MatematickiTalent/md/mk-secondary-federal/Wa5d3EMv4UKueC-WsfSTJw.md

Сојузен натпревар 1985

I година

1. Докажи дека меѓу 39 последователни природни броеви има барем еден број чиј збир на цифри е делив со 11.

Решение. Нека $n$ е природен број. Меѓу броевите $n, n+1, \ldots, n+19$ постојат два чија цифра на единиците е еднаква на нула. Барем кај еден од овие два броја цифрата на десетките не е еднаква на 9. Нека тоа е бројот $a$ и нека $S$ е збирот на неговите цифри. Тогаш $a+19 \leq n+19+19=n+38$, а со пресметување на збировите на цифрите на броевите $a, a+1, a+2, \ldots, a+19$ се добиваат броевите $S, S+1, S+2$, ..., $S+10$. Бидејќи меѓу 11 последователни броеви постои број кој е делив со 11 , заклучуваме дека збирот на цифрите на барем еден од броевите $n, n+1, \ldots, n+38$ е делив со 11.

2. Во внатрешноста на квадрат $A B C D$ дадена е точка $E$ таква што триаголникот $C D E$ е рамнокрак со агол од $150^{\circ}$ кај темето $E$. Определи ги аглите на триаголникот $A B E$.

Решение. Нека $E_{1}$ е внатрешна точка на квадратот $A B C D$ таква што $A B E_{1}$ е рамностран триаголник, цртеж десно. Тогаш $C D E_{1}$ и $C E_{1} B$ се рамнокраки триаголници (соодветно со основи $C D$ и $C E_{1}$ ) и важи

Затоа $E=E_{1}$, па сите агли на триаголникот $A B E$ се еднакви на $60^{\circ}$.

3. Во рамнината се дадени 3000 точки такви што никои три не лежат на иста права. Докажи дека постојат 1000 триаголници со темиња во овие точки такви што никои два од нив немаат заеднички точки.

Решение. Нека $l$ е произволна права која не е паралелна на ниту една од правите кои се определени со дадените точки. Да ги означиме со $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{3000}$ правите секоја од кои содржи по една од дадените точки, а сите се паралелни на правата $l$, но така што за секој $i \in{1,2, \ldots, 2999}$ меѓу правите $l_{i}$ и $l_{i+1}$ не се наоѓа ниту една од тие прави. За секој $k \in{1,2, \ldots, 3000}$ со $A_{k}$ да ја означиме онаа од дадените точки која припаѓа на правата $l_{k}$. Тогаш триаголниците $A_{1} A_{2} A_{3}$, $A_{4} A_{5} A_{6}, \ldots, A_{2998} A_{2999} A_{3000}$ се дисјунктни меѓу себе.

4. Докажи дека за позитивните реални броеви $a, b, c, d, e, f$ важи неравенството

$$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}\backslash frac\{a\; b\}\{a+b\}+\backslash frac\{c\; d\}\{c+d\}+\backslash frac\{e\; f\}\{e+f\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{(a+c+e)(b+d+f)\}\{a+b+c+d+e+f\}$$

Решение. Нека се $x, y, z, u$ позитивни броеви. Со елементарни трансформации лесно може да го докажеме неравенството

$$\frac{xy}{x+y}+\frac{zu}{z+u}\le \frac{(x+z)(y+u)}{x+y+z+u}\backslash frac\{x\; y\}\{x+y\}+\backslash frac\{z\; u\}\{z+u\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{(x+z)(y+u)\}\{x+y+z+u\}$$

Ако неравенството (1) двапати последователно го примениме, и тоа прво

$$x=a,y=b,z=c,u=dx=a,\; y=b,\; z=c,\; u=d$$

а потоа

$$x=a+c,y=b+d,z=e,u=fx=a+c,\; y=b+d,\; z=e,\; u=f$$

добиваме

$$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}\backslash frac\{a\; b\}\{a+b\}+\backslash frac\{c\; d\}\{c+d\}+\backslash frac\{e\; f\}\{e+f\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{(a+c)(b+d)\}\{a+b+c+d\}+\backslash frac\{e\; f\}\{e+f\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{(a+c+e)(b+d+f)\}\{a+b+c+d+e+f\}$$

II година

1. Определи го најмалиот природен број $n$ со својство збировите на цифрите на броевите $n$ и $n+1$ се деливи со 1985 .

