MatematickiTalent/md/mk-primary-republic/2mQmuFHjwUyNFnTPWDzr-g.md

XLII РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

VI одделение

1. Определи ги цифрите $a, b$ така што збирот $\overline{323 a}+\overline{b 410}$ да биде делив co 9?

Решение. Очигледно збирот ќе биде четирицифрен или петцифрен број. Ако збирот е четирицифрен број, тогаш цифрата $b$ е помала или еднаква на 6 , а цифрите на збирот се: првата $3+b$, втората 6 , третата 4 и четвртата $a$. Даденот збир е делив со 9 ако и само збирот на цифрите $3+b+6+4+a=13+a+b$ е делив со 9 . Имаме

• $b=6$, збирот е $19+a$, па затоа $a=8$
• $b=5$, збирот е $18+a$, па затоа $a=0$ или $a=9$
• $b=4$, збирот е $17+a$, па затоа $a=1$
• $b=3$, збирот е $16+a$, па затоа $a=2$
• $b=2$, збирот е $15+a$, па затоа $a=3$
• $b=1$, збирот е $14+a$, па затоа $a=4$

Во случајот кога збирот е петцифрен број, тогаш неговите цифри се петтата $a$, четвртата 4 , третата 6 , втората $b+3-10$ и првата 1 . Нивниот збир е $a+4+6+b+3-10+1=a+b+4$ каде цифрата $b$ е еднаква на 7 , 8 или 9 . Можни се следниве случаи:

• $b=7$, збирот е $11+a$, па затоа $a=7$
• $b=8$, збирот е $12+a$, па затоа $a=6$
• $b=9$, збирот е $13+a$, па затоа $a=5$.

2. Дадени се два броја, чиј збир е 4500. Ако првиот број се зголеми четири пати, а вториот двапати, тогаш збирот на така добиените броеви е 11480. Определи ги дадените броеви?

Решение. Ако и двата броја се зголемат двапати, тогаш нивниот збир исто та се зголемува двапати и тој е еднаков на 9000. Според тоа, ако само првиот број се зголеми двапати се добива бројот

$$11480-9000=248011480-9000=2480$$

Значи, бараните броеви се

$2480: 2=1240$ и $4500-1240=3260$.

3. Во едно училиште во петто оделение учат 140 ученици. Во шесто одделение учат $5 %$ помалку ученици отколку во петто одделение. Вкупниот број ученици кои учат во петто и шесто одделение е еднаков на $91 %$ од вкупниот број ученици кои учат во шесто и седмо одделение и овој број е еднаков на $26 %$ од бројот на сите ученици кои учат во ова училиштето. Колку ученици учат во седмо одделени? Колку ученици учат во ова училиште?

Решение. Во шесто одделенија учат $95 %$ од бројот на учениците во петто одделение, што значи дека во шесто одделение учат $0,95 \cdot 140$ $=133$ ученици. Значи, во петто и шесто одделение вкупно имз $140+133=273$ ученици. Но, овој број е еднаков на $91 %$ од вкупниот број ученици во шесто и седмо одделение, па затоа $273=0,91 \cdot x$, каде $x$ е вкупниот број на ученици во шесто и седмо одделение. Значи, $x=\frac{273 \cdot 100}{91}=300$ ученици. Сега, само во седмо одделение има $300-133$ $=167$ ученици. Од последниот услов, 273 да е $26 %$ од вкупниот број на ученици, добиваме дека бројот на ученици во училиштето е $\frac{273100}{26}$ $=1050$.

4. Во играта „часовник“, на почетокот стрелката покажува еден од броевите од 1 до 7 (цртеж десно). Во секој чекор, стрелката се поместува во насока на движењето на стрелките на часовникот за толку полиња колку што е бројот запишан во полето пред почетокот на чекорот. На пример, на цртежот стрелката покажува на бројот 4 , што

значи дека таа треба да се помести за 4 полиња и ќе покажува на полето со бројот 1 , па во следниот чекор се поместува за 1 поле и ќе покажува на полето во кое е запишан бројот 2 итн. После одиграни 21 потег стрелата покажува на полето во кое е запишан бројот 6 . На кое поле покажувала стрелката после првиот одигран потег?

