение

1. Сад е наполнет со стопроцентен алкохол. Одлеваме 2 l алкохол и долеваме исто толку дестилирана вода. Оваа постапка ја повторуваме уште еднаш, т.е. одлеваме $2 l$ мешавина и долеваме $2 l$ дестилирана вода. На тој начин во садот добиваме $36 %$ раствор алкохол. Колку литри раствор содржи овој сад?

Решение. Кога од $x$ литри алкохол ќе одлееме 2 литри и долееме 2 литри вода во растворот ќе има $x-2$ литри алокохол, т.е. ќе добиеме раствор со $\frac{100(x-2)}{x}$ проценти алкохол. Вкупното количество чист алкохол по второто прелевање ќе биде $x-2-2 \frac{x-2}{x}$ литри, а тоа според условот е $0,36 x$. Значи, $x-2-2 \frac{x-2}{x}=0,36 x$. Последната равенка е еквивалентна на равенката $x(x-2)-2(x-2)=0,36 x^{2}$, т.е. на равенката $(x-2)^{2}=(0,6 x)^{2}$. Бидејќи $x-2$ и $0,6 x$ се позитивни броеви добиваме $x-2=0,6 x$, т.е. $x=5$ литри.

2. Трицифрен број е 33 пати поголем од збирот на своите цифри. Докажи дека овој број е делив со 9, а потоа определи го овој трицифрен број.

Решение. Нека $100 a+10 b+c$ е бараниот број. Тогаш

$$100a+10b+c=33(a+b+c)100\; a+10\; b+c=33(a+b+c)$$

Десната страна на последното равенство е делива со 3 , па затоа и бројот $100 a+10 b+c$ е делив со 3 . Тоа значи дека $a+b+c=3 k$. Сега имаме $100 a+10 b+c=99 k$, што значи дека бараниот број е делив со 9 . Затоа $a+b+c=9$ или $a+b+c=18$ или $a+b+c=27$. Бидејќи

добиваме дека бараниот број е 594.

3. Од круг со радиус $r$ исечен е впишаниот рамностран триаголник. Со помош на $r$ изрази ги плоштината и волуменот на телото кое се добива со ротација на преостанатиот дел од кругот околу една своја оска на симетрија.

Решение. Со $R$ и $H$ да ги означиме должините на радиусот и висината на конусот кој се добива со ротација на исечениот рамностран триаголник и да ги изразиме преку $r$. Имаме $H=\frac{3 r}{2}$ и $R=\frac{r \sqrt{3}}{2}$ (види цртеж десно). За волуменот на телото добиваме

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{23}{24}\pi r^{3}V=\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash pi\; r^\{3\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash pi\; r^\{2\}\; H=\backslash frac\{23\}\{24\}\; \backslash pi\; r^\{3\}$$

За плоштината на телото добиваме

$$P=4\pi r^2+\pi r^2+\pi R\cdot 2R=\frac{25}{4}\pi r^{2}P=4\; \backslash pi\; r^\{2\}+\backslash pi\; r^\{2\}+\backslash pi\; R\; \backslash cdot\; 2\; R=\backslash frac\{25\}\{4\}\; \backslash pi\; r^\{2\}$$

4. Две кружници со радиус $r$ се допираат надворешно. Конструирај права која ги сече двете кружници така што тие на неа определуваат три отсечки со еднаква должина.

Решение. Анализа. Нека $N^{\prime}$ и $N^{\prime \prime}$ се подножјата на висините од центрита на кружниците на бараните отсечки. Ако со $x$ ја означиме должината на овие отсечки, тогаш $A^{\prime} N^{\prime}=A^{\prime \prime} N^{\prime \prime}=\frac{x}{2}$. Ho, $S^{\prime} A^{\prime}=S^{\prime \prime} A^{\prime \prime}$,

па затоа правоаголните триаголници $A^{\prime} N^{\prime} S^{\prime}$ и $A^{\prime \prime} N^{\prime \prime} S$ " се складни. Според тоа, $S^{\prime} N^{\prime}=S^{\prime \prime} N^{\prime \prime}$, па затоа четириаголникот $S^{\prime} S^{\prime \prime} N^{\prime \prime} N^{\prime}$ е правоаголник. Според тоа, $N^{\prime} N^{\prime \prime}=2 r$ и како $A^{\prime} N^{\prime}=A^{\prime \prime} N^{\prime \prime}=\frac{x}{2}$ и $A^{\prime} A^{\prime \prime}=x$, добиваме $2 r=2 x$, односно $r=x$. Според тоа, триаголникот S'TA' е рамностран.

Конструкиија. Го конструираме рамностраниот триаголник S'TA'. Потоа низ $A^{\prime}$ повлекуваме права $p$ паралелна на правата $S$ ' $S$ " и тоа е бараната права.

Доказот и дискусијата следуваат од анализата и конструкцијата. Деталите ги оставаме на читателот за вежба.

5. Во $100 \times 100$ табела се запишани произволни десет илјади броеви. Со $a_{1}$ да го означиме збирот на броевите во првата колона, со $a_{2}$ збирот на броевите во втората колона итн.со $a_{100}$ збирот на броевите во стотата колона. Понатаму, со $b_{1}$ да го означиме збирот на броевите во првиот ред, со $b_{2}$ збирот на броевите во вториот ред итн. со $b_{100}$ збирот на броевите во стотиот ред. Пресметај ја вредноста на изразот:

$$(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\dots +(a_{100}-b_{100})\backslash left(a\_\{1\}-b\_\{1\}\backslash right)+\backslash left(a\_\{2\}-b\_\{2\}\backslash right)+\backslash ldots+\backslash left(a\_\{100\}-b\_\{100\}\backslash right)$$

Решение. Види го решението на задачата 5 за седмо одделение.