Решение. Бараниот број е од видот

$$\begin{array}{c}{\displaystyle n=c99\dots \mathrm{.}.9899\dots \mathrm{.}\mathrm{.}.9}\\ {\displaystyle k}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; n=c\; 99\; \backslash ldots\; .\; .9899\; \backslash ldots\; .\; .\; .9\; \backslash \backslash \; k\; \backslash end\{gathered\}$$

при што $l$ е најмалиот природен број за кој важи $1985 \mid 9 l-1$, а $k$ е најмалиот природен број таков што за некој $c \in{1,2, \ldots, 9}$ важи $1985=9(k+1)+c$. Од условот

$$9l-1=1985s=9\cdot 220s+5s9\; l-1=1985\; s=9\; \backslash cdot\; 220\; s+5\; s$$

добиваме дека $l=1544$ за $s=7$. Понатаму, лесно се добива $k=219, c=5$.

2. Нека функцијата $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ е зададена со формулата $f(m)=m+[\sqrt{m}]$. Докажи дека за секој $m \in \mathbb{N}$ постои $k \in \mathbb{N}$ таков што

$$f^k(m)=\underset{k}{\underbrace{f(f(\dots (f}}(m))\dots ))f^\{k\}(m)=\backslash underbrace\{f(f(\backslash ldots(f\}\_\{k\}(m))\; \backslash ldots))$$

е точен квадрат.

Решение. Да забележиме дека за секој природен број $m$ постои природен број $n$ таков што важи $n^{2} \leq m<n^{2}+2 n=(n+1)^{2}-1$. Ако $m=n^{2}$, тогаш

Слично за $m=n^{2}+n l+k$, каде $l \in{0,1}, k \in{1,2, \ldots, n}$ се добива

$$f^{2k-l}(m)=f^{2k-l}(n^2+nl+k)=(m+k{)}^{2}f^\{2\; k-l\}(m)=f^\{2\; k-l\}\backslash left(n^\{2\}+n\; l+k\backslash right)=(m+k)^\{2\}$$

3. Дадени се тетраедар $P A B C$ и точка $Q$ внатре во него. Докажи дека

$$\mathrm{\measuredangle }BQC+\mathrm{\measuredangle }CQA+\mathrm{\measuredangle }AQB>\mathrm{\measuredangle }BPC+\mathrm{\measuredangle }CPA+\mathrm{\measuredangle }APB\backslash measuredangle\; B\; Q\; C+\backslash measuredangle\; C\; Q\; A+\backslash measuredangle\; A\; Q\; B>\backslash measuredangle\; B\; P\; C+\backslash measuredangle\; C\; P\; A+\backslash measuredangle\; A\; P\; B$$

Решение. Нека $Q_{1}$ е пресекот на правата $A Q$ и рамнината $P B C$, цртеж десно.

Тогаш

Според тоа,

$$\mathrm{\measuredangle }ABP+\mathrm{\measuredangle }PBC>\mathrm{\measuredangle }ABQ+\mathrm{\measuredangle }QBC\backslash measuredangle\; A\; B\; P+\backslash measuredangle\; P\; B\; C>\backslash measuredangle\; A\; B\; Q+\backslash measuredangle\; Q\; B\; C$$

и аналогно

Со собирање на последните три неравенства добиваме $\alpha_{1}>\alpha_{2}$, каде

Според тоа,

4. Определи го најмалиот природен број $n$ за кој постои множество

$$M\subset \{1,2,\dots ,100\}M\; \backslash subset\backslash \{1,2,\; \backslash ldots,\; 100\backslash \}$$

од $n$ елементи кое ги задоволува условите: a) 1 и 100 припаѓаат на множеството $M$,

б) за секој $a \in M \backslash{1}$ постојат $x, y \in M$ такви што $a=x+y$.

Решение. Нека $M=\left{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right} \subset{1,2, \ldots, 100}$, каде

и нека за $M$ важи условот б). Тогаш

$$a_2=2,a_3\le 4,a_4\le 8,a_5\le 16,a_6\le 32,a_7\le 64a\_\{2\}=2,\; a\_\{3\}\; \backslash leq\; 4,\; a\_\{4\}\; \backslash leq\; 8,\; a\_\{5\}\; \backslash leq\; 16,\; a\_\{6\}\; \backslash leq\; 32,\; a\_\{7\}\; \backslash leq\; 64$$

Ако $50 \notin M$, тогаш од $a_{6}+a_{7}<100$ следува $n>8$, односно $n \geq 9$. Ако $a_{k}=50$ за некој индекс $k$, тогаш од $a_{5}+a_{6} \leq 48<50$ следува $k>7$, т.е. $k \geq 8$, па е $n \geq 9$. Непосредно се проверува дека за множествата

се исполнети сите услови на задачата. Според тоа, бараниот број е еднаков на 9.

