MatematickiTalent/md/mk-primary-federal/sxBPHFxg9ECgIUunxpSG5g.md

Сојузен натпревар 1980

Седмо одделение

1. Шестина од вкупното количество на некоја стока е продадено со заработувачка од $20 %$, а половина од вкупното количество од истата стока е продадено со загуба од $10 %$. Со колку проценти заработувачка треба да се продаде остатокот од стоката за да се покрие загубата?

Решение. Нека $k$ вкупното количество стока, а $c$ е планираната цена. Од условот на задачата слеува равенката

$$\frac{k}{6}\cdot 0,2c+\frac{k}{3}\cdot xc=\frac{k}{2}\cdot 0,1c\backslash frac\{k\}\{6\}\; \backslash cdot\; 0,2\; c+\backslash frac\{k\}\{3\}\; \backslash cdot\; x\; c=\backslash frac\{k\}\{2\}\; \backslash cdot\; 0,1\; c$$

каде $x$ е бараниот процент. Решение на оваа равенка е $x=0,05=5 %$.

2. Даден е број $n$ чии цифри се 60 седумки и определен број нули. Докажи дека $\frac{n-27}{3}$ е цел број, а $\frac{n+27}{9}$ не е цел број.

Решение. Збирот на цифрите на бројот $n$ е $60 \cdot 7=420$. Според тоа, бројот $n$ е делив со 3 , па затоа и бројот $n-27$ е делив со 3 . Бидејжи бројот 420 не е делив со 9 , заклучуваме дека $n$ не е делив со 9 , што значи дека бројот $n+27$ не е делив со 9 .

3. Определи природни броеви $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}, k>1$ (кои не мора да се различни меѓу себе) такви што

$$n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k=1988\text{ и }{n}_1+n_2+\dots +n_k=1988n\_\{1\}\; \backslash cdot\; n\_\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash ldots\; \backslash cdot\; n\_\{k\}=1988\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; n\_\{1\}+n\_\{2\}+\backslash ldots+n\_\{k\}=1988$$

Колку различни решенија има?

Решение. Бидејќи $1988=2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 71$ и $2+2+7+71=82$, едно решение може да биде

$$n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k=2\cdot 2\cdot 7\cdot 71\cdot 1\cdot 1\dots \cdot 1(1906\text{ единици })n\_\{1\}\; \backslash cdot\; n\_\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash ldots\; \backslash cdot\; n\_\{k\}=2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 71\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 1\; \backslash ldots\; \backslash cdot\; 1(1906\; \backslash text\; \{\; единици\; \})$$

4. На симетралата на надворешниот агол кај темето $C$ на триаголникот $A B C$ е земена произволна точка $M$. Докажи дека

$$MA+MB>AC+BCM\; A+M\; B>A\; C+B\; C$$

Решение. Нека $D$ е точка на продолжението на страната $B C$ преку темето $C$ таква што $C D=C A$, што значи симетрична на темето $A$ во однос на симетралата $C M$. Јасно,

триаголниците $A C M$ и $D C M$ се складни, па затоа $D M=A M$. Според тоа,

$$MA+MB=MD+MB>BD=BC+CD=AC+BCM\; A+M\; B=M\; D+M\; B>B\; D=B\; C+C\; D=A\; C+B\; C$$

5. Во рамнокрак триаголник $A B C, A C=B C$, во кој $\measuredangle A C B=80^{\circ}$ дадена е точка $O$ таква што $\measuredangle B A O=10^{\circ}$ и $\measuredangle A B O=30^{\circ}$. Определи го $\measuredangle A C O$. Решение. Нека $H$ е пресечната точка на висината $C D$ на триаголникот и правата $B O$ (цртеж десно). Триаголникот $A B H$ е рамнокрак, па затоа

$$\mathrm{\measuredangle }HAB=\mathrm{\measuredangle }HBA={30}^{\circ }\backslash measuredangle\; H\; A\; B=\backslash measuredangle\; H\; B\; A=30^\{\backslash circ\}$$

Според тоа,

$$\mathrm{\measuredangle }CAH={20}^{\circ }=\mathrm{\measuredangle }HAO\mathrm{.}\backslash measuredangle\; C\; A\; H=20^\{\backslash circ\}=\backslash measuredangle\; H\; A\; O\; .$$

Освен тоа,

$$\mathrm{\measuredangle }ACD={40}^{\circ }\text{ и }\mathrm{\measuredangle }AOH=\mathrm{\measuredangle }OAB+\mathrm{\measuredangle }OBA={40}^{\circ }\backslash measuredangle\; A\; C\; D=40^\{\backslash circ\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash measuredangle\; A\; O\; H=\backslash measuredangle\; O\; A\; B+\backslash measuredangle\; O\; B\; A=40^\{\backslash circ\}$$

Триаголниците $A O H$ и $A C H$ имаат два еднакви агли и заедничка страна $A H$, па затоа се складни. Од складноста следува $A O=A C$, што значи дека триаголникот $A O C$ е рамнокрак и како $\Varangle C A O=40^{\circ}$ добиваме $\measuredangle A C O=70^{\circ}$.