Решение. Ќе составиме табела во која ќе ја внесуваме моменталната и следната позиција на стрелката, а потоа табела во која ќе ја внесиме моменталната и претходната позиција на стрелката. Имаме

Моментална позиција	Наредна позиција
1	2
2	4
3	6
4	1
5	3
6	5
7	7

па затоа	Моментална позиција	Претходна позиција
	2	1
	4	2
	6	3
	1	4
	3	5
	5	6
	7	7

Задачата ќе ја решиме одејќи одназад на нанапред. Значи за стрелката да покажува кон 6 после 21-от чекор, таа мора да покажува кон кон 3 после 20 -тиот чекор, па на 5 после 19 -тиот чекор, на 6 после 18 -тиот чекор итн. Продолжувајќи ја постапката заклучуваме дека стрелката покажува на 6 после 15 -тиот, 12 -тиот, 9-тиот, 6-тиот и 3 -тиот чекор. Бидејќи покажува на 6 после 3 -тиот чекор, таа покажува на 3 после вториот и конечно на 5 после првиот чекор.

5. Во секоја од 7 штали е сместен непарен број коњи и тоа така да броевите на коњите во шталите формираат низа од последователни непарни природни броеви. Во секоја штала се сместени помалку од 77 коњи. Вкупниот број на коњи во сите 7 штали е запишан со цифри чиј збир е 7. Колку коњи има во секоја од шталите?

Решение. Збир на кои било 7 непарни броеви е непарен број. Вкупниот број на коњи е запишан со број чиј збир на цифри е 7, па збирот може да завршува само на една од цифрите 1, 3 или 5 (ако завршува на 7 или 9 , збирот на цифрите ќе биде поголем од 7). Најмалиот можен збир на седум последователни непарни броја е

$$1+3+5+7+9+11+13=491+3+5+7+9+11+13=49$$

со збир на цифри кој не е еднаков на 7. Најголемиот можен збир на седум последователни непарни броеви помали од 77 е

$$75+73+71+69+67+65+63=48375+73+71+69+67+65+63=483$$

со збир на цифри кој не е еднаков на 7. Сега, трицифрени броеви со збир на цифри 7 , поголеми од 49 , а помали од 483 , со последна цифра 1 , 3 или 5 се:

$$\text{ 115, 205, 133, 223, 313, 403, 151, 241, 331, }421.\backslash text\; \{\; 115,\; 205,\; 133,\; 223,\; 313,\; 403,\; 151,\; 241,\; 331,\; \}\; 421\; .$$

Да забележиме дека збирот на седум последователни непарни броеви е делив со 7. Навистина, ако $a$ е непарен број, тогаш збирот на седум последователни непарни броевие:

$$a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)+(a+10)+(a+12)=7a+42=7(a+6)a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)+(a+10)+(a+12)=7\; a+42=7(a+6)$$

Од најдените броеви само бројот 133 е делив со 7 , па затоа

$$7(a+6)=133,a+6=19,a=137(a+6)=133,\; a+6=19,\; a=13$$

Значи, првиот број во бараната низа е 13, а во шталите редоследно, бројот на коњите е даден со низата 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 .

VII одделение

1. Определи ги сите трицифрени броеви помали од 550 такви што цифрата на стотките е еднаква на производот на другите две цифри.

Решение. Нека $\overline{a b c}$ е бараниот број. Бидејкии $\overline{a b c}<550$, следува дека $a \in{1,2,3,4,5}$.

Ако $a=1$, тогаш $b \cdot c=1$, од каде се добива дека $b=1$ и $c=1$ т.е. бараниот број е 111.

Ако $a=2=1 \cdot 2=2 \cdot 1$, тогаш се добиваат броевите 212 и 221.

Ако $a=3=1 \cdot 3=3 \cdot 1$, тогаш бараните броеви се 313 и 331.

Ако $a=4=1 \cdot 4=4 \cdot 1=2 \cdot 2$, тогаш бараните броеви се 414,422 и 441.

Ако $a=5=1 \cdot 5=5 \cdot 1$, тогаш бараните броеви се 515 и 551 . Бидејќи трицифрените броеви треба да се помали од 550 , бројот 551 не е решение.

Конечно, бараните броеви се: $111,212,221,313,331,414,441,422$ и 515.

