Datasets:

AI-MO
/

olympiads

Колку литри дестилирана вода треба да се помеша со 4 литри $5 %$-тен раствор на оцетна киселина за да се добие $1 %$-тен раствор на оцетна киселина.
Две кружници со еднакви радиуси се сечат во точките А и B. Низ точката A е повлечена правата а, која дадените кружници ги сече во точките P и S. Докажи дека $\triangle \mathrm{PBS}$ е рамнокрак, независно од положбата на правата а.
Во конвексен четириаголник $A B C D$, должината на едната дијагонала е $1 \mathrm{~~cm}$, а на другата $2 \mathrm{~~cm}$. Должините на отсечките што ги сврзуваат средините на спротивните страни се меѓусебно еднакви.

a) Докажи дека дијагоналите на четириаголникот $\mathrm{ABCD}$ се заемно нормални;

б) Пресметај ја плоштината на четириаголникот ABCD.

(1978.VII.1)

I. Ќе го разложиме бројот 2520 на прости множители:

$2520=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$

За еден број да биде точен квадрат треба неговите прости множители да бидат на парни степени.

Значи, бројот 2520 треба да се помножи со $2 \cdot 5 \cdot 7=70$ (тоа е најмалиот природен број) и ќе се добие:

$2520 \cdot 70=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}=\left(2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\right)^{2}$

$=420^{2}=176400$

Одговор: со 70 .

11. (1978.VII.2)

І. Изразот $\frac{60+n}{n}=\frac{n}{n}+\frac{60}{n}=1+\frac{60}{n}$ е природен број, ако $n$ е делител на бројот 60, т.е.

$\begin{aligned} & n \in\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} . \text { Toraw } \\ & \frac{60}{n} \in\{60,30,20,15,12,10,6,5,4,3,2,1\} \text { a } \\ & \frac{n+60}{n} \in\{61,31,21,16,13,11,7,6,5,4,3,2\} \\ & \text { Значи: } \quad B=\{2,3,4,5,6,7,11,13,16,21,31,61\} \\ & \text { n } \quad C=\{2,3,5,7,11,13,31,61\} \\ & \text { Одговор: } B=\{2,3,4,5,6,7,11,13,16,21,31,61\} \\ & \quad C=\{2,3,5,7,11,13,31,61\} \end{aligned}$

12. (1978.VII.3)

I. При решавањето на оваа задача може и вака да се резонира (размислува): наместо 4 литра од $5 %$-тен раствор да земеме 1 литар од $5 %$-тен раствор и во него да додадеме 4 литри дестилирана вода, па тогаш ќе добиеме 5 литри со $1 %$-тен раствор оцетна киселина. За 4 литри тогаш ќе требаат $4 \cdot 4=16$ литри дестилирана вода, па ќе се добие $1 %$-тен раствор оцетна киселина.

II. (со равенка) Ваквите задачи, со раствори, можат многу лесно (велиме ,шаблонски") да се решат со помош на равенка.

$4 \frac{5}{100}=(x+4) \cdot \frac{1}{100}$

од каде што е

$\begin{aligned} & 20=x+4 \\ & x=16 \end{aligned}$

III. Оваа задача може да се реши и со помош на пропорции:

Одговор; 16 литри.

13. (1978.VII.4)

I. Нека се дадени кружниците $k_{1}$ и $k_{2}$, коишто се сечат во точките A и B, и правата а што минува низ точката $A$, нека ги сече кружниците во точките $P$ и S. (црт. 8).

Црт. 8

Тетивата $A B$ е заедничка тетива за овие две складни кружници, затоа $\Varangle A P B=\Varangle A S B$, како перифериски агли над иста тетива. Од тоа следува дека $\triangle \mathrm{PBS}$ е рамнокрак, со основа $\mathrm{PS}$ и со краци $\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BS}}$.