Осмо одделение

1. Два брода тргнуваат од местата $A$ и $B$ во пресрет еден кон друг. Секој од нив кога ќе стигне во едното место се враќа назад во другото место. Првиот пат бродовите се сретнале на $5 \mathrm{km}$ од $A$, а вториот пат на $3 \mathrm{km}$ од $B$. Определи го растојанието од $A$ до $B$.

Решение. Растојанието од $A$ до $B$ да го означиме со $x$, брзините на бродовите со $v^{\prime}$ и $v^{\prime \prime}$, времето до првата средна со $t^{\prime}$, а времето од првата до втората среба со $t^{\prime \prime}$. Од условот на задачата добиваме

$$v^{\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }}=5,v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }}=x-5,v^{\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=3+(x-5),v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=5+(x-3)v^\{\backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\}=5,\; v^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\}=x-5,\; v^\{\backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\; \backslash prime\}=3+(x-5),\; v^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\; \backslash prime\}=5+(x-3)$$

Ако ги помножиме првата и четвртата равенка и втоарата и третата равенка, добиваме

$$5(x+2)=v^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }}{t}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(x-5)(x-2),\text{,.е. }{x}^2-12x=05(x+2)=v^\{\backslash prime\}\; v^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\}\; t^\{\backslash prime\; \backslash prime\}=(x-5)(x-2),\; \backslash text\; \{,.е.\; \}\; x^\{2\}-12\; x=0$$

Но, $x>0$, па од последната равенка следува $x=12$.

2. Дадени се линеарните функции

$$y=-1,y=\frac{3}{2}x-4,y=\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\text{ и }y=2x+7y=-1,\; y=\backslash frac\{3\}\{2\}\; x-4,\; y=\backslash frac\{1\}\{4\}\; x-\backslash frac\{7\}\{2\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; y=2\; x+7$$

Определи ги координатите на темињата и плоштината на правилниот четириаголник кои ги ограничуваат графиците на дадените функции.

Решение. Со $A, B, C, D$ да ги означиме споменатите темиња како на цртежот десно. Имаме:

$A(-4,-1), B(2,-1), C(6,5), D(-2,3)$

Баравата плоштина е

3. Докажи дека разликата на бројот кој е запишан со 100 единици и бројот кој е запишан со 50 двојки е квадрат на природен број.

Решение. Имаме:

Бидејќи бројот $10^{50}-1$ е делив со 9 , тој е делив со 3 , со што тврдењето е докажано.

4. Во правоаголникот $A B C D$ точката $M$ припаѓа на страната $C D$ и важи $D M=2 \cdot C M$, а $O$ е пресекот на дијагоналите. Правите $A C$ и $B M$ се сечат под прав агол. Определи го $\Varangle B O M$.

Решение. Нека $E$ е средината на страната $B C$. Тогаш $O E \perp B C$. Според тоа, точката $H$ е ортоцентар на триаголникот $O B C$, па затоа $C H \perp O B$. Меѓутоа $O H$ е средна линија на триаголникот $D B M$, па затоа $O H=\frac{1}{2} D M=M C$. Затоа четириаголникот

$O H C M$ е паралелограм, па оттука следува дека $O M \perp B O$.

5. Даден е триаголник $A B C$ и точка $M$ во неговата внатрешност. Докажи дека

$$AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB\ge 4PA\; M\; \backslash cdot\; B\; C+B\; M\; \backslash cdot\; A\; C+C\; M\; \backslash cdot\; A\; B\; \backslash geq\; 4\; P$$

каде $P$ е плоштината на триаголникот $A B C$. Решение. Нека $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ се подножјата на нормалите соодветно повлечени од $B$ и $C$ на правата $A M$ (цртеж десно). Тогаш

$$P_{ABM}=\frac{1}{2}AM\cdot B{B}^{\mathrm{\prime }}\text{ и }{P}_{ACM}=\frac{1}{2}AM\cdot C{C}^{\mathrm{\prime }}P\_\{A\; B\; M\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\; A\; M\; \backslash cdot\; B\; B^\{\backslash prime\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; P\_\{A\; C\; M\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\; A\; M\; \backslash cdot\; C\; C^\{\backslash prime\}$$

па затоа

Аналогно се докажува дека

$$P_{ACM}+P_{BCM}\le \frac{1}{2}CM\cdot AB\text{ и }{P}_{ABM}+P_{BCM}\le \frac{1}{2}BM\cdot ACP\_\{A\; C\; M\}+P\_\{B\; C\; M\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; C\; M\; \backslash cdot\; A\; B\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; P\_\{A\; B\; M\}+P\_\{B\; C\; M\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; B\; M\; \backslash cdot\; A\; C$$

Сега, ако ги собереме последните три неравенства, по средувањето го добиваме неравенстSвото (1).