MatematickiTalent/md/mk-secondary-federal/mk-_Sn3w0qbLE2FGfx8cqVMnA.md

Сојузен натпревар 1965

III година

1. Реши ја равенката

$$x^3-(m^2+3)x^2+(m^2+3)x+m^4-1=0x^\{3\}-\backslash left(m^\{2\}+3\backslash right)\; x^\{2\}+\backslash left(m^\{2\}+3\backslash right)\; x+m^\{4\}-1=0$$

по непозната $x$ раставувајќи го на множители полиномот $P(m)$ на левата страна на оваа равенка.

Решение. Имаме

$$P(m)=m^4-(x^2-x)m^2+(x-1{)}^2=(m^2-x+1)(m^2-(x-1{)}^2)P(m)=m^\{4\}-\backslash left(x^\{2\}-x\backslash right)\; m^\{2\}+(x-1)^\{2\}=\backslash left(m^\{2\}-x+1\backslash right)\backslash left(m^\{2\}-(x-1)^\{2\}\backslash right)$$

Решенијата на дадената равенка се:

$$x_1=m^2+1,x_2=m+1,x_3=-m+1x\_\{1\}=m^\{2\}+1,\; \backslash quad\; x\_\{2\}=m+1,\; \backslash quad\; x\_\{3\}=-m+1$$

2. Определи ги рабовите на квадарот, ако е познат нивниот збир $s$ и неговата дијагонала $d$, а едниот раб е геометриска средина на другите два раба.

Решение. Нека $a, b, c$ се рабовите на квадарот и нека $c=\sqrt{a b}$. Според условот на задачата

$$a+b+\sqrt{ab}=s,a^2+b^2+ab=d^{2}a+b+\backslash sqrt\{a\; b\}=s,\; a^\{2\}+b^\{2\}+a\; b=d^\{2\}$$

од каде добиваме

$$(s-\sqrt{ab}{)}^2=d^2+ab\text{ и }\sqrt{ab}=\frac{s^2-d^2}{2s},(s-\backslash sqrt\{a\; b\})^\{2\}=d^\{2\}+a\; b\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; \backslash sqrt\{a\; b\}=\backslash frac\{s^\{2\}-d^\{2\}\}\{2\; s\},$$

при што мора да важи $s>d$. Понатаму, лесно се добива

$$ab={\left(\frac{s^2-d^2}{2s}\right)}^2,a+b=\frac{s^2+d^2}{2s}a\; b=\backslash left(\backslash frac\{s^\{2\}-d^\{2\}\}\{2\; s\}\backslash right)^\{2\},\; \backslash quad\; a+b=\backslash frac\{s^\{2\}+d^\{2\}\}\{2\; s\}$$

Значи, $a$ и $b$ се решенија на квадратната равенка

$$t^2-\frac{s^2+d^2}{2s}t+{\left(\frac{s^2-d^2}{2s}\right)}^2=0t^\{2\}-\backslash frac\{s^\{2\}+d^\{2\}\}\{2\; s\}\; t+\backslash left(\backslash frac\{s^\{2\}-d^\{2\}\}\{2\; s\}\backslash right)^\{2\}=0$$

по непозната $t$. Оваа равенка има решенија ако и само ако

$${\left(\frac{s^2+d^2}{2s}\right)}^2-4{\left(\frac{s^2-d^2}{2s}\right)}^2\ge 0\backslash left(\backslash frac\{s^\{2\}+d^\{2\}\}\{2\; s\}\backslash right)^\{2\}-4\backslash left(\backslash frac\{s^\{2\}-d^\{2\}\}\{2\; s\}\backslash right)^\{2\}\; \backslash geq\; 0$$

т.е. ако и само ако $3 d^{2} \geq s^{2}$. Конечно, при условот $d<s \leq d \sqrt{3}$ ги добиваме бараните броеви

$$\frac{s^2+d^2+\sqrt{(3d^2-s^2)(3s^2-d^2)}}{4s},\frac{s^2+d^2-\sqrt{(3d^2-s^2)(3s^2-d^2)}}{4s},\frac{s^2-d^2}{2s}\backslash frac\{s^\{2\}+d^\{2\}+\backslash sqrt\{\backslash left(3\; d^\{2\}-s^\{2\}\backslash right)\backslash left(3\; s^\{2\}-d^\{2\}\backslash right)\}\}\{4\; s\},\; \backslash frac\{s^\{2\}+d^\{2\}-\backslash sqrt\{\backslash left(3\; d^\{2\}-s^\{2\}\backslash right)\backslash left(3\; s^\{2\}-d^\{2\}\backslash right)\}\}\{4\; s\},\; \backslash frac\{s^\{2\}-d^\{2\}\}\{2\; s\}$$