(1978.VII.5) D

Црт. 9

Аналогно се покажува дека е:

$\overline{M Q}=\overline{N P}=\frac{1}{2} \overline{B D} n M Q \| N P$

Од (3) и (4) следува дека четириаголникот MNPQ е паралелограм чиишто страни се паралелни и еднакви на половина од дијагоналите на четириаголникот ABCD.

a) Бидејќи според үсловот на задачата е:

$\overline{\mathrm{MP}}=\overline{\mathrm{NQ}}$

следува дека паралелограмот MNPQ е правоаголник. Бидејки страните на овој правоаголник се паралелни со дијагоналите AC и BD на четириаголникот $A B C D$, следува дека дијагоналите се нормални мегіу себе, т.е.

$\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$.

б) Бидејќи четириаголникот ABCD има нормални дијагонали, тогаш неговата плоштина е:

$P=\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}=\frac{1 \cdot 2}{2}=1$

Одговор: $P=1 \mathrm{~cm}^{2}$. I. ABCD нека е кој и да е конвексен четириаголник. Ке покажеме дека средините на неговите страни се темиња на паралелограм.

За триаголникот $\mathrm{ABC}$ отсечката MN е средна линија, затоа е:

$\overline{M N}=\frac{1}{2} \overline{A C} \quad n M N \| A C$

За триаголникот ACD, отсечката QP е средна линија, затоа e:

$\overline{\mathrm{QP}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} \text { и } \mathrm{QP} \| A C$

VIII ОДДЕЛЕНИЕ

Докажи дека разликата од квадратите на два сукцесивни непіарни броја е делива со 8.
Еден резервоар може да прими $9117 \mathrm{~~m}^{3}$ вода и може да се полни низ три цевки. Низ првата цевка за 4 часа протекуваат $231 \mathrm{~~m}^{3}$ вода; низ втората за 3 часа $143 \mathrm{~m}^{3}$, а низ третата за 5 часа исто толку колку што протекүваат низ првата за 4 часа. За колку време ќе се наполни резервоарот, ако истовремено се полни со трите цевки?
Триаголникот $A B C$ е формиран од апцисната оска и. од правите на кои равенките им се: $3 x-4 y=-24$ и $2 x-1,5 y=-9$. Преометај ја плоштината на телото што се добива кога триаголникот $A B C$ ротира околу апцисната оска.
Две точки $A$ и $B$ ге гледаат под агол од $30^{\circ}$ и од точката. $C$, и од точката $\mathrm{D}$, а меі́у нив растојанието е $300 \mathrm{~m}$. Правите AC и BD се нормални mefy ceбе. Пресметај го растојанието AB.
Основните рабови на права тристрана призма се: $\mathrm{a}=9 \mathrm{~~cm}, \mathrm{~~b}=$ $10 \mathrm{~~cm}$ и $c=17 \mathrm{~~cm}$, а нејзната висина е $\mathrm{H}=3 \cdot \mathrm{h}{\mathrm{a}}$, каде што $\mathrm{h}{\mathrm{a}}$ е висина на страната а во $\triangle A B C$.

Пресметај ги плоштината и волуменот на призмата.

15. (1978.VIII.1)

I. Ако $k \in N$, тогаш $2 k-1$ е непарен број, неговиот следбеник $2 k$ e парен, а $2 k+1$ е непарен. 3 начи $2 k-1$ и $2 k+1$, се два сүкцесивни непарни броја. Разликата на нивниіе квадрати e: $(2 k+1)^{2}-(2 k-1)^{2}=\left(4 k^{2}+4 k+1\right)-$ $-\left(4 k^{2}-4 k+1\right)=8 \kappa$, од каде што е јасно дека е делива со 8 .

16. (1978.VIII.2)

I. Од првата цевка за 4 часа истекуваат $231 \mathrm{~~m}^{3}$ вода, а за 1 час ќе истечат четирипати помалку, т.е. $\frac{231}{4} \mathrm{~~m}^{3}$ вода.

