MatematickiTalent/md/mk-secondary-federal/mk-Nxq0E4zWhkq8ZZjnx0ULzw.md

Сојузен натпревар 1971

II година

1. Нека $A D, B E, C F$ се тежишните линии, а $T$ е тежиштето на триаголникот $A B C$. Ако се $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \rho_{4}, \rho_{5}, \rho_{6}$ и $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}, r_{6}$ се редоследно радиусите на впишаните и опишаните кружници за триаголниците $B D T, D C T, C E T, E A T, A F T$, $A B T$ докажи дека важат равенствата

$$\frac{1}{{\rho }_1}+\frac{1}{{\rho }_3}+\frac{1}{{\rho }_5}=\frac{1}{{\rho }_2}+\frac{1}{{\rho }_4}+\frac{1}{{\rho }_6}\text{ и }{r}_1{r}_3{r}_5=r_2{r}_4{r}_6\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{1\}\}+\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{3\}\}+\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{5\}\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{2\}\}+\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{4\}\}+\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\_\{6\}\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; r\_\{1\}\; r\_\{3\}\; r\_\{5\}=r\_\{2\}\; r\_\{4\}\; r\_\{6\}$$

Решение. Ќе го користиме следново тврдење: Ако $a, b, c$ се страни на триаголник, а $P, r$ и $\rho$ се соодветно неговата плоштина, радиус на опишана и радиус на впишана кружница, тогаш $P=\frac{a+b+c}{2} \rho=\frac{a b c}{4 r}$.

Нека плоштината на триаголникот $A B C D$ е еднаква на $6 x$. Тогаш секој од триаголниците $B D T, D C T, C E T, E A T, A F T, A B T$ има плоштина еднаква на $x$ (цртеж десно). Користејќи ги наведените формули добиваме:

2. Над страните на паралелограмот $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ од надворешната страна се конструирани квадрати $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}, A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}, A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}, A_{4} B_{4} C_{4} A_{1}$. Докажи дека средините $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ на овие квадрати се темиња на квадрат чија плоштина е еднаква на збирот на четвртините на плоштините на конструираните квадрати зголемен за плоштината на дадениот паралелограм.

Решение. Нека, на пример, $\measuredangle A_{2} A_{1} A_{4} \leq \frac{\pi}{2}$ (цртеж десно). Триаголниците

$${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2{\mathrm{A}}_2,{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_4{\mathrm{A}}_1,{\mathrm{O}}_3{\mathrm{O}}_2{\mathrm{A}}_3,{\mathrm{O}}_3{\mathrm{O}}_4{\mathrm{A}}_4\backslash mathrm\{O\}\_\{1\}\; \backslash mathrm\{O\}\_\{2\}\; \backslash mathrm\{~A\}\_\{2\},\; \backslash mathrm\{O\}\_\{1\}\; \backslash mathrm\{O\}\_\{4\}\; \backslash mathrm\{~A\}\_\{1\},\; \backslash mathrm\{O\}\_\{3\}\; \backslash mathrm\{O\}\_\{2\}\; \backslash mathrm\{~A\}\_\{3\},\; \backslash mathrm\{O\}\_\{3\}\; \backslash mathrm\{O\}\_\{4\}\; \backslash mathrm\{~A\}\_\{4\}$$

се складни, бидејќи

Затоа $\mathrm{O}{1} \mathrm{O}{2}=\mathrm{O}{2} \mathrm{O}{3}=\mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}=\mathrm{O}{4} \mathrm{O}{1}$ и $\Varangle \mathrm{O}{1} \mathrm{O}{2} \mathrm{~A}{2}=\Varangle \mathrm{O}{3} \mathrm{O}{2} A{3}$, па понатаму следува

