| # XXXVI РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ |
|
|
| ## IV одделение |
|
|
| Задача 1. Куќите во една улица се нумерирани со броевите од 1 до 100. Колку пати во броевите на куќите се јавува цифрата 7? Испиши ги сите вакви броеви. |
|
|
| Решение. Броеви од 1 до 100 кои во својот запис имаат седумка се броевите 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 и 97. Значи цифрата 7 се јавува вкупно 20 пати. |
|
|
| Задача 2.Бројот 509 има збир на цифри 14, бидејќи $5+0+9=14$. Определи го најголемиот трицифрен број чиј збир на цифрите е 12 и најди го најмалиот трицифрен број чиј збир на цифрите е 21? Определи ја разликата меѓу овие два броја. |
|
|
| Решение. За бараниот трицифрен број да е најголем, треба цифрата на стотките да е најголема, што значи да е 9. Тогаш, збирот на останатите две цифри треба да биде 3 . Бидејќи $3=3+0=2+1=1+2=0+3$, следува дека најголемиот број формиран од овие цифри е 930. |
|
|
| За бараниот трицифрен број да биде најмал, цифрата на стотките треба да е 1 , но тогаш збирот на останатите две цифри ќе биде 20 , што не е можно, бидејќи најмногу може да биде 18 , ако се двете цифри деветки. Исто важи и ако цифрата на стотките е 2 , не е можно. Значи, цифрата на стотките е 3. Сега збирот на другите две цифри треба да биде 18 , што значи дека бараниот број е 399. |
|
|
| Разликата на овие броеви е $930-399=531$. |
|
|
| Задача 3. На тениски турнир учествувале 5 тенисери. Секој тенисер со секој од останатите тенисери изграл по една игра. |
|
|
| a) Колку игри вкупно се изиграле на турнирот? |
|
|
| б) Колку игри изиграл секој од тенисерите? |
|
|
| Решение. Играчите да ги означиме со буквите $A, B, C, D$ и $E$. Играчот $A$ изиграл 4 игри со преостанатите четири играчи: $B, C, D$ и $E$. Играчот $B$ изиграл 4 игри со играчите $A$ (оваа игра веке ја броевме), $C, D$ и $E$. Играчот $C$ изиграл четири игри со играчите $A, B$ (овие игри веќе ги броевме), $D$ и $E$. Играчот $D$ изиграл четири игри со играчите $A, B, C$ |
| (овие игри веќе ги броевме) и $E$. Играчот $E$ изиграл четири игри (сите веќе ги броевме). |
|
|
| a) На турнитор се изиграни $4+3+2+1=10$ игри. |
|
|
| б) Секој играч изиграл по 4 игри. |
|
|
| Задача 4. По улица одела Тамара и ја поздравила Сашка која стоела на тротоарот. Откако поминала $30 \mathrm{~m}$, по неа тргнала Сашка. После колку чекори Сашка ќе ја престигне Тамара, ако должината на чекорот на Сашка е $85 \mathrm{~cm}$, а должината на чекорот на Тамара е $75 \mathrm{~cm}$ ? Образложи го својот одговор! |
|
|
| Решение. Со секој изминат чекор Сашка ја пристигнува Танара за $85-75=10 \mathrm{~cm}$. Предноста на Тамара е $30 \cdot 100=3000 \mathrm{~cm}$. Сашка ќе ја стигне Тамара по 3000:10=300 чекори. |
|
|
| Задача 5. Во едно оддление има 30 ученици. За украсување на училиштето по повод патрониот празник тие направиле 958 украси. Секој направил непарен број украси, повеќе од еден. Дали е точно дека секои два ученика направиле различен број украси? |
|
|
| Решение. Да допуштиме, дека секои два ученика направиле различен број украси и да најдеме колку може да биде најмалиот вкупен број направени украси. Нека првиот ученик најмалку направил 3 украси, вториот ученик најмалку направил $5=2 \cdot 2+1$ украси итн. последниот (триесеттиот) ученик направил $30 \cdot 2+1=61$ украси. Значи, сите ученици вкупно треба да направат најмалку $3+5+7+\ldots+61=960$ украси. Но, $958<960$ и затоа не е можно секои два ученика да направиле различен број, т.е. има барем два ученика, кои направиле еднаков број украси. |
