| # Сојузен натпревар 1983 |
|
|
| ## Седмо одделение |
|
|
| 1. Во една година 1. јануари и 1. април паднале во четврток. Колку месеци во таа година имаат 5 петоци? |
|
|
| Решение. Од 1. јануари и 1. април има 91 или 90 денови, во зависност од тоа дали годината е престапна или не. За да 1. јануари и 1. април е четврток, бројот на деновите меѓу овие две дати мора да е делив со 7, а тоа е бројот 91. Значи, годината е престапна и има 366 денови. Затоа во оваа година има 52 седмици и 2 дена, што значи дека во неа има 53 петоци (бидејќи 2. јануари е во петок). Секој месец има 4 или 5 петоци. Ако со $x$ го означиме бројот на месеците со 5 петоци, тогаш $12-x$ е бројот на петоците со 4 петоци, па затоа $5 x+4(12-x)=53$, од каде добиваме $x=5$. Според тоа, во оваа година има 5 месеци со по 5 петоци. |
|
|
| 2. Разликата на две дропки е $\frac{1}{5}$. Броителот на првата дропка е три пати поголем од броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка е два пати поголем од именителот на втората дропка. Определи ги овие дропки. |
|
|
| Решение. Ако втората дропка е $\frac{a}{b}$, тогаш првата дропка е $\frac{3 a}{2 b}$. Според условот имаме $\frac{3 a}{2 b}-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$, па затоа $\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$. Првата дропка е $\frac{6}{10}$. |
|
|
| 3. Определи еден прост трицифрен број чиј производ на цифри е еднаков на 252. |
|
|
| Решение. Со разложување на прости множители на бројот 252 добиваме $252=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$. Со комбинирање на множителите на бројот 252 , добиваме дека цифрите на бараниот број се $4,9,7$ или $6,6,7$. Бараниот број е прост, па затоа тој е непарен, т.е може да е еден од броевите: $497,947,749,479$ и 667. Со проверка добиваме дека броевите 497 и 749 се деливи со 7, а бројот 667 е делив со 23. Прости броеви кои го задоволуваат условот на задачата се 947 и 479. |
|
|
| 4. Висините $C D$ и $A E$ на триаголникот $A B C$ се сечат во точката $H$ и важи $d(A, B)=d(C, H)$. Определи го $\measuredangle A C B$. |
|
|
| Решение. Аглите BAE и BCD (цртеж десно) се еднакви меѓу себе, како агли со нормални краци. Бидејќи $A B=C H$, добиваме дека правоаголните триаголници $A B E$ и $C H E$ се скалдни, па затоа $A E=C E$. Триаголникот $A C E$ е правоаголен, а од $A E=C E$ следува дека тој е рамнокрак, што значи |
|
|
|  |
| дека бараниот агол е еднаков на $45^{\circ}$. |
|
|
| 5. Дијагоналите на конвексен четириаголник $A B C D$ се сечат во точката $O$ и го делат четириаголникот на триаголниците $O A B, O B C, O C D$ и ODA. Докажи дека производот на плоштините на триаголниците $O A B$ и $O C D$ е еднаков на производот на плоштините на триаголниците $O B C$ и $O D A$. |
|
|
| Решение. Да ги означиме плоштините на наведените триаголници со $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ (цртеж десно). Нека $h^{\prime}$ и $h^{\prime \prime}$ се нормалите од $A$ и $C$ на $B D$. Тогаш |
|
|
| $$ |
| P_{1}=\frac{B O \cdot h^{\prime}}{2}, P_{2}=\frac{B O \cdot h^{\prime \prime}}{2}, P_{3}=\frac{D O \cdot h^{\prime}}{2}, P_{4}=\frac{D O \cdot h^{\prime \prime}}{2} |
| $$ |
|
|
|  |
|
|
| Сега имаме |
|
|
| $$ |
| P_{1} \cdot P_{3}=P_{2} \cdot P_{4}=\frac{B O \cdot D O \cdot h^{\prime} \cdot h^{n}}{4} |
| $$ |
|
|
| што и требаше да се докаже. |
|
|
| ## Осмо одделение |
|
|
| 1. Ако $a, b, c$ се три природни броеви, докажи дека $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ при делење со 8 не може да даде остаток 7 . |
|
|
| Решение. Секој природен број може да се запише во видот $4 k, 4 k+1$, $4 k+2$ или $4 k+3$, каде $k$ е природен број или 0 . Во секој од овие случаи квадратот на бројот e: |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| & 16 k^{2}=8 \cdot 2 k^{2}, 16 c^{2}+8 k+1=8\left(2 k^{2}+k\right)+1 \\ |