$$\mathrm{\measuredangle }{O}_1{O}_2{O}_3=\mathrm{\measuredangle }{O}_1{O}_2{A}_2+\mathrm{\measuredangle }{\mathrm{A}}_2{O}_2{O}_3=\mathrm{\measuredangle }{O}_3{O}_2{A}_3+\mathrm{\measuredangle }{\mathrm{A}}_2{O}_2{O}_3=\mathrm{\measuredangle }{\mathrm{A}}_2{O}_2{A}_3=\frac{\pi }{2}\backslash measuredangle\; O\_\{1\}\; O\_\{2\}\; O\_\{3\}=\backslash measuredangle\; O\_\{1\}\; O\_\{2\}\; A\_\{2\}+\backslash measuredangle\; \backslash mathrm\{A\}\_\{2\}\; O\_\{2\}\; O\_\{3\}=\backslash measuredangle\; O\_\{3\}\; O\_\{2\}\; A\_\{3\}+\backslash measuredangle\; \backslash mathrm\{A\}\_\{2\}\; O\_\{2\}\; O\_\{3\}=\backslash measuredangle\; \backslash mathrm\{A\}\_\{2\}\; O\_\{2\}\; A\_\{3\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$$

Слично се докажува дека и останатите агли на четириаголникот $\mathrm{O}{1} \mathrm{O}{2} \mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}$ се прави, па како сите страни му се еднакви, овој четириаголник е квадрат. Понатаму, важи

3. Определи ги природните броеви $p$ и $q$ така што нулите на триномите

$$x^2-px+q\text{ и }{x}^2-qx+px^\{2\}-p\; x+q\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; x^\{2\}-q\; x+p$$

исто така ќе бидат природни броеви.

Решение. Нека се $x_{1}, x_{2}$ решенија на равенката $x^{2}-p x+q=0$, а $y_{1}, y_{2}$ на равенката $x^{2}-q x+p=0$, такви што $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{N}$. Тогаш

$$x_1+x_2=p,x_1{x}_2=q,y_1+y_2=q,y_1{y}_2=px\_\{1\}+x\_\{2\}=p,\; x\_\{1\}\; x\_\{2\}=q,\; y\_\{1\}+y\_\{2\}=q,\; y\_\{1\}\; y\_\{2\}=p$$

a) Нека еден од броевите $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ е еднаков на 1 , на пример $x_{1}=1$. Тогаш $1+x_{2}=p, x_{2}=q$, па следува

$$y_1+y_2-y_1{y}_2=q-p=-1,\text{,.e. }(y_1-1)(y_2-)=2y\_\{1\}+y\_\{2\}-y\_\{1\}\; y\_\{2\}=q-p=-1,\; \backslash text\; \{,.e.\; \}\backslash left(y\_\{1\}-1\backslash right)\backslash left(y\_\{2\}-\backslash right)=2$$

Понатаму, лесно се добива дека $\left{y_{1}, y_{2}\right}={2,3}$, т.е. $q=5, p=6, x_{2}=5$.

Лесно се проверува дека за $p=6, q=5$ паровите $(1,5)$ и $(5,1)$ се репенија на равенката $x^{2}-6 x+5=0$, а паровите $(2,3)$ и $(3,2)$ на равенката $x^{2}-5 x+6=0$. Сличен резултат добиваме за $p=5, q=6$.

б) Нека $x_{1} \geq 2, x_{2} \geq 2, y_{1} \geq 2, y_{2} \geq 2$. Тогаш

$$p=x_1+x_2\le x_1{x}_2=q=y_1+y_2\le y_1{y}_2=pp=x\_\{1\}+x\_\{2\}\; \backslash leq\; x\_\{1\}\; x\_\{2\}=q=y\_\{1\}+y\_\{2\}\; \backslash leq\; y\_\{1\}\; y\_\{2\}=p$$

од каде добиваме $p=q=x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2}=y_{1}+y_{2}=y_{1} y_{2}$. Нека, на пример $x_{1} \leq x_{2}$. Тогаш од $x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2} \geq 2 x_{2}$ следува $x_{1} \geq x_{2}$. Значи, $x_{1}=x_{2}$, па затоа $2 x_{1}=x_{1}^{2}$, т.е. $x_{1}=x_{2}=2$. Спопред тоа, $p=q=x_{1}+x_{2}=4$. Парот $(2,2)$ навиостина е решение на равебката $x^{2}-4 x+4=0$.

Конечно, паровите $(p, q)$ се $(5,6),(6,5),(4,4)$.