|
|
| ## V одделение |
|
|
| Задача 1. Збирот на два броја е еднаков на 960, а нивниот количник е еднаков на 5. Кое се тие броеви? |
|
|
| Решение. Нека помалиот од двата броја го означиме со $x$. Бидејќи количникот на броевите е 5 , заклучуваме дека поголемиот број е $5 x$. Сега од условот на задачата следува дека $x+5 x=960$. Според тоа, $6 x=960$, т.е. $x=960: 6=160$, па затоа $5 x=5 \cdot 160=800$. Конечно, бараните броеви се 160 и 800 . |
|
|
| Задача 2. Ученик располага со 16 сламки со должина $1 \mathrm{~cm}, 6$ сламки со должина $2 \mathrm{~cm}$ и 7 сламки со должина $3 \mathrm{~cm}$. Дали може со сламките со кои располага ученикот да состави правоаголник така што сите сламки да бидат употребени и сламките да не се кршат. |
|
|
| Решение. Ако ги употребиме сите сламки за периметарот на правоаголникот ќе добиеме $16 \cdot 1+6 \cdot 2+7 \cdot 3=16+12+21=49$. Бидејки $L=2(a+b)$ добиваме дека $a+b=24,5$ што не е можно бидејки сламките не смеат да се кршат. |
|
|
| Задача 3. Дешифрирај го бројниот ребус $\overline{A B B}+\overline{B B}=\overline{B B A}$, каде различните букви претставуваат различни цифри, а еднаквите букви еднакви цифри. |
|
|
| Решение. Ако броевите во даденото равенство ги запишеме во развиена форма добиваме |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| & 100 A+10 B+B+10 B+B=100 B+10 B+A \\ |
| & 9 A=8 B |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| Но, $A$ и $B$ се цифри, па затоа од последното равенство следува $A=8$ и $B=9$ т.е. $899+99=998$. |
|
|
| Задача 4. Колку шестцифрени броеви постојат кои започнуваат со 2018 , а колку шестцифрени броеви постојат кои завршуваат со 2018. Кои се повеќе? |
|
|
| Решение: Шестцифрени броеви кои започнуваат со 2018 се од облик $\overline{2018 a b}$, каде $a=\{0,1, \ldots, 9\}$ и $b=\{0,1, \ldots, 9\}$. Такви има $10 \cdot 10=100 б$ боеви. Додека пак, шестцифрени броеви кои завршуваат со 2018 се од облик $\bar{m} 2018$, каде $m=\{1, \ldots, 9\}$ и $n=\{0,1, \ldots, 9\}$. Такви има $9 \cdot 10=90$ броја, што значи дека тие се помалку од оние кои завршуваат со 2018. |
|
|
| Задача 5. Четири еднакви правоаголници се залепени и формираат поголем правоаголник (цртеж десно). Пресметај го периметарот на поголемиот правоаголник, ако секој од четирите мали правоаголници има периметар 4 |
|
|
|  |
| dm. |
|
|
| Решение. Според цртежот, должината на помалиот правоаголник е 3 пати од неговата ширина. Затоа, нека неговите страни се $a$ и $3 a$. Тогаш, за малите правоаголници важи $L=2(a+3 a)=8 a$ и $L=4 \mathrm{dm}=40 \mathrm{~cm}$, па затоа $8 a=40 \mathrm{~cm}$, т.е. $a=5 \mathrm{~cm}$. Страните на големиот правоаголник се $4 a$ и $3 a$, |
| односно $20 \mathrm{~cm}$ и $15 \mathrm{~cm}$. Значи, периметарот на големиот правоаголник е $L_{g}=2(20+15)=70 \mathrm{~cm}$. |
| |
| ## VI одделение |
| |
| Задача 1. Драган купил 5 жетона за пукање со воздушна пушка. За секој точен подогок добива уште 2 жетони. Колку пати ја погодил целта ако пукал вкупно 17 пати. |
| |