2. Даден е паралелограм $A B C D$. Над страните $A B$ и $A D$, надвор од паралелограмот $A B C D$, се конструирани рамнострани триаголници $A B F$ и $D A E$. Докажи, дека триаголникот $E C F$ е рамностран.

Решение. Ќе покажеме дека

$${}_{\mathrm{\Delta }}AFE\cong {}_{\mathrm{△}}BFC\cong {}_{\mathrm{\Delta }}DCE\{\; \}\_\{\backslash Delta\}\; A\; F\; E\; \backslash cong\{\; \}\_\{\backslash triangle\}\; B\; F\; C\; \backslash cong\{\; \}\_\{\backslash Delta\}\; D\; C\; E$$

од каде следува дека $\overline{F E}=\overline{F C}=\overline{C E}$.

Од $\overline{A B}=\overline{D C}$ (спротивни страни во паралелограм), и $\overline{A B}=\overline{A F}=\overline{B F}$ (страни на рамностран триаголник) добиваме $\overline{D C}=$ $\overline{A F}=\overline{B F}$. Аналогно, $\overline{A E}=\overline{D E}=\overline{B C}$.

Но, $\measuredangle A D C \cong \measuredangle A B C$ како спротивни агли

во паралелограм, па затоа

Понатаму, $\measuredangle B A D=180^{\circ}-\measuredangle A D C$, како соседни агли во паралелограм,.

Тогаш според признакот за складност на триаголници САС, важи $\triangle A F E \cong \triangle B F C \cong{ }_{\triangle} D C E$, со што доказот е завршен.

3. Даден е $\triangle A B C$. Точките $P$ и $Q$ лежат на страните $A C$ и $B C$, соодветно и се такви што периметарот на $\triangle A B P$ е еднаков со периметарот на $\triangle A B Q$, а периметарот на $\triangle A Q C$ е еднаков со периметарот на $\triangle P B C$. Докажи, дека $\triangle A B C$ е рамнокрак.

Решение. Имаме

и

Сега, од $L_{\triangle A B P}=L_{\triangle A B Q}$ и $L_{\triangle A Q C}=L_{\triangle P B C}$ и претходните равенства следува дека $\overline{A Q}=\overline{B P}$. Понатаму, од

$$\overline{AP}=L_{\mathrm{△}ABP}-\overline{BP}-\overline{AB}=L_{\mathrm{△}ABQ}-\overline{AQ}-\overline{AB}=\overline{BQ}\backslash overline\{A\; P\}=L\_\{\backslash triangle\; A\; B\; P\}-\backslash overline\{B\; P\}-\backslash overline\{A\; B\}=L\_\{\backslash triangle\; A\; B\; Q\}-\backslash overline\{A\; Q\}-\backslash overline\{A\; B\}=\backslash overline\{B\; Q\}$$

следува дека триаголниците $A B P$ и $A B Q$ имаат една заедничка страна и $\overline{A Q}=\overline{B P}, \overline{A P}=\overline{B Q}$, па затоа тие се складни. Според тоа,

$$\mathrm{\measuredangle }CAB=\mathrm{\measuredangle }PAB=\mathrm{\measuredangle }QBA=\mathrm{\measuredangle }CBA,\backslash measuredangle\; C\; A\; B=\backslash measuredangle\; P\; A\; B=\backslash measuredangle\; Q\; B\; A=\backslash measuredangle\; C\; B\; A,$$

т.е. $\triangle A B C$ е рамнокрак со краци $A C$ и $B C$.

4. Природен број $n$ при делење со 3 дава остаток $a$, при делење со 6 дава остаток $b$ и при делење со 9 дава остаток $c$. Познато е дека $a+b+c=15$. Определи го остатокот при делење на бројот $n$ со 18 .

Решение. Од условот на задачата следува дека бројот $n$ може да се запише во облиците $n=3 p+a, n=6 q+b$ и $n=9 r+c$, при што бидејќи $a, b, c$ се остатоци при делењето на $n$ со $3,6,9$, соодветно, важи $0 \leq a \leq 2,0 \leq b \leq 5,0 \leq c \leq 8$, па затоа $0 \leq a+b+c \leq 15$. Понатаму, бидејќи $a+b+c=15$, добиваме дека $a=2, b=5$ и $c=8$. Сега, $n+1=3 p+3=6 q+6=9 r+9$. Според тоа, бројот $n+1$ е делив со $3,6,9$, па затоа $n+1$ е делив со $\operatorname{NZS}(3,6,9)=18$. Конечно, бројот $n$ при делење со 18 дава остаток 17.

