Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Drzavno_2016.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

16. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 16. april 2016

Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.

B1	B2	B3

A1. Sara in Klara imata skupaj 816 evrov. Če bi Sara porabila $\frac{3}{5}$ svojega denarja in Klara $\frac{3}{7}$ svojega denarja, bi obema ostalo enako. Koliko denarja ima Sara? (A) 408 evrov (B) 366 evrov (C) 336 evrov (D) 480 evrov (E) 816 evrov

A2. Smetana predstavlja $7 %$ mase mleka, iz $61 %$ mase smetane pa nastane maslo. Iz koliko mleka nastane $3 \mathrm{kg}$ masla? (A) manj kot $5 \mathrm{kg}$ (B) $17 \mathrm{kg}$ (C) $54 \mathrm{kg}$ (D) $69 \mathrm{kg}$ (E) več kot $70 \mathrm{kg}$

A3. V katerega izmed navedenih izrazov lahko preoblikujemo izraz $\left(x+y+\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(x+y-\frac{1}{4}\right)^{2}$ ? (A) $4 x y$ (B) $\frac{1}{16}$ (C) $\frac{1}{8}$ (D) 0 (E) $x+y$

B1. Izračunaj, za kateri realni vrednosti parametrov $a$ in $b$ ima ulomek

$$\frac{3x-2b}{ax+4b}\backslash frac\{3\; x-2\; b\}\{a\; x+4\; b\}$$

za $x=1$ vrednost 2 , za $x=-\frac{1}{2}$ pa vrednost -1 .

B2. Točke $A(2,-1), B(-1,-5)$ in $C(-3,-13)$ so oglišča trikotnika $A B C$. Izračunaj dolžino težiččnice na stranico $B C$. Rezultat naj bo natančen in delno korenjen. Točki $A$ in $B$ prezrcali čez abscisno os. Dobljeni točki označi z $A^{\prime}$ in $B^{\prime}$. Nariši štirikotnik $A A^{\prime} B^{\prime} B$ in izračunaj njegovo ploščino.

B3. Poenostavi izraz

$$\frac{\frac{2xy}{x+y}-x}{\frac{1}{y}+\frac{1}{x-2y}}+\frac{(x^2-xy+y^2)(x^3-x(x-y{)}^2)}{x^3+y^3}\backslash frac\{\backslash frac\{2\; x\; y\}\{x+y\}-x\}\{\backslash frac\{1\}\{y\}+\backslash frac\{1\}\{x-2\; y\}\}+\backslash frac\{\backslash left(x^\{2\}-x\; y+y^\{2\}\backslash right)\backslash left(x^\{3\}-x(x-y)^\{2\}\backslash right)\}\{x^\{3\}+y^\{3\}\}$$

Za katere realne vrednosti $x$ in $y$ izraz nima pomena?

16. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 16. april 2016

Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.

B1	B2	B3

A1. Katera izmed navedenih enačb premic je enačba simetrale daljice s krajiščema $A(3,-3)$ in $B(2,-2)$ ? (A) $y=-x-3$ (B) $x+y-1=0$ (C) $x-y-5=0$ (D) $3 x-2 y=0$ (E) $\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1$

A2. Naj bodo $a, b$ in $c$ dolžine stranic trikotnika in naj velja $c^{2}=a^{2}+b^{2}+a b$. Katera izmed navedenih trditev velja za tak trikotnik? (A) Trikotnik je enakostraničen. (B) Trikotnik je ostrokoten. (C) Višinska točka leži izven trikotnika. (D) Trikotnik je pravokoten. (E) Središče trikotniku očrtane krožnice je razpolovišče najdaljše stranice.

A3. Koliko je vrednost izraza $\left(\frac{\sqrt{5}-3}{2}\right)^{2016} \frac{\sqrt{5}-3}{2}\left(\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)^{2016}$ ? (A) 1 (B) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{5}-3}{2}$ (D) $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (E) $\frac{(\sqrt{5})^{2016}+3^{2016}}{8}$

B1. Ali velja

$$({\left(\frac{1}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}+\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a+2}):(\sqrt[3]{a}+\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a+2})=\frac{2(a+1)}{a(a+3)}\backslash left(\backslash left(\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash right)^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}+\backslash frac\{a^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}\{a+2\}\backslash right):\backslash left(\backslash sqrt[3]\{a\}+\backslash frac\{a^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}\{a+2\}\backslash right)=\backslash frac\{2(a+1)\}\{a(a+3)\}$$

za vsak realen $a$ razen za $a \neq 0, a \neq-2$ in $a \neq-3$ ? Ugotovitev utemelji.