| Решение. Драган има 5 жетона, а за да пука 17 пати употребил 17 жетони. Значи, добил $17-5=12$ нови жетони. За секој погодок добива по два жетони, што значи дека целта ја погодил точно $12: 2=6$ пати. |
| |
| Задача 2. Определи го најмалиот природен број $a$ таков што 378 $a=b \cdot b$, каде $b$ е природен број. |
| |
| Решение. За да производот 378. $a$ биде еднаков на производ на два исти природни броја, производот 378. $a$ мора да има парен број исти прости множители. Од $378=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ следува дека 2,3 и 7 се прости множители на бројот $a$. Значи, $a=2 \cdot 3 \cdot 7$, т.е. $a=42$. Според тоа, најмалиот природен број со саканото својство е бројот 42. |
| |
| Задача 3. Во $1000 \mathrm{~kg}$ свежи јагоди има $99 \%$ вода. Во текот на транспортот испарило извесно количество од водата, така што тежината на јагодите после испарувањето на водата е $500 \mathrm{~kg}$. Колкав процент вода содржат сега јагодите? |
| |
| Решение. Во $1000 \mathrm{~kg}$ има $\frac{991000}{100}=990 \mathrm{~kg}$ вода и $10 \mathrm{~kg}$ сува материја. После транспортот во $500 \mathrm{~kg}$ јагоди исто така има $10 \mathrm{~kg}$ сува материја, што значи има $490 \mathrm{~kg}$ вода. Според тоа, после транспортот во јагодите има $\frac{490 \cdot 100}{500}=98 \%$ вода. |
| |
| Задача 4. Даден е квадрат $A B C D$ со должина на страната $9 \mathrm{~cm}$. Квадратот е свиткан како на цртежот десно, така што темето $B$ се поклопува со точката $E$, која се наоѓа на страната $\overline{C D}$. На таков начин се добиени три триаголници: $C E F, E D G$ и $G A H$. Колку е збирот на периме- |
| |
|  |
| трите на трите триаголници? |
| |
| Решение. Нека страната на квадратот за означиме со $a$. Периметарот на триаголникот $C E F$ е $L_{1}=\overline{C F}+\overline{C E}+\overline{E F}$, на $E D G$ е $L_{2}=\overline{D G}+\overline{D E}$ $+\overline{E G}$, а на $G A H$ е $L_{3}=\overline{A G}+\overline{G H}+\overline{A H}$. |
|
|
| Збирот на периметрите на трите триаголници тогаш е: |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| L_{1}+L_{2}+L_{3} & =\overline{C F}+\overline{C E}+\overline{E F}+\overline{D G}+\overline{D E}+\overline{E G}+\overline{A G}+\overline{G H}+\overline{A H} \\ |
| & =(\overline{C F}+\overline{E F})+(\overline{C E}+\overline{D E})+(\overline{D G}+\overline{G H}+\overline{A H})+(\overline{A G}+\overline{E G}) \\ |
| & =a+a+a+a=4 a=4 \cdot 9=36 \mathrm{~cm} |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| Задача 5. Колкав агол зафаќаат часовната и минутната стрелка на часовникот во 8 часот и 10 минути? |
| |
| Решение. Аголот меѓу часовната и минутната стрелка во 8:00 часот е $120^{\circ}$. Минутната стрелка 12 пати побрзо се движи од часовната. Од 8:00 до 8:10 часот минутната стрелка ќе се помести за агол од $60^{\circ}$, додека часовната ќе се помести за 12 пати помал агол, т.е. за $60^{\circ}: 12=5^{\circ}$. Според тоа, аголот меѓу часовната и минутната стрелка во $8: 10$ минути ќе биде $120^{\circ}+60^{\circ}-5^{\circ}=175^{\circ}$. |
| |
| ## VII одделение |
| |
| Задача 1. Во два сада има $4 \frac{1}{6}$ и $3 \frac{1}{2}$ литри вода соодветно. Колку вода треба да се претури од првиот во вториот сад, така што после претурањето во двата сада да има исто количество вода? Образложи го својот одговор! |