4. Скретниците $A, B$ и обиколницата $C$ се поврзани со железнички пруги $A C, B C$ и со пругата $A B$ со доволно долги продолжетоци $A D$ и $B E$. На пругата $A C$ се наоѓа вагон $V_{1}$, на пругата $B C$ вагон $V_{2}$, а на пругата $A B$ локомотива $L$. На обиколницата може да дојде секој од двата вагони, но не и локомотивата. Служејќи се со обиколницата и скретниците со помош на локомотивата префрли го вагонот $V_{1}$ на местото на вагонот $V_{2}$, а вагонот $V_{2}$ на местото на вагонот $V_{1}$, така што на крајот локомотивата пак ќе биде на своето место.

Решение. Еден начин на преместување на вагоните и враќање на локомотивата на своето место е прикажан на долните цртежи.

III година

1. Нека $a, b, p, q, r, s$ се природни броеви такви што

Докажи дека $b \geq q+s$.

Решение. Од условот $\frac{p}{q}<\frac{a}{b}<\frac{r}{s}$ следува $a q-b p>0, b r-a s>0$ и $q r-p s>0$, а како $a q-b p, b r-a s, q r-p s$ се цели броеви, добиваме

$$aq-bp\ge 1,br-as\ge 1a\; q-b\; p\; \backslash geq\; 1,\; b\; r-a\; s\; \backslash geq\; 1$$

Понатаму,

$$b(qr-ps)=q(br-as)+s(aq-bp)\ge q+sb(q\; r-p\; s)=q(b\; r-a\; s)+s(a\; q-b\; p)\; \backslash geq\; q+s$$

и како $q r-p s=1$, добиваме $b \geq q+s$.

2. Даден е триаголник $A B C$ и реален број $k$. Нека точките $P, Q, R$ се определени со релациите

$$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BQ}=k\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CR}=k\overrightarrow{CA}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{A\; P\}=k\; \backslash overrightarrow\{A\; B\},\; \backslash overrightarrow\{B\; Q\}=k\; \backslash overrightarrow\{B\; C\},\; \backslash overrightarrow\{C\; R\}=k\; \backslash overrightarrow\{C\; A\}\; .$$

Докажи дека

$$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=g(k)(P{Q}^2+Q{R}^2+R{S}^2)A\; B^\{2\}+B\; C^\{2\}+C\; A^\{2\}=g(k)\backslash left(P\; Q^\{2\}+Q\; R^\{2\}+R\; S^\{2\}\backslash right)$$

каде $g$ е некоја функција од $k$. Определи ја и испитај ја оваа функција.

Решение. Нека $A B=c, B C=a, C A=b$. Тогаш (цртеж десно):

Аналогно се добива

$Q R^{2}=(1-k)^{2} a^{2}+k^{2} b^{2}-k(1-k)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$, $R P^{2}=(1-k)^{2} b^{2}+k^{2} c^{2}-k(1-k)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$,

па патаму лесно следува

Според тоа,

$$g(k)=\frac{1}{3k^2-3k+1}=\frac{1}{(3{(k-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{4})}>0\text{, за секој }k\in \mathbb{R}g(k)=\backslash frac\{1\}\{3\; k^\{2\}-3\; k+1\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash left(3\backslash left(k-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)\}>0\; \backslash text\; \{,\; за\; секој\; \}\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$$

Понатаму, $\lim _{k \rightarrow \pm \infty} g(k)=0$,

$$g^{\mathrm{\prime }}(k)=\frac{3-6k}{{(3k^2-3k+1)}^2},g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(k)=\frac{-54k^2+54k-12}{{(3k^2-3k+1)}^3}\mathrm{.}g^\{\backslash prime\}(k)=\backslash frac\{3-6\; k\}\{\backslash left(3\; k^\{2\}-3\; k+1\backslash right)^\{2\}\},\; g^\{\backslash prime\; \backslash prime\}(k)=\backslash frac\{-54\; k^\{2\}+54\; k-12\}\{\backslash left(3\; k^\{2\}-3\; k+1\backslash right)^\{3\}\}\; .$$

Функцијата $g$ строго монотоно расте на интервалот ( $-\infty, \frac{1}{2}$ ), строго монотоно опаѓа на интервалот $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ и има максимум $g\left(\frac{1}{2}\right)=4$. Таа има превојни точки $\left(\frac{1}{3}, 3\right)$ и $\left(\frac{2}{3}, 3\right)$. Графикот на

функцијата е прикажан на цртежот десно.