3. Определи ги сите реални решенија $x(0<x<2 \pi)$ на неравенката

$$\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}>1\backslash frac\{\backslash sin\; x+\backslash sin\; 3\; x+\backslash sin\; 5\; x\}\{\backslash cos\; x+\backslash cos\; 3\; x+\backslash cos\; 5\; x\}>1$$

Решение. Имаме:

$$\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}=\frac{\sin 3x(1+2\cos x)}{\cos 3x(1+2\cos x)}\backslash frac\{\backslash sin\; x+\backslash sin\; 3\; x+\backslash sin\; 5\; x\}\{\backslash cos\; x+\backslash cos\; 3\; x+\backslash cos\; 5\; x\}=\backslash frac\{\backslash sin\; 3\; x(1+2\; \backslash cos\; x)\}\{\backslash cos\; 3\; x(1+2\; \backslash cos\; x)\}$$

Според тоа, треба да ги определиме сите реални броеви $x$ за кои важи

Множеството од сите такви броеви е еднакво на

$$\bigcup _{k=0}^5(\frac{(4k+1)\pi }{12},\frac{(4k+2)\pi }{12})\backslash bigcup\_\{k=0\}^\{5\}\backslash left(\backslash frac\{(4\; k+1)\; \backslash pi\}\{12\},\; \backslash frac\{(4\; k+2)\; \backslash pi\}\{12\}\backslash right)$$

4. Во паралелопипед чии sидови се складни ромбови со агол од $60^{\circ}$ дадена е најголемата дијагонала $d$. Определи ги дијагоналите на ова тело.

Решение. Нека $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ е дадениот паралелопипед и нека

$$\mathrm{\measuredangle }BAD=\mathrm{\measuredangle }DA{A}_1=\mathrm{\measuredangle }{A}_{1}AB={60}^{\circ }\backslash measuredangle\; B\; A\; D=\backslash measuredangle\; D\; A\; A\_\{1\}=\backslash measuredangle\; A\_\{1\}\; A\; B=60^\{\backslash circ\}$$

Воведуваме правоаголен координатен систем таков што важи:

1. координатниот почеток $O$ се соваѓа со точката $A$,
2. точката B припаѓа на позитивниот дел на $x$ - оската,

3. точката $D$ припаѓа на $x O y$ рамнината и има позитивна $y$ - координата,
4. точката $A_{1}$ има позитивна $z$ - координата (цртеж десно).

Нека $a=A B$. Тогаш $A B D$ е рамностран триаголник со висина $\frac{a \sqrt{3}}{2}$, а $A B D A_{1}$ е правилен тетраедар со висина $\frac{a \sqrt{6}}{3}$. Сега лесно се добива дека координатите на сите темиња на паралелопипедот се:

Понтаму,

$$d^2=A{C}_1^2=(2a{)}^2+{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)}^2=6a^{2}d^\{2\}=A\; C\_\{1\}^\{2\}=(2\; a)^\{2\}+\backslash left(\backslash frac\{2\; a\; \backslash sqrt\{3\}\}\{3\}\backslash right)^\{2\}+\backslash left(\backslash frac\{a\; \backslash sqrt\{6\}\}\{3\}\backslash right)^\{2\}=6\; a^\{2\}$$

од каде добиваме $a=\frac{d}{\sqrt{6}}$. Понатаму, лесно се добива дека должините на дијагоналите на паралелопипедот се

$$B{D}_1=D{B}_1=C{A}_1=\frac{d}{\sqrt{6}}B\; D\_\{1\}=D\; B\_\{1\}=C\; A\_\{1\}=\backslash frac\{d\}\{\backslash sqrt\{6\}\}$$