| |
| Решение. Во првиот сад има $\frac{25}{6}$ литри, додека во вториот сад има $\frac{7}{2}$ литри. Од условот на задачата имаме, $\frac{25}{6}-x=\frac{7}{2}+x$. Последната равенка можеме да ја запишеме како $2 x=\frac{25}{6}-\frac{7}{2}$, односно $x=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Значи, од првиот сад треба да претуриме $\frac{1}{3}$ литри во вториот сад за да имаме исто количество вода во двата сада. |
| |
| Задача 2. Нека $a, b$ и $c$ се цели броеви такви што важи $a b=-6, a c=-10$ и $b c=15$. Најди го производот $a b c$ и броевите $a, b$ и $c$. |
| |
| Решение. Бидејќи $a$ е цел број кој е делител на броевите -6 и -10 добиваме дека $a \in\{-1,1,-2,2\}$. Во случаите кога $a=1$ или $a=-1$ добиваме дека $b c=60$, што не е точно. Ако $a=2$, тогаш $b=-3$ и $c=-5$, па $b c=15$ и затоа $a b c=30$. Ако $a=-2$, тогаш $b=3$ и $c=5$, па $b c=15$ и затоа $a b c=-30$. |
| |
| Значи единствени решенија на задачата се: |
| |
| $$ |
| a=2, b=-3, c=-5, a b c=30 \text { и } a=-2, b=3, c=5, a b c=-30 \text {. } |
| $$ |
| |
| Задача 3. Одреди три последователни природни броеви чиј производ е 24 пати поголем од најголемиот заеднички делител на броевите 455 и 1001. |
| |
| Решение. Броевите 455 и 1001 разложени на множители се $455=5 \cdot 7 \cdot 13$ и $1001=7 \cdot 11 \cdot 13$. Најголемиот заеднички делител на 455 и 1001 е 7$\cdot$13=91. Од условот на задачата, производот на три последователни броеви е еднаков на $91 \cdot 24=2184$. Бидејќи, $2184=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$, бараните три последователни броеви се $12,13,14$. |
| |
| Задача 4. Даден е паралелограм $A B C D$ и точка $M$ на страната $A B$ таква што $\measuredangle A M D=\measuredangle C M D$. Докажи, дека ако точката $P$ е средина на отсечката $M D$, тогаш $C P \perp D M$. |
| |
| Решение. Од условот на задачата имаме $\measuredangle A M D=\measuredangle C M D$. Понатаму, $\measuredangle A M D=\measuredangle C D M$ како агли на трансферзала, па затоа $\Varangle C D M$ $=\measuredangle C M D$, што значи дека $\triangle C D M$ е рамнокрак и притоа важи $\overline{C M}=\overline{C D}$. Но, точката $P$ |
| |
|  |
| е средина на отсечката $M D$, па затоа $C P$ е симетрала на основата $M D$, од што следува дека $C P \perp D M$. |
| |
| Задача 5. Определи ги сите природни броеви $n$ такви што броевите $3 n-4,4 n-5$ и $5 n-3$ се прости броеви. |
| |
| Решение. Збирот на броевите $3 n-4,4 n-5$ и $5 n-3$ е парен број, па мора еден од нив да е парен број. Бројот $4 n-5$ не може да биде парен, бидејќи $4 n$ е парен, а 5 е непарен. Значи, парни може да бидат само броевите $3 n-4$ и $5 n-3$. Бидејќи 2 е единствениот парен прост број, може да биде $3 n-4=2$ или $5 n-3=2$. Оттука добиваме дека $n=2$ или $n=1$. Притоа не е можно $n=1$. За $n=2$ ги добиваме простите броеви $3 n-4=2,4 n-5=3$ и $5 n-3=7$. Значи, $n=2$ е бараниот природен број. |
| |
| ## VIII одделение |
| |
| Задача 1. Зоран, Горан и Ружа треба да поделат 2000 денари така што деловите на Зоран и Горан се однесуваат како $2: 3$, а деловите на Горан и Ружа се однесуваат како 9:5. По колку денари ќе добие секој од нив? |
| |