3. Над страните на паралелограмот $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ кон внатрешната страна се конструирани квадрати $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}, A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}, A_{3} B_{3} C_{3} A_{4}, A_{4} B_{4} C_{4} A_{1}$. Докажи дека средините $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ на овие квадрати се темиња на квадрат чија плоштина е еднаква на збирот на четвртините на плоштините на конструираните квадрати намален за плоштината на дадениот паралелограм.

Решение. Нека $\measuredangle A_{2} A_{1} A_{4}=\varphi, A_{1} A_{2}=a, A_{1} A_{4}=b$. Воведуваме правоаголен координатен систем така што важи:

1. точката $A_{1}$ е координатен поочеток,
2. точката $A_{2}$ припаѓа на позитивниот дел од $x$-оската,
3. точките $A_{3}$ и $A_{4}$ имаат позитивни $y$-координати (вид цртеж).

Тогаш добиваме

Според тоа, аголот $\mathrm{O}{1} \mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}$ е прав. Аналогно се докажува дека и останатите агли на четириаголникот $\mathrm{O}{1} \mathrm{O}{2} \mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}$ се прави, а како $\mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}=\mathrm{O}{3} \mathrm{O}{4}$, заклучуваме дека $\mathrm{O}{1} \mathrm{O}{2} \mathrm{O}{3} \mathrm{O}_{4}$ е квадрат. Неговата плоштина е еднаква на

$$\frac{a^2}{2}-ab\sin \phi +\frac{b^2}{2}=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2)-ab\sin \phi \backslash frac\{a^\{2\}\}\{2\}-a\; b\; \backslash sin\; \backslash varphi+\backslash frac\{b^\{2\}\}\{2\}=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(2\; a^\{2\}+2\; b^\{2\}\backslash right)-a\; b\; \backslash sin\; \backslash varphi$$

4. Летвичката $A B$ на термометарот кој виси вертикално на sидот има должина $2 r$. Окото на набљудувачот се наоѓа на права $l$ која е нормална на рамнината на sидот и ја сече правата $A B$ во точка чие растојание од средината на отсечката $A B$ е еднакво на $h(h>r)$. На кое растојание од sидот треба да се наоѓа окото на набљудувачот за да аголот под кој набљудувачот ја гледа летвичката е најголем?

Решение. Нека $k$ е кружницата која ги содржи точките $A$ и $B$ и точка $C \in l$ и нека $O$ е центарот на таа кружница (цртеж десно). Од точката $C$ набљудувачот ја гледа отсечката $A B$ под агол $\Varangle B C A=\frac{1}{2} \measuredangle B O A$. Овој агол е најголем ако растојанието на точката $O$ (центар на кружницата која има заеднички точки со правата $l$ ) до правата $A B$ е најмало можно. Лесно се докажува дека тоа се постигнува ако $k$ ја допира правата $l$ и во тој случај растојанието од точката $C$ до правата $A B$ е

еднакво на $\sqrt{h^{2}-r^{2}}$ и тоа е бараното растојание.

IV година

1. Нека $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ се реални броеви поголеми од 1 , а $m$ е природен број. Докажи дека

$$\sum _{j=1}^n{\left({\log }_{a_1{a}_2\dots a_{j-1}{a}_{j+1}\dots a_n}{a}_j\right)}^{-m}\ge n(n-1{)}^m\backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}\backslash left(\backslash log\; \_\{a\_\{1\}\; a\_\{2\}\; \backslash ldots\; a\_\{j-1\}\; a\_\{j+1\}\; \backslash ldots\; a\_\{n\}\}\; a\_\{j\}\backslash right)^\{-m\}\; \backslash geq\; n(n-1)^\{m\}$$

Кога важи знак за равенство?