IV година

1. Определи го збирот на сите броеви во табелата

Решение. Бараниот збир е еднаков на:

$$\sum _{j=1}^k\sum _{i=j}^{j+k-1}i=\sum _{j=1}^k\frac{k}{2}(2j+k-1)=\frac{k^2(k-1)}{2}+k\sum _{j=1}^{k}j=\frac{k^2(k-1)}{2}+k\frac{k(k+1)}{2}=k^3\backslash sum\_\{j=1\}^\{k\}\; \backslash sum\_\{i=j\}^\{j+k-1\}\; i=\backslash sum\_\{j=1\}^\{k\}\; \backslash frac\{k\}\{2\}(2\; j+k-1)=\backslash frac\{k^\{2\}(k-1)\}\{2\}+k\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{k\}\; j=\backslash frac\{k^\{2\}(k-1)\}\{2\}+k\; \backslash frac\{k(k+1)\}\{2\}=k^\{3\}$$

2. Дадена е функцијата $y=x^{3}+p x+q$.

a) Ако $M$ е локален максимум, а $m$ е локален минимум на дадената функција, докажи дека

$$Mm=q^2+\frac{4}{27}{p}^{3}M\; m=q^\{2\}+\backslash frac\{4\}\{27\}\; p^\{3\}$$

б) Определи ги $p$ и $q$, така што $M-m=4$ и -2 е нула на функцијата. Испитај го текот на добиената функција.

Решение. а) Бидејќи $y^{\prime}=3 x^{2}+p$, лесно се добива дека дадената функција има локални екстреми во точките $x_{1}=-\sqrt{-\frac{p}{3}}, x_{2}=\sqrt{-\frac{p}{3}}$, ако $p<0$. Затоа

б) Системот равенки

има точно едно решение: $p=-, q=2$.

Графикот на функцијата $y=x^{3}-3 x+2$ е прикажан

на цртежот десно.

3. Даден е конвексен петаголник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ и точки $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}$, такви што секоја страна на петаголникот содржи точно една од овие точки. Конструирани се сите прави определени со темињата на петаголниот и точките $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$, $B_{5}$. Ако се знае дека (не сметајќи ги точките $A_{i}$ и $B_{j}$ ) никои три од овие прави не се сечат во една точка и никои две не се паралелни, определи го бројот на сите точки во кои се сечат по две од овие прави.

Решение. Конструирани се вкупно 35 прави (10 определени со точките $A_{i}$, десет определени со точките $B_{i}$ и уште 15 прави кои ги поврзуваат точките $B_{i}$ со темињата на петаголникот). Секоја од точките $A_{i}$ содржи точно 7 од овие прави, а секоја од точките $B_{i}$ содржи точно 8 од овие прави. Бројот на точките во кои се сечат точно две од конструираните прави е еднаков на

4. На рабовите на триедарот со врв $S$, кај кој сите агли меѓу рабовите се еднакви, дадени се отсечки $S A=S B=S C=l$. Определи го аголот меѓу рабовите така што волуменот на тераедарот $S A B C$ ќе биде најголем.

Решение. Нека сите агли на дадениот триедар се еднакви на $\varphi$ (при што $0<\varphi<\frac{2 \pi}{3}$ ) и нека $a=A B$ и $h$ се соодветно основниот раб и висината повлечена од темето $S$ на тетраедарот SABC (цртеж десно). Тогаш

Волуменот на тетраедарот е

$$V(\phi )=\frac{H}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}{l}^3{\sin }^2\frac{\phi }{2}\sqrt{3-4{\sin }^2\frac{\phi }{2}}V(\backslash varphi)=\backslash frac\{H\}\{3\}\; \backslash frac\{a^\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{3\}\; l^\{3\}\; \backslash sin\; ^\{2\}\; \backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash sqrt\{3-4\; \backslash sin\; ^\{2\}\; \backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\}$$

Изводот на функцијата $f(t)=t \sqrt{3-4 t}, 0<t<\frac{3}{4}\left(=\sin ^{2} \frac{\pi}{3}\right)$ е

Според тоа, функцијата $f$ го достигнува максимумот за $t=\frac{1}{2}$, па функцијата $V(\varphi), 0<\varphi<\frac{2 \pi}{3}$, достигнува максимум за $\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{2}$, т.е. за $\varphi=\frac{\pi}{4}$.