| Решение. Ако Зоран добие $6 x$ денари, тогаш Горан ќе добие $9 x$ денари, а Ружа $5 x$ денари. Заедно имаат $20 x$ денари. Следува дека $20 x=2000$, од каде $x=100$ денари. Значи, Зоран, Горан и Ружа треба да добијат 600,900 и 500 денари, соодветно. |
| |
| Задача 2. Најди ги сите парови цели броеви ( $a, b$ ) за кои важи $a=\frac{4 b-5}{b-2}$ |
| |
| Решение. Дадениот израз може да се трансформира на следниов начин: |
| |
| $$ |
| a=\frac{4 b-5}{b-2}=\frac{4(b-2)+8-5}{b-2}=\frac{4(b-2)}{b-2}+\frac{3}{b-2}=4+\frac{3}{b-2} |
| $$ |
| |
| Бројот $a$ ќе биде цел број ако и само ако $\frac{3}{b-2}$ е цел број, односно ако и само ако $b-2$ е делител на 3 , т.е. ако и само ако $b-2 \in\{1,-1,3,-3\}$. |
| |
| Според тоа, постојат четири можности и тоа: |
| |
| - 3 a $b-2=1$ добиваме $b=3, a=4+3=7$, |
| - 3 а $b-2=-1$ добиваме $b=1, a=4-3=1$, |
| - 3 а $b-2=3$ добиаме $b=5, a=4+1=5$ и |
| - $3 a \quad b-2=-3$ добиваме $b=-1, a=4-1=3$. |
| |
| Бараните парови се: $(7,3),(1,1),(5,5)$ и $(3,-1)$. |
| |
| Задача 3. Во правоаголник $A B C D$, со периметар $60 \mathrm{~cm}$, важи $\overline{B C}=$ $\frac{2}{3} \overline{A B}$. На страната $A B$ дадена е точка $E$ така што $\overline{A E}=\frac{1}{3} \overline{A B}$, а на страната $B C$ дадена е точка $F$ така што $\overline{B F}=\frac{2}{3} \overline{B C}$. Ако точката $G$ е средина на отсечката $A D$, колку изнесува плоштината на триаголникот $E F G$ ? |
| |
| Решение. Нека $\overline{A B}=a$ и $\overline{B C}=b$. Од условите на задачата следува $2 a+2 b=60$ и $b=\frac{2}{3} a$ односно $2 a+2 \cdot \frac{2}{3} a=60$. Значи, |
| |
| $$ |
| \frac{10}{3} a=60, \text { т.е. } a=18 \mathrm{~cm}, b=12 \mathrm{~cm} |
| $$ |
| |
| Сега $\overline{A E}=6 \mathrm{~cm}, \overline{E B}=12 \mathrm{~cm}$, |
| |
|  |
| |
| $$ |
| \overline{B F}=8 \mathrm{~cm}, \overline{F C}=4 \mathrm{~cm} \text { и } \overline{A G}=\overline{G D}=6 \mathrm{~cm} |
| $$ |
| |
| Имаме |
| |
| $$ |
| P_{E F G}=P_{A B C D}-\left(P_{A E G}+P_{B F E}+P_{C D G F}\right) |
| $$ |
|
|
| Притоа важи, |
|
|
| $$ |
| P_{A B C D}=18 \cdot 12=216 \mathrm{~cm}^{2}, P_{A E G}=\frac{6 \cdot 6}{2}=18 \mathrm{~cm}^{2}, P_{B F E}=\frac{12 \cdot 8}{2}=48 \mathrm{~cm}^{2} |
| $$ |
| |
| а плоштината на четириаголникот $C D G F$ ќе ја пресметаме така што низ точката $F$ ќе повлечеме права паралелна на страната $C D$. Добиваме |
| |
| $$ |
| P_{C D G F}=P_{C D H F}+P_{H G F}=18 \cdot 4+\frac{18 \cdot 2}{2}=90 \mathrm{~cm}^{2} |
| $$ |
|
|
| Конечно, $P_{E F G}=216-(18+48+90)=216-156=60 \mathrm{~cm}^{2}$. |
| |
| Задача 4. Даден е ${ }_{\triangle} A B C$ со |
|
|
| $$ |
| \measuredangle B A C=40^{\circ}, \measuredangle A B C=20^{\circ} \text { и } \overline{A B}-\overline{B C}=5 \mathrm{~cm} . |
| $$ |
|
|
| Ако симетралата на $\angle A C B$ ја сече $A B$ во точка $M$, да се пресмета должината на $C M$. |
|
|
| Решение. Нека $N \in A B$ така што $\overline{B C}=\overline{B N}$. Тогаш $\triangle B C N$ е рамнокрак па $\measuredangle B N C=\frac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2}=80^{\circ}$. Од $C M$ е симетрала на $\measuredangle A C B=120^{\circ}$ следува $\measuredangle M C B=60^{\circ}$, т.е. |
|
|
| $$ |
| \measuredangle B M C=180^{\circ}-20^{\circ}-60^{\circ}=100^{\circ} |
| $$ |
|
|
| од каде |
|
|
| $$ |
| \measuredangle N M C=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ} . |
| $$ |
|
|