Од втората цевка за 1 час истекуваат $\frac{144}{3} \mathrm{~~m}^{3}$ вода, а од третата $\frac{231}{5} \mathrm{~~m}^{3}$ вода.

За. 1 час, од трите цевки кке истечат:

$\begin{aligned} \frac{231}{4}+\frac{144}{3}+\frac{231}{5} & =\frac{15 \cdot 231+20 \cdot 144+12 \cdot 231}{60}= \\ & =\frac{3465+2880+2772}{60}=\frac{9117}{60} \end{aligned}$

За $x$ часа од трите цевки ќе истечат $\frac{9117}{60} \mathrm{xm}^{3}$ вода.

Од равенството $\frac{9117}{60} x=9117$

добиваме $x=60$, т.е. трите цевки заедно би то наполниле резервоарот за 60 часа.

Одговор: 60 часа.

17. (1978.VIII.3)

I. Нулите на функциите т.е. нивните пресеци со $x$-оската се:

$\begin{aligned} & \left\{\begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 2 4 } \\ { y = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-8 \\ y=0 \end{array} \Rightarrow A(-8,0)\right.\right. \\ & \left\{\begin{array} { l } { 2 x - 1 , 5 y = - 9 } \\ { y = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{9}{2} \\ y=0 \end{array} \Rightarrow B\left(-\frac{9}{2}, 0\right)\right.\right. \end{aligned}$

Црт. 10

Со тоа ги добиваме двете темиња $\mathrm{A}$ и B на триаголникот. Третото теме $\mathrm{C}$ ќe го најдеме во пресекот на двете прави. За таа цел ќе го решиме системот:

$\left\{\begin{array}{l} 3 x-4 y=-24 \\ 2 x-1,5 y=-9 \end{array}\right.$

Ако првата равенка ја помножиме со 3 , а втората со - 8, ќе добиеме:

$\begin{aligned} & \left\{\begin{array} { r } { 9 x - 1 2 y = - 7 2 } \\ { - 1 6 x + 1 2 y = 7 2 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 9 x - 1 2 y = - 7 2 } \\ { - 7 x = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} 9 x-12 y=-72 \\ x=0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right.\right. \\ & \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=6 \end{array} \Rightarrow C(0,6)\right. \end{aligned}$

(види црт. 10.)

При ротацйја на $\triangle \mathrm{ABC}$ околу $\mathrm{x}$-оската се добива конус, од кој е ,"изваден" друг конус, со заеднички радиус и со помала висина. Плоштината на телото се состои од двете обвивки на тие конуси. Да ги пресметаме изводниците AC и BC и радиусот $\mathrm{r}$. Ќе имаме:

$\begin{aligned} & s_{1}=\overline{A C}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10 \\ & s_{2}=\overline{B C}=\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+6^{2}}=\sqrt{4,5^{2}+36}=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,26}=7,5 \\ & r=\overline{O C}=6 \end{aligned}$

Тогаш плоштината на ротационото тело e:

$\begin{aligned} P & =\pi r s_{1}+\pi r s_{2}=\pi r\left(s_{1}+s_{2}\right)=\pi \cdot 6(10+7,5)= \\ & =17,5 \cdot 6 \cdot \pi=105 \pi \end{aligned}$

Одговор: $P=105 \pi$ квадратни единици.

18. (1978.VIII.4)

I. Нека се дадени точките

A, B, C и D, но така што да е:

$\Varangle A C B=\Varangle A D B=30^{\circ} ; A D \perp B C$ и $\overline{C D}=300$ (види цртеж 11.).

Нека ставиме:

$\overline{M A}=a ; \overline{M B}=b ; \overline{A B}=x$.