5. На кружница, во произволен редослед се запишани броевите 50,100 , $150, \ldots, 1500$. Докажи, дека меѓу запишаните броеви постојат три последователни броја чиј збир е поголем или еднаков на 2350.

Решение. Збировите од секои три последователно запишани броја да ги означиме со $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{30}$. Во збирот $S_{1}+S_{2}+\ldots+S_{30}$ секој од броевите $50,100,150, \ldots, 1500$ се јавува точно трипати, па затоа

Ако секој од броевите $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{30}$ е помал помал од 2350 , тогаш секој ќе биде помал или еднаков од 2300 (два собирци се разликуваат за 50 и секој собирок е делив со 50), па затоа ќе важи

што е противречност. Од добиената противречност следува дека постои $k, 1 \leq k \leq 30$, таков што $S_{k} \geq 2350$.

VIII одделение

1. Должините на страните на еден правоаголен триаголник се изразени со природни броеви. Дали е можно должините на катетите да бидат изразени со непарни броеви? (Одговорот да се образложи)

Решение. Нека $a=2 p+1$ и $b=2 s+1, p, s \in \mathbb{N}$ се катети на правоаголниот триаголник. Тогаш, за хипотенузата имаме

што не е можно, бидејќи ако $c=2 k$, тогаш $c^{2}=4 k^{2}$, а ако $c=2 k+1$, тогаш $c^{2}=4 k(k+1)+1$, т.е. квадрат на природен број при делење со 4 дава остаток 0 или 1 .

2. Нека $\overline{x y y}$ е трицифрен број делив со 7. Докажи дека збирот на цифрите на бројот $\overline{x y y}$ е делив со 7.

Решение. Го запишуваме бројот $\overline{x y y}$ во обликот

$$\overline{xyy}=100x+10y+y=7(14x+y)+2(x+2y)\backslash overline\{x\; y\; y\}=100\; x+10\; y+y=7(14\; x+y)+2(x+2\; y)$$

каде $x, y$ се цифри. Бидејќи $\overline{x y y}$ е делив со 7 , од последното равенство следува дека $7 \mid 2(x+2 y)$, и како $\mathrm{NZD}(2,7)=1$ добиваме дека $7 \mid x+2 y$, што и требаше да се докаже.

3. Двајца велосипедисти почнуваат тренинг истовремено. Едниот тргнува од Скопје, а другиот од Гевгелија еден кон друг. Кога се на растојание од $180 \mathrm{km}$ еден од друг, во тренингот се вклучува една мува. Таа стартува од рамото на едниот велосипедист и лета да го сретне другиот. Застанува на неговото рамо и се веднаш се враќа назад кон првиот велосипедист. Ова го повторува се додека двајцата велосипедисти не се сретнат. Мувата лета со брзина од $30 \mathrm{km}$ на час, а велосипедистите се движат со брзина $15 \mathrm{~km}$ на час. Колку километри ќе прелета мувата за време на тренингот?

Решение. Од моментот кога мувата се приклучува во тренингот до моментот кога велосипедистите се сретнуваат ќе поминат $\frac{180 \mathrm{km}}{2 \cdot 15 \mathrm{km} / \mathrm{h}}=6 \mathrm{~h}$ Значи мувата ќе лета $6 h$, односно таа ќе прелета $6 \cdot 30 k m=180 k m$.

4. Нека $E$ е средина на страната $C D$ на квадратот $A B C D$. Точка $M$ во внатрешноста на квадратот е таква што $\measuredangle M A B=\measuredangle M B C=\measuredangle B M E=x$. Определи го $x$ ?