| & 16 c^{2}+16 k+4=8\left(2 k^{2}+2 k\right)+4, \text { и } \\ |
| & 16 c^{2}+24 k+9=8\left(2 k^{2}+3 k+1\right)+1 |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| Значи, квадрат на природен број при делење со 8 може да даде остаток 0,1 или 4. Со собирање на било кои 3 остатоци од наведениот вид |
| не може да се добие бројот 7. Затоа збирот $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ при делење со 8 не може да даде остаток 7. |
|
|
| 2. Во три кутии $A, B, C$ се наоѓаат топчиња: во кутијата $A$ има 2 , во кутијата $B$ има 3 и во кутијата $C$ има 4 топчиња. Двајца играчи ја играат следнава игра: наизменично земаат од произволна кутија произволен број топчиња. Победува играчот по чиј потез сите кутии се празни. Како треба да игра првиот играч за сигурно да го победи својот противник? |
|
|
| Решение. Првиот играч треба од кутијата $C$ да земе 3 топчиња, па потоа кутиите $A, B, C$ ќе содржат 2,3 и 1 топче, соодветно. Понатаму, како и да постапи вториот играч, првиот може по неговиот потез да остави една кутија празна, а во другите две да има еднаков број топчиња. Така сигурно ќе го победи вториот играч. |
|
|
| 3. Определи го најмалиот природен број кој има својство да се намали 57 пати ако му ја избришеме првата цифра од лево. |
|
|
| Решение. Со а да ја означиме првата цифра на бараниот број, а со $b$ бројот кој го формираат преостанатите цифри. Тогаш $10^{k} a+b=57 b$ каде $k$ е природен број, односно $10^{k} a=56 b$, т.е. $10^{k} a=7 \cdot 8 b$. Но, $\mathrm{NZD}(10,7)=1$, па затоа $7 \mid a$ и како $a$ е цифра добиваме $a=7$. Сега $10^{k}=8 b$. Бројот $10^{k}$ треба да е делив со 8 , па оттука $k \geq 3$, а бидејќи се бара најмалиот број добиваме $k=3$ и $b=125$. Конечно, бараниот број е 7125 . |
|
|
| 4. Нека $A B C$ е произволен триаголник и $M$ е произволна точка од неговата внатрешност. Должините на нормалите од точката $M$ до страните $B C, C A, A B$ да ги означиме со $n_{a}, n_{b}, n_{c}$, соодветно. Докажи дека |
| |
| $$ |
| \frac{n_{a}}{h_{a}}+\frac{n_{b}}{h_{b}}+\frac{n_{c}}{h_{c}}=1 |
| $$ |
| |
| каде $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ се соодветните висини на триаголникот. |
|
|
| Решение. Отсечките $M A, M B, M C$ го делат триаголникот на три триаголници со плоштини $\frac{1}{2} a n_{a}, \frac{1}{2} b n_{b}, \frac{1}{2} c n_{C}$, па затоа |
| |
|  |
| |
| $$ |
| P=\frac{1}{2} a n_{a}+\frac{1}{2} b n_{b}+\frac{1}{2} c n_{c} |
| $$ |
|
|
| Односно |
|
|
| $$ |
| 1=\frac{a}{2 P} n_{a}+\frac{b}{2 P} n_{b}+\frac{c}{2 P} n_{c} |
| $$ |
| |
| Од друга страна |
| |
| $$ |
| P=\frac{1}{2} a h_{a}, P=\frac{1}{2} b h_{b}, P=\frac{1}{2} c h_{c} |
| $$ |
|
|
| па затоа $h_{a}=\frac{2 P}{a}, h_{b}=\frac{2 P}{b}, h_{c}=\frac{2 P}{c}$. Сега, ако замениме во равенстото (2) го добиваме равенството (1). |
| |
| 5. Радиусите на круговите кои го формираат кружниот прстен прикажан на цртежот десно се $r$ и $2 r$ |
| |
| Определи го осносот на плоштините на осенчениот и неосенчениот дел од кружниот прстен. |
| |
| Решение. Нека $A, B, C$ се заедничките точки на |
| |
|  |
| поголемата кружница и тангентите $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ (цртеж десно) и нека $T$ е точката во која $t$ ' ја допира малата кружница. Бидејќи $O B=2 O T$ заклучуваме дека $\Varangle O B T=30^{\circ}$, па оттука следува $\measuredangle A B C=60^{\circ}$. Аналогно се докажува дека |
| |
|  |
| $\measuredangle B A C=\measuredangle B C A=60^{\circ}$. Според тоа, триаголникот $A B C$ е рамностран, па затоа отсечоците во големиот круг се еднакви. Очигледно, осенчениот дел е еднаков на третина од целиот прстен, па затоа плоштините на осенчениот и неосенчениот дел се однесуваат како $1: 2$. |
| |
| |