III и IV година

1. Определи ги сите природни броеви помали од 1000 кои се еднакви на збирот на факториелите на своите цифри.

Решение. Треба да ги определиме сите тројки ( $x, y, z$ ) за кои важи

Ако $(x, y, z)$ е таква тројка, тогаш $x \leq 5, y \leq 5, z \leq 5$ и $x!+y!+z!\leq 3 \cdot 5!=360$. Навистина, во спротивно ќе важи $x!+y!+z!\geq 6!=720$, па е $x!\geq 7!=5040$, што е противречност. Со проверка на броевите $55,155,255,355,455$ лесно се добива дека ниту еден од нив не е решение на задачата, што значи дека најмногу еден од броевите $x, y, z$ е еднаков на 5 .

a) Нека точно еден од броевите $x, y, z$ е еднаков на 5 . Лесно се проверува дека двата други броја не се еднакви на 4. Затоа важи

$$120\le x!+y!+z!\le 5!+4!+3!=150120\; \backslash leq\; x!+y!+z!\backslash leq\; 5!+4!+3!=150$$

Со проверка за броевите $125,135,145$ добиваме дека 145 е едно решение на задачата.

б) Нека $x \leq 4, y \leq 4, z \leq 4$. Спо проверка се добива дека во овој случај тројките $(0,0,1)$ и $(0,0,2)$ се единствени решенија на задачата.

Конечно, сите барани броеви се 1,2 и 145.

2. Нека $P$ е полином со реални коефициенти таков што за секој за секој реален број $x$ важи

$$P(\cos x)=P(\sin x)P(\backslash cos\; x)=P(\backslash sin\; x)$$

Докажи дека постои полином $Q$ таков што за секој реален број $t$ важи

$$P(t)=Q(t^4-t^2)P(t)=Q\backslash left(t^\{4\}-t^\{2\}\backslash right)$$

Решение. Нека $P(t)=\left(t^{4}-t^{2}\right) Q_{1}(t)+a t^{3}+b t^{2}+c t+d$. Од последното равенство и од условот на задачата следува дека за секој $x \in \mathbb{R}$ важи

Од равенството (1) за $x=0$ добиваме $a+b+c=0$, а за $x=\pi$ добиваме $a-b+c=0$, од што следува дека $a+c=0$ и $b=0$. Според тоа, равенството (1) можеме да го запишеме во облик

$${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x[Q_1(\sin x)-Q_1(\cos x)]=a(\sin x-\cos x)\sin x\cos x\backslash sin\; ^\{2\}\; x\; \backslash cos\; ^\{2\}\; x\backslash left[Q\_\{1\}(\backslash sin\; x)-Q\_\{1\}(\backslash cos\; x)\backslash right]=a(\backslash sin\; x-\backslash cos\; x)\; \backslash sin\; x\; \backslash cos\; x$$

Бидејќи равенството (2) важи за секој $x \in \mathbb{R}$, а функциите $\sin x, \cos x$ и $Q_{1}(t)$ се непрекинати, добиваме дека и равенството

$$\sin x\cos x[Q_1(\sin x)-Q_1(\cos x)]=a(\sin x-\cos x)\backslash sin\; x\; \backslash cos\; x\backslash left[Q\_\{1\}(\backslash sin\; x)-Q\_\{1\}(\backslash cos\; x)\backslash right]=a(\backslash sin\; x-\backslash cos\; x)$$

важи за секој $x \in \mathbb{R}$. Од (3) за $x=0$ добиваме $a=0$, па како $a+c=0$ имаме $c=0$. Според тоа,

$$P(t)=(t^4-t^2)Q_1(t)+dP(t)=\backslash left(t^\{4\}-t^\{2\}\backslash right)\; Q\_\{1\}(t)+d$$

и од (3) следува дека за секој $x \in \mathbb{R}$ важи $Q_{1}(\sin x)=Q_{1}(\cos x)$. Сега тврдењето на задачата лесно се докажува со индукција по степените на полиномот $P$.