Од правоаголниот $\triangle$ MAC имаме $\overline{A C}=2 a ; \overline{M C}=\sqrt{(2 a)^{2}-a^{2}}=$

$=\sqrt{3 a^{2}}=a \sqrt{3}$. Аналогно, од правоаголниот $\triangle$ MBD имаме $\overline{B D}=2 b$, $\overline{M D}=b \sqrt{3}$. Од правоаголниот $\triangle M C D$ имаме:

$\begin{aligned} & \overline{\mathrm{CD}}^{2}=\overline{\mathrm{CM}}^{2}+\overline{\mathrm{DM}}^{2} \\ & 90000=3\left(a^{2}+b^{2}\right) \\ & 30000=a^{2}+b^{2} \end{aligned}$

Црт. 11

Најпосле од правоаголниот $\triangle \mathrm{MAB}$ го добиваме бараното растојание $\overline{\mathrm{AB}}$.

$\begin{aligned} & \overline{A B}^{2}=\overline{M A}^{2}+\overline{M B}^{2} \\ & \overline{A B}^{2}=a^{2}+b^{2}=30000 \end{aligned}$

или

$\overline{A B}=\sqrt{3 \cdot 10000}=100 \sqrt{3}$

Одговор: $\overline{\mathrm{AB}}=100 \sqrt{3} \mathrm{~m}$.

19. (1978.VIII.5)

Црт. 12 I. Ќe ја пресметаме првин плоштината на основата на призмата, т.е. на $\triangle \mathrm{ABC}$.

Бидејќи $17^{2}>9^{2}+10^{2}$, т.е. $c^{2}>a^{2}+b^{2}$, следува дека̀ $\triangle A B C$ е тапоаголен, со тап агол кај темето С. Тогаш подножјето на висината ha, точката $D$, е надвор од $\triangle A B C$. (види црт. 12.)

Од правоаголните триаголници $A B D$ и $A C D$ имаме

$\begin{aligned} & h_{a}^{2}=17^{2}-(9+x)^{2} \\ & h_{a}^{2}=10^{2}-x^{2} \end{aligned}$

од каде што е

$\begin{aligned} & 17^{2}-(9+x)^{2}=10^{2}-x^{2} \\ & 289-\left(81+18 x+x^{2}\right)=100-x^{2} \\ & 108=18 x \\ & x=6 \end{aligned}$

Во било која и да е од равенките, ако замениме за $x=6$, ќе до-

биеме:

$\begin{aligned} & h_{a}^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64 \\ & h_{a}=8 \Rightarrow H=3 \cdot h_{a}=24 \end{aligned}$

Плоштината на основата (базисот) е

$B=\frac{1}{2} 9 \cdot 8=36$

а плоштината на обвивките е

$\begin{aligned} M & =L \cdot H=(a+b+c) \cdot 24= \\ & =(9+10+17) \cdot 24=864 \end{aligned}$

Плоштината на целата призма е

$P=2 \cdot B+M=2 \cdot 36+864=936$

Волуменот на призмата е

$V=B \cdot H=36 \cdot 24=864$

Одговор: $P=936 \mathrm{~cm}^{2}$

$V=864 \mathrm{~cm}^{3}$

II. Плоштината на $\triangle \mathrm{ABC}$ со страни a, b и c се пресметува по т.н. ХЕРОНОВА ФОРМУЛА (Херон) која гласи:

$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text {, каде што } s=\frac{a+b+c}{2}$

Со примена на оваа формула можеме лесно да ја пресметаме плоштината на основата, т.е. на $\triangle \mathrm{ABC}$.

Прво го нао́аме $\mathrm{s}$, полупериметарот.

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9+10+17}{2}=\frac{36}{2}=18$

Тогаш плоштината на базисот е

$\begin{aligned} B & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{18 \cdot(18-9)(18-10)(18-17)}= \\ & =\sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1}=\sqrt{2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 8}= \\ & =\sqrt{9^{2} \cdot 4^{2}}=9 \cdot 4=36 \end{aligned}$

Значи, за основата добиваме $B=36$. Од друга страна е

$B=\frac{a \cdot h_{a}}{2}$, т.е. $36=\frac{9 \cdot h_{a}}{2}$, од каде што добиваме $h_{a}=8$. Понатаму, задачата ја решаваш како погоре...