Решение. Нека $x_{j}=\log {a{j}}\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{j-1} a_{j+1} \ldots a_{n}\right), j \in{1,2, \ldots, n}$. Тогаш броевите $x_{i}, i=1,2, \ldots, n$ се позитивни, па од неравенството меѓу срединита од ред $m$ и аритметичката средина и својствата на логаритмите добиваме

Во претпоследното неравенство го користевме неравенството

$${\log }_{a_j}{a}_i+{\log }_{a_i}{a}_j={\log }_{a_j}{a}_i+\frac{1}{{\log }_{a_j}{a}_i}\ge 2\backslash log\; \_\{a\_\{j\}\}\; a\_\{i\}+\backslash log\; \_\{a\_\{i\}\}\; a\_\{j\}=\backslash log\; \_\{a\_\{j\}\}\; a\_\{i\}+\backslash frac\{1\}\{\backslash log\; \_\{a\_\{j\}\}\; a\_\{i\}\}\; \backslash geq\; 2$$

Знак за равенство важи ако и само ако $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$.

2. Нека $n$ е природен број. Колку решенија има равенката

$$\frac{x}{\sin x}=\frac{n\pi }{2}?\backslash frac\{x\}\{\backslash sin\; x\}=\backslash frac\{n\; \backslash pi\}\{2\}\; ?$$

Решение. Нека $b_{n}$ е бројот на пресечните точки на правата $f(x)=\frac{2 x}{n \pi}$ и синусоидата $g(x) \sin x$ за кои $x>0$. Да забележиме дека ако $f(a)=g(a)$, тогаш $a=\frac{n \pi}{2} \sin a \leq \frac{n \pi}{2}$, т.е. позитивните нули на функцијата $f(x)-g(x)$ припашаат на интервалот $I_{n}=\left(0, \frac{n \pi}{2}\right]$.

a) Нека $n=4 k$. Тогаш $I_{n}=(0,2 k \pi]$. Ќe докажеме дека интервалот $(0,2 \pi]$ содржи една нула на функцијата $f(x)-g(x)$, а секој интервал $(2(j-1) \pi, 2 j \pi]$, каде $j \in$ ${2,3, \ldots, k}$ содржи две нули на функцијата

(цртеж десно). За $j=1$ тоа лесно се проверува за интервалот ( $0,2 \pi]$. За $k>1$ и $j \in{2,3, \ldots, k}$ добиваме

Од непрекинатоста на фунцкијата $h$, конвексноста на синусот на интервалот

$$(2(j-1)\pi ,2(j-1)\pi +\pi ],j\in \{2,3,\dots ,k\}(2(j-1)\; \backslash pi,\; 2(j-1)\; \backslash pi+\backslash pi],\; \backslash quad\; j\; \backslash in\backslash \{2,3,\; \backslash ldots,\; k\backslash \}$$

и негативноста на синусот на интервалите $(\pi, 2 \pi),(3 \pi, 4 \pi), \ldots,((2 k-1) \pi, 2 k \pi)$ следува наведеното тврдење. Според тоа, $b_{4 k} 2(k-1)+1=2 k-1$.

б) Нека $n=4 k+1$. Тогаш $I=\left(0,\left(2 k+\frac{1}{2}\right) \pi\right]$. Интервалот $(0,2 k \pi)$ содржи точно $2 k-1$ нула на функцијата $h(x)$, а интервалот ( $\left.2 k \pi,\left(2 k+\frac{1}{2}\right) \pi\right]$ уште две нули на оваа функција, при што десниот крај на интервалот, т.е. бројот $\left(2 k+\frac{1}{2}\right) \pi$ е една од тие нули. Затоа $b_{4 k+1}=2 k+1$.

в) Нека $n=4 k+2$. Тогаш $I_{n}=(0,(2 k+1) \pi]$ и $b_{4 k+2}=b_{4 k+1}=2 k+1$, бидејќи интервалот $(0,2 k \pi]$ содржи $2 k-1$ нули на функцијата $h(x)$, а интервалот $(2 k \pi,(2 k+1) \pi]$ содржи две нули на оваа функција, што што првата и втората половина на овој интервал содржат по една нула.

г) Нека $n=4 k+3$. Тогаш $I_{n}=\left(0,\left(2 k+\frac{3}{2}\right) \pi\right]$ и $b_{4 k+3}=b_{4 k+1}=2 k+1$, бидејќи интервалот $\left(0,\left(2 k+\frac{3}{2}\right) \pi\right]$ содржи точно две нули на функцијата $h(x)$.