| Значи, $\triangle N C M$ е рамнокрак, па затоа $\measuredangle N C M=180^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ}$. |
|
|
|  |
|
|
| Понатаму, од |
|
|
| $$ |
| \measuredangle A C N=\measuredangle A C M-\measuredangle N C M=60^{\circ}-20^{\circ}=40^{\circ} |
| $$ |
|
|
| следува дека $\triangle A N C$ е рамнокрак, т.е. $\overline{A N}=\overline{N C}$. Тогаш |
|
|
| $$ |
| \overline{C M}=\overline{N C}=\overline{A N}=5 \mathrm{~cm} |
| $$ |
|
|
| Задача 5. Две свеќи имаат должини кои се разликуваат за $32 \mathrm{~cm}$. Ако се запали подолгата во 15 часот, а пократката во 19 часот, тогаш во 21 часот ќе имаат иста должина. Подолгата целосно ќе изгори во 22 часот, а пократката на полноќ. Свеќите горат со константна брзина. Колкав е збирот на почетните должини на свеќите? |
|
|
| Решение. Бидејќи должините на свеќите во 21 часот се еднакви, подолгата наполно изгорува во 22 часот, а пократката на полноќ, следува дека на подолгата и треба 1 час, а на пократката 3 часа за да изгори еднаква должина. Затоа, подолгата свеќа гори 3 пати побрзо од пократката. Нека од пократката свеќa изгоруваат $x \mathrm{~cm}$ на час, тогаш од подолгата ќе изгоруваат $3 x \mathrm{~cm}$ на час. Од 15 до 21 часот, од подолгата свеќа се изгорени $6 \cdot 3 x \mathrm{~cm}$, т.е $18 x \mathrm{~cm}$. Од 19 часот до 21 часот, од пократката свеќa ќе изгорат $2 \cdot x \mathrm{~cm}$. Во 21 часот имаат еднаква должина, што значи дека $18 x-2 x=32$ и оттука $x=2 \mathrm{~cm}$. Тогаш, должината на подолгата свеќa е $7 \cdot 3 x=42 \mathrm{~cm}$, бидејќи за 7 часа целосно изгорува, а на пократката, која изгорува за 5 часа е $5 x=10 \mathrm{~cm}$. |
|
|
| ## IX одделение |
|
|
| Задача 1. Определи ги сите парови прости броеви чија разлика на квадрати е еднаква на 120. |
|
|
| Решение. Нека $(x, y), x>y$ е бараниот пар прости броеви. Од условот на задачата следува $x^{2}-y^{2}=120$, т.е. $(x-y)(x+y)=120$. Очигледно $x-y+x+y=2 x$ е парен број, па затоа двата множители мора да бидат со иста парност, а како производ на два непарни броеви е непарен број заклучуваме дека двата множители мора да бидат парни. Оттука следува дека се можни следниве случаи: |
|
|
| $$ |
| \left\{\begin{array}{l} |
| x+y=60 \\ |
| x-y=2 |
| \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l} |
| x+y=30 \\ |
| x-y=4 |
| \end{array}, \quad\left\{\begin{array} { l } |
| { x + y = 2 0 } \\ |
| { x - y = 6 } |
| \end{array} \text { и } \left\{\begin{array}{l} |
| x+y=12 \\ |
| x-y=10 |
| \end{array} .\right.\right.\right.\right. |
| $$ |
|
|
| Решенијата на првите три системи се и бараните подредени парови прости броеви $(x, y)$, т.е. $(31,29),(17,13)$ и $(13,7)$, а додека последниот систем не дава решение, бидејќи се добива $x=11$ и $y=1$, а 1 не е прост број. |
|
|
| Задача 2. Даден е правоаголен триаголник $A B C$, со прав агол во темето $C$ и агол во темето $B$ еднаков на $20^{\circ}$. Симетралата на $\measuredangle B A C$ ја сече катетата $B C$ во точка $D$, а симетралата на $\angle A B C$ ја сече катетата $A C$ во точка $F$. Од точките $D$ и $F$ повлечени се нормали на хипотенузата и тие хипотенузата ја сечат во точките $M$ и $N$. Пресметај го $\Varangle M C N$. |
|
|
| Решение. Триаголникот $F C N$ е рамнокрак, бидејќи од својството на симетралата $B F$ имаме $\overline{C F}=\overline{F N}$. Триаголникот $C D M$ е рамнокрак, би- |