Решение. Да го означиме $\measuredangle A B M$ со $y$. Бидејќи $\measuredangle A B C=x+y=90^{\circ}$, од триаголникот $A B M$ добиваме дека $\measuredangle A M B=90^{\circ}$. Нека $F$ е средината на страната $A B$. Тогаш од правоаголниот триаголник $A B M$ добиваме $\overline{A F}=\overline{F B}=\overline{M F}$. Понатаму, $\angle F M B=\measuredangle F B M=y$

од каде следува $\angle E M F=x+y=90^{\circ}$. Триаголникот $M F E$ е правоаголен при што $E F=2 M F$ од каде следува $\angle M F E=60^{\circ}$ и

$$\mathrm{\measuredangle }MBF=\frac{1}{2}\mathrm{\measuredangle }MFA=\frac{1}{2}({90}^{\circ }-\mathrm{\measuredangle }MFE)={15}^{\circ }\backslash measuredangle\; M\; B\; F=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash measuredangle\; M\; F\; A=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(90^\{\backslash circ\}-\backslash measuredangle\; M\; F\; E\backslash right)=15^\{\backslash circ\}$$

Конечно $x=75^{\circ}$.

5. Даден е конвексен четириаголник $A B C D$. Докажи, дека било која точка од четириаголникот $A B C D$ и неговата внатрешност лежи барем во еден од четирите кругови чии дијаметри се страните на тој четириагоник.

Решение. Нека точките $E$ и $F$ се подножја на висините спуштени од темињата $A$ и $C$ кон страната $B D$, соодветно. На овој начин со помош на дијагоналата $B D$ и точките $E$ и $F$, четириаголниот $A B C D$ е поделен на четири правоаголни триаголници.

Според Талесовата теорема точката $E$ лежи на кружницата со дијаметар $A B$. Следува секоја точка од триаголникот $A B E$ лежи во

кругот со дијаметар $A B$. Аналогно, останатите три правоаголници триаголници лежат во круговите со дијаметри $B C, C D$ и $D A$.

Следува секоја точка од четириаголникот $A B C D$, лежи во барем еден четирите кругови, чии дијаметри се страните на тој четириаголник.

IX одделение

1. Определи ги сите парови последователни природни броеви такви што едниот број може да се запише како производ $2(n-3)(n+1)$, а другиот како производ $(n-2)(2 n-1)$ каде што $n$ е природен број.

Решение. Разликата на два последователни природни броеви е 1 , па во зависност од тоа кој број е поголем имаме два случаи:

1. $2(n-3)(n+1)-(n-2)(2 n-1)=1$ од каде што $n=9$, а бараните броеви се 119 и 120.
2. $(n-2)(2 n-1)-2(n-3)(n+1)=1$ од каде што $n=7$, а бараните броеви ce 64 и 65 .
3. Кој е најголемиот природен број кој го задоволува следниот услов: било кои две соседни цифри во истиот редослед формираат двоцифрен број делив со 23?

Решение. Двоцифрени броеви кои се деливи со 23 се 23, 46, 69 и 92. Најголем број кој го задоволува условот на задачата е 46923.

3. Определи ги сите цели броеви $n$ за кои $\sqrt{n^{2}+4 n-5}$ е исто така цел број.

Решение. Нека $\sqrt{n^{2}+4 n-5}=m$. Според тоа,

Двата множители на левата страна во последното равенство се непарни цели броеви.

Бидејќи $m \geq 0$, можни се следниве случаи:

$$\{\begin{array}{l}n+2+m=9\\ n+2-m=1\end{array},\{\begin{array}{l}n+2+m=3\\ n+2-m=3\end{array},\{\begin{array}{l}n+2+m=-3\\ n+2-m=-3\end{array}\text{ и }\{\begin{array}{l}n+2+m=-1\\ n+2-m=-9\end{array}\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}\; n+2+m=9\; \backslash \backslash \; n+2-m=1\; \backslash end\{array\},\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}\; n+2+m=3\; \backslash \backslash \; n+2-m=3\; \backslash end\{array\},\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\; \{\; l\; \}\; \{\; n\; +\; 2\; +\; m\; =\; -\; 3\; \}\; \backslash \backslash \; \{\; n\; +\; 2\; -\; m\; =\; -\; 3\; \}\; \backslash end\{array\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}\; n+2+m=-1\; \backslash \backslash \; n+2-m=-9\; \backslash end\{array\}\backslash right.\backslash right.\backslash right.\backslash right.$$

Оттука лесно наоѓаме дека $n=3, n=1, n=-5, n=-7$.

4. Нека $A B C$ е рамнокрак правоаголен триаголник со прав агол во темето $C$, и нека $D$ е подножјето на висината повлечена од $C$. Ако симетралата на аголот $C A B$ ја сече висината $C D$ во точката $E$, докажи дека $\overline{B C}+\overline{C E}=\overline{A B}$.