Според тоа, за секој $n$ важи $b_{n}=2\left[\frac{n-1}{4}\right]+1$. Конечно, ако ги земеме предвид и негативните нули на функцијата $h(x)$ добиваме дека батраниот број е $4\left[\frac{n-1}{4}\right]+2$.

3. Во рамнината се дадени точките $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ така што никои три од нив не се колинеарни. Нека $p_{i j}$ е правата определена со точките $A_{i}$ и $A_{j}$. Определи го максималниот број пресечни точки на правите $p_{i j}$ и $p_{k l}$, при што $i, j, k, l$ се различни елементи од множеството ${1,2, \ldots, n}$.

Решение. Ќе го определиме бројот на пресечните точки кои се разликуваат од точките $A_{1}, A_{2}$, $\ldots, A_{n}$. Секоја 4-комбинација $\left{A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{i}\right}$ елементи на множеството $\left{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\right}$ определува најмногу три нови пресечни точки (цртеж десно). Бидејќи бројот на 4-комбинации на елементите на ова множество е $\binom{n}{4}$, добиваме дека бројот на пре-

сечните точки кои се разликуваат од точките $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ е најмногу $3\binom{n}{4}$.

4. Дадени се функциите

$$f_n(x)=\frac{1-\cos x\cos 2x\dots \cos nx}{x^2},n\in \mathbb{N}f\_\{n\}(x)=\backslash frac\{1-\backslash cos\; x\; \backslash cos\; 2\; x\; \backslash ldots\; \backslash cos\; n\; x\}\{x^\{2\}\},\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$$

a) Докажи дека за секој $n \in \mathbb{N}$ постои $\lim {x \rightarrow 0} f{n}(x)=f_{n}$.

б) Определи ја врската меѓу $f_{n}$ и $f_{n-1}$.

в) Пресметај го $f_{n}$.

Решение. а) Да забележиме дека $f_{1}(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2}$ и дека за $n>1$ важи

Според тоа,

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{f}_1(x)=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}\text{ и }}\\ {\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{f}_n(x)=\frac{n^2}{2}\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin \frac{nx}{2}}{\frac{nx}{2}}\right)}^2+\underset{x\to 0}{\lim }{f}_{n-1}(x)\cos nx=\frac{n^2}{2}+\underset{x\to 0}{\lim }{f}_{n-1}(x),}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; \backslash lim\; \_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; f\_\{1\}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash frac\{x\}\{2\}\}\{\backslash frac\{x\}\{2\}\}\backslash right)^\{2\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash \backslash \; \backslash lim\; \_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; f\_\{n\}(x)=\backslash frac\{n^\{2\}\}\{2\}\; \backslash lim\; \_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash frac\{n\; x\}\{2\}\}\{\backslash frac\{n\; x\}\{2\}\}\backslash right)^\{2\}+\backslash lim\; \_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; f\_\{n-1\}(x)\; \backslash cos\; n\; x=\backslash frac\{n^\{2\}\}\{2\}+\backslash lim\; \_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; f\_\{n-1\}(x),\; \backslash end\{gathered\}$$

па од принципот на математичка индукција следува дека за секој $n \in \mathbb{N}$ постои $\lim {x \rightarrow 0} f{n}(x)=f_{n}$.

b) Од решението под а) следува дека $f_{n}=\frac{n^{2}}{2}+f_{n-1}$, за $n>1$.

c) Ако ги собереме равенствата

$$f_k=\frac{k^2}{2}+f_{k-1},\text{ за }k=2,3,4,\dots ,nf\_\{k\}=\backslash frac\{k^\{2\}\}\{2\}+f\_\{k-1\},\; \backslash text\; \{\; за\; \}\; k=2,3,4,\; \backslash ldots,\; n$$

добиваме

$$f_n=f_1+\frac{1}{2}(2^2+3^2+\dots +n^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}f\_\{n\}=f\_\{1\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(2^\{2\}+3^\{2\}+\backslash ldots+n^\{2\}\backslash right)=\backslash frac\{n(n+1)(2\; n+1)\}\{12\}$$