3. Во триаголникот $A B C$ симетралите на аглите $\alpha, \beta, \gamma$ ја сечат опишаната кружница редоследно во точќките $P, Q, R$. Докажи дека важи:

$$AP+BQ+CR>AB+BC+CAA\; P+B\; Q+C\; R>A\; B+B\; C+C\; A$$

Решение. Од синусната теорема следува

каде $r$ е радиусот на опишаната кружница околу триаголникот $A B C$, цртеж десно. Понатаму,

$$\mathrm{\measuredangle }ABP=\mathrm{\measuredangle }ABC+\mathrm{\measuredangle }CBP=\beta +\mathrm{\measuredangle }CAP=\beta +\frac{\alpha }{2}\backslash measuredangle\; A\; B\; P=\backslash measuredangle\; A\; B\; C+\backslash measuredangle\; C\; B\; P=\backslash beta+\backslash measuredangle\; C\; A\; P=\backslash beta+\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}$$

па затоа

$$AP=2r\sin (\beta +\frac{\alpha }{2})A\; P=2\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash beta+\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)$$

Аналогно добиваме

$$BQ=2r\sin (\gamma +\frac{\beta }{2})\text{ и }CR=2r\sin (\alpha +\frac{\gamma }{2})B\; Q=2\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash gamma+\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; C\; R=2\; r\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash alpha+\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}\backslash right)$$

Понатаму, $\beta+\gamma<\pi$, па затоа

Аналогно докажуваме

Ако ги собереме последните три неравенстват, добиваме

што и требаше да се докаже.

4. Дадена е квадратна табела $n \times n$ во која се запишани цели броеви така што разликата на произволни два соседни броја од оваа табела не е поголема од 1 (два броја се соседни ако се запишани во квадратчиња кои имаат заедничка страна). Докажи дека постои број кој во табелата се појавува најмалку $n$ пати.

Решение. Нека $m_{i}$ и $M_{i}$ се соодветно најмалиот и најголемиот број во $i$-тата колона и нека

Ќе разгледаме два случаја. a) $m \leq M$. Тогаш секоја колона го содржи секој од броевите $m, m+1, \ldots, M$.

б) $m>M$. Нека $m_{i}=m$ и $M_{j}=M$, каде $i \neq j, i, j \in{1,2, \ldots, n}$. Понатаму, нека $k$ е произволен број од множеството ${1,2, \ldots, n}$, а $a_{k i}$ и $a_{k j}$ се броевите кои се наоѓаат во пресеците на $k$-тата редица соодветно со $i$-тата и $j$-тата колона. Тогаш

$$a_{ki}\ge m_i=m>M=M_j\ge a_{kj}a\_\{k\; i\}\; \backslash geq\; m\_\{i\}=m>M=M\_\{j\}\; \backslash geq\; a\_\{k\; j\}$$

Според тоа, во $k$-тата редица меѓу броевите $a_{k i}$ и $a_{k j}$ се наоѓа бројот $M+1$, т.е. тој број е содржан во секоја редица.

Мала олимпијада

1. Нека $S={1,2, \ldots, n}$. На секој елемент $i \in S$ му придружуваме непразно множество $S_{i} \subset S$ така што важи:

а) за произволни броеви $i, j \in S$ важи: $j \in S_{i} \Rightarrow i \in S_{j}$,

б) за произволни различни броеви $i, j \in S$ важи:

$$\mid S_i\mid =\mid S_j\mid \Rightarrow S_i\cap S_j=\mathrm{\varnothing }\backslash left|S\_\{i\}\backslash right|=\backslash left|S\_\{j\}\backslash right|\; \backslash Rightarrow\; S\_\{i\}\; \backslash cap\; S\_\{j\}=\backslash varnothing$$

Докажи дека постои број $k \in S$ таков што $\left|S_{k}\right|=1$.