| дејќи од својството на симетралата $A D$ имаме $\overline{C D}=\overline{D M}$. Затоа важи |
|
|
|  |
|
|
| $\measuredangle F C N=\measuredangle C N F$ и $\measuredangle D C M=\measuredangle D M C$. |
|
|
| Имаме, $\angle A=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$, па затоа $\angle A F N=20^{\circ}$. Аналогно наоѓаме $\measuredangle B D M=70^{\circ}$. Затоа $\angle F C N=\measuredangle C N F=\frac{\angle A F N}{2}=\frac{20^{\circ}}{2}=10^{\circ}$. Аналогно наоѓаме $\measuredangle D C M=\measuredangle D M C=\frac{70^{\circ}}{2}=35^{\circ}$. Конечно, за бараниот агол нао́аме |
|
|
| $$ |
| \measuredangle M C N=90^{\circ}-\left(10^{\circ}+35^{\circ}\right)=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} |
| $$ |
|
|
| Задача 3. Низа од природни броеви започнува со бројот 6. Секој нареден член во низата се добива по следното правило: ако членот $a$ е парен број, тогаш нареден член е $\frac{1}{2} a$, а ако членот $a$ е непарен број, тогаш нареден член во низата е $3 a+1$. Кој број е 2018-ти член? Образложи го својот одговор! |
|
|
| Решение. Да ги запишеме првите членови од низата. Имаме: |
|
|
| $$ |
| 63105168421421 \ldots |
| $$ |
|
|
| Значи, по 6-тиот член, циклично се повторуваат 421 . Воочуваме дека на седмо место, десетто, тринаесто, итн. ќе биде 4 , односно на место чиј реден број при делење со 3 дава остаток 1 ќе биде 4 ; на осмо место, единаесто, четиринаесто, итн. ќе биде 2 , односно на место чиј реден број при делење со 3 дава остаток 2 ќе биде 2 ; а на деветто место, дванаесто, петнаесто, итн. ќе биде 1 , односно на место чиј реден број е делив со 3 ќе биде 1. Бидејќи $2018=3 \cdot 672+2$, 2018-ти член во низата е 2. |
|
|
| Задача 4. Даден произволен триаголник $A B C$. Нека $P$ е пресечната точка на симетралата на аголот $\Varangle B A C$ и правата која ги преполовува отсечките $\overline{A C}$ и $\overline{B C}$. Докажи дека $\angle A P C$ е прав агол. |
|
|
| Решение. Нека $\measuredangle B A C=\alpha$ и $B_{1}, A_{1}$ се средините на отсечките $\overline{A C}, \overline{B C}$, соодветно. Бидејќи отсечката $\overline{A_{1} B_{1}}$ е средна линија на триаголникот $A B C$, следува дека $B_{1} P \| A B$. Тогаш $\measuredangle B A P=\measuredangle A P B_{1}=\frac{\alpha}{2}$ (агли со паралелни краци) и $\measuredangle B A P=\measuredangle B_{1} A P=\frac{\alpha}{2}$ (правата $A P$ е симетрала на $\alpha$ ). Од тука следува дека $\measuredangle A P B_{1}=\measuredangle B_{1} A P=\frac{\alpha}{2}$, односно дека триаголникот $A P B_{1}$ е рамнокрак. Според тоа, $\overline{A B_{1}}=\overline{B_{1} P}=\overline{B_{1} C}$, односно $\overline{A C}$ е дијаметар на кружница опишана околу |
| |
|  |
| триаголникот $A P C$. Од Талесовата теорема следува дека $\angle A P C=90^{\circ}$. |
| |
| Задача 5. Збирот на два природни броја е 2018. Ако се прецрта цифрата на единиците на едниот, ќе се добие другиот број. Најди ги сите такви броеви. |
| |
| Решение. Нека броевите се $x$ и $y$ и нека $x>y$. Тогаш $x=10 y+k$, каде $k$ е прецртаната цифра. Сега имаме $x+y=10 y+k+y=11 y+k$, па $11 y+k=2018$. Значи, $k$ е остатокот од делењето на 2018 со 11 , т.е. $k=5$ . Според тоа $11 y+5=2018$, па $y=183$. Следува $x=1835$. |
| |
| |