Решение. Нека $M$ е точка од хипотенузата таква што $\overline{A C}=\overline{A M}$. Тогаш триаголникот $A M C$ е рамнокрак со основа $C M$ и

$$\mathrm{\measuredangle }ACM=\mathrm{\measuredangle }AMC=\frac{{180}^{\circ }-{45}^{\circ }}{2}={67}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}\backslash measuredangle\; A\; C\; M=\backslash measuredangle\; A\; M\; C=\backslash frac\{180^\{\backslash circ\}-45^\{\backslash circ\}\}\{2\}=67^\{\backslash circ\}\; 30^\{\backslash prime\}$$

па следува дека

$$\mathrm{\measuredangle }BCM={90}^{\circ }-{67}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}={22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}\backslash measuredangle\; B\; C\; M=90^\{\backslash circ\}-67^\{\backslash circ\}\; 30^\{\backslash prime\}=22^\{\backslash circ\}\; 30^\{\backslash prime\}$$

Бидејќи

$$\text{Varangle}CAE=\text{Varangle}BCM={22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }},\overline{AC}=\overline{BC}\text{ и }\mathrm{\measuredangle }ACE=\mathrm{\measuredangle }CBM={45}^{\circ }\backslash Varangle\; C\; A\; E=\backslash Varangle\; B\; C\; M=22^\{\backslash circ\}\; 30^\{\backslash prime\},\; \backslash overline\{A\; C\}=\backslash overline\{B\; C\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash measuredangle\; A\; C\; E=\backslash measuredangle\; C\; B\; M=45^\{\backslash circ\}$$

следува дека триаголниците $C A E$ и $B C M$ се складни.

Значи, $\overline{B M}=\overline{C E}$, па добиваме дека

$$\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}=\overline{AC}+\overline{CE}\backslash overline\{A\; B\}=\backslash overline\{A\; M\}+\backslash overline\{M\; B\}=\backslash overline\{A\; C\}+\backslash overline\{C\; E\}$$

5. За различните реални броеви $a, b, c$ е важи

$$\frac{a^2}{(b-c{)}^2}+\frac{b^2}{(c-a{)}^2}+\frac{c^2}{(a-b{)}^2}=2\backslash frac\{a^\{2\}\}\{(b-c)^\{2\}\}+\backslash frac\{b^\{2\}\}\{(c-a)^\{2\}\}+\backslash frac\{c^\{2\}\}\{(a-b)^\{2\}\}=2$$

Пресметај

$$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\backslash frac\{a\}\{b-c\}+\backslash frac\{b\}\{c-a\}+\backslash frac\{c\}\{a-b\}$$

Решение. Воведуваме смени

$$x=\frac{a}{b-c},y=\frac{b}{c-a},z=\frac{c}{a-b}x=\backslash frac\{a\}\{b-c\},\; y=\backslash frac\{b\}\{c-a\},\; z=\backslash frac\{c\}\{a-b\}$$

Тогаш условот на задачата го добива обликот $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$, а збирот кој се бара е $x+y+z$. Да забележиме дека

$$\begin{array}{c}{\displaystyle x+1=\frac{a+b-c}{b-c},y+1=\frac{b+c-a}{c-a},z+1=\frac{c+a-b}{a-b}\text{ и }}\\ {\displaystyle x-1=\frac{a+c-b}{b-c},y-1=\frac{b+a-c}{c-a},z-1=\frac{c+b-a}{a-b}}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; x+1=\backslash frac\{a+b-c\}\{b-c\},\; y+1=\backslash frac\{b+c-a\}\{c-a\},\; z+1=\backslash frac\{c+a-b\}\{a-b\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash \backslash \; x-1=\backslash frac\{a+c-b\}\{b-c\},\; y-1=\backslash frac\{b+a-c\}\{c-a\},\; z-1=\backslash frac\{c+b-a\}\{a-b\}\; \backslash end\{gathered\}$$

од каде следува

$$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$$

Последното равенство е еквиалентно со равенството $x y+y z+z x=-1$. Тогаш

$$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=2-2=0(x+y+z)^\{2\}=x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}+2(x\; y+y\; z+z\; x)=2-2=0$$

од каде добиваме $x+y+z=0$.