Решение. Нека $k=\max \left{\left|S_{1}\right|,\left|S_{2}\right|, \ldots,\left|S_{n}\right|\right}$ и нека, на пример, $\left|S_{1}\right|=k$. Ако $S_{1}=\left{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right}$, тогаш од условот а) следува

$$1\in S_{a_1}\cap S_{a_2}\cap \dots \cap S_{a_k}1\; \backslash in\; S\_\{a\_\{1\}\}\; \backslash cap\; S\_\{a\_\{2\}\}\; \backslash cap\; \backslash ldots\; \backslash cap\; S\_\{a\_\{k\}\}$$

а од условот б) следува дека броевите $\left|S_{a_{1}}\right|,\left|S_{a_{2}}\right|, \ldots,\left|S_{a_{k}}\right|$ се различни меѓу себе. Бидејќи овие броеви припаѓаат на множеството ${1,2, \ldots, k}$, следува дека еден од нив е еднаков на 1 .

2. Нека $A B C D$ е паралелограм и $E$ е точка таква што $A E \perp A B$ и $B C \perp E C$. Докажи дека

$$\mathrm{\measuredangle }AED=\mathrm{\measuredangle }BEC\text{ или }\mathrm{\measuredangle }AED+\mathrm{\measuredangle }BEC={180}^{\circ }\text{. }\backslash measuredangle\; A\; E\; D=\backslash measuredangle\; B\; E\; C\; \backslash text\; \{\; или\; \}\; \backslash measuredangle\; A\; E\; D+\backslash measuredangle\; B\; E\; C=180^\{\backslash circ\}\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Решение. Нека $F$ е точка, таква што четириаголникот $A B F E$ е правоаголник. Ќе ги разгледаме следниве случаи: a) $\measuredangle B A D \leq 90^{\circ}$, цртеж а),

б) $\Varangle B A D>90^{\circ}$, точката $E$ е внатре во паралелограмот $A B C D$, цртеж б),

в) $\Varangle B A D>90^{\circ}$, точката $E$ е надвор од паралелограмот $A B C D$, цртеж в).

a)

б)

в)

Во секој од овие случаи важи $\measuredangle E A D=\measuredangle F B C$ (агли со паралелни краци) и $A E=B F, A D=B C$. Затоа $\triangle A D E \cong \triangle B C F$, па следува $\angle A E D=\measuredangle B F C$. Бидејќи $\measuredangle B C E=\measuredangle B F E=90^{\circ}$, точките $B, C, E, F$ припаѓаат на кружницата со дијаметар $B E$. Во случаите а) и в) $\measuredangle B E C$ и $\measuredangle B F C$ се перифериски агли над ист лак, па затоа тие се еднакви, а во случајот б) овие агли се перифериски агли над комплементарни лаци, па затоа нивниот збир е еднаков на $180^{\circ}$. Затоа во случаите а) и в) важи

$$\mathrm{\measuredangle }BEC=\mathrm{\measuredangle }BFC=\mathrm{\measuredangle }AED\backslash measuredangle\; B\; E\; C=\backslash measuredangle\; B\; F\; C=\backslash measuredangle\; A\; E\; D$$

а во случајот б) важи

$$\mathrm{\measuredangle }AED+\mathrm{\measuredangle }BEC=\mathrm{\measuredangle }BFC+\mathrm{\measuredangle }BEC={180}^{\circ }\backslash measuredangle\; A\; E\; D+\backslash measuredangle\; B\; E\; C=\backslash measuredangle\; B\; F\; C+\backslash measuredangle\; B\; E\; C=180^\{\backslash circ\}$$

3. Докажи дека за секои позитивни реални броеви $a, b, c, d$ важи:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2\backslash frac\{a\}\{b+c\}+\backslash frac\{b\}\{c+d\}+\backslash frac\{c\}\{d+a\}+\backslash frac\{d\}\{a+b\}\; \backslash geq\; 2$$

Решение. Од очигледното неравенство

$$(a-c{)}^2+(b-d{)}^2\ge 0(a-c)^\{2\}+(b-d)^\{2\}\; \backslash geq\; 0$$

со елементарни трансформации го добиваме еквивалентното неравенство

$$2(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ad+bc+cd)\ge (a+b+c+d{)}^{2}2\backslash left(a^\{2\}+b^\{2\}+c^\{2\}+d^\{2\}+a\; b+a\; d+b\; c+c\; d\backslash right)\; \backslash geq(a+b+c+d)^\{2\}$$

Понатаму, од неравенството меѓу аритметичката и геометриската средина следува дека за позитивни реални броеви $x$ и $y$ важи $\frac{1}{x y} \geq\left(\frac{2}{x+y}\right)^{2}$. Добиваме,

Равенство важи ако и само ако е $a=c$ и $b=d$.