B2. a) Nariši graf funkcije $f$ s predpisom

b) Naj bo $g(x)=2 x+1$. Zapiši vse vrednosti spremenljivke $x$, za katere velja enakost $g^{-1}(x)=g\left(x^{-1}\right)$ ?

B3. Obseg pravokotnika je $4 \mathrm{~cm}$, velikost kota med diagonalama pa $60^{\circ}$. Nariši skico pravokotnika z označenim kotom med diagonalama. Izračunaj dolžini obeh stranic tega pravokotnika. Rezultat naj bo natančen in zapisan v obliki okrajšanih ulomkov z racionaliziranimi imenovalci. Nalogo reši brez uporabe žepnega računala.

16. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 16. april 2016

Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.

B1	B2	B3

A1. Ploščina pravilnega šestkotnika je $96 \sqrt{3} \mathrm{cm}^{2}$. Koliko je obseg tega šestkotnika? (A) $48 \mathrm{cm}$ (B) $24 \mathrm{cm}$ (C) $96 \mathrm{cm}$ (D) $16 \mathrm{cm}$ (E) $20 \mathrm{cm}$

A2. Naj bo $f(x)=\frac{1}{\sqrt{a^{x}}}, a>0$ in $a \neq 1$. Koliko je $f\left(\log _{a} 4\right)$ ? (A) 2 (B) $-\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) -4 (E) -2

A3. Kocko z robom dolžine $a$ razrežemo na 8 malih skladnih kock. Površino ene take male kocke označimo s $P$. Koliko je $P$ ? (A) $\frac{a^{2}}{2}$ (B) $\frac{3 a^{2}}{4}$ (C) $\frac{a^{2}}{8}$ (D) $\frac{3 a^{2}}{2}$ (E) $a^{8}$

B1. Imamo šotor v obliki stožca, katerega plašč je krožni izsek s polmerom dolžine $3 \mathrm{~m}$ in središčnim kotom, ki je velik $120^{\circ}$.

a) Izračunaj višino šotora. Rezultat naj bo natančen.

(5 točk)

b) Osnovna ploskev šotora je iz enakega platna kot plašč. En kvadratni meter tega platna tehta $0,16 \mathrm{~kg}$. Koliko kilogramov tehta platno za osnovno ploskev in plašč šotora? Rezultat zaokroži na eno mesto natančno.

B2. Naj bo $m$ realno število in $f(x)=(m-2) x^{2}-2 m x+3 m$.

a) Izračunaj vrednost parametra $m$ tako, da bo graf funkcije $f$ potekal skozi točko $T(-2,3)$. Za tako izračunano vrednost parametra $m$ zapiši predpis funkcije $f$.

b) Izračunaj, za katero vrednost parametra $m$ graf funkcije $f$ ni parabola. Kaj je v tem primeru graf funkcije $f$ ? Za tako izračunano vrednost parametra $m$ zapiši predpisa funkcije $f$ in njene inverzne funkcije $f^{-1}$.

B3. Reši sistem enačb:

16. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šolDržavno tekmovanje, 16. april 2016

Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 120 minut. V sklopu A bomo vsak pravilni odgovor ovrednotili s tremi točkami, za vsak nepravilni odgovor pa bomo eno točko odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo, desno tabelo pusti prazno.

B1	B2	B3

A1. Aritmetična sredina dveh pozitivnih števil je 65 , njuna geometrijska sredina pa 60 . Koliko je absolutna vrednost razlike teh dveh števil? (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50

A2. Koliko je $1+3,5+6+8,5+\ldots+2501$, če je razlika med zaporednima seštevancema stalna? (A) 1249750 (B) 1251000 (C) 1251750,5 (D) 1252251 (E) 1253502,5

A3. Katera izmed navedenih trditev ne velja za funkcijo $f$ s predpisom $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos x$ ? (A) Zaloga vrednosti funkcije $f$ je $[0,1]$. (B) Osnovna perioda funkcije $f$ je $2 \pi$. (C) Funkcija $f$ je soda. (D) Ničle funkcije $f$ so $x=k \pi, k \in \mathbb{Z}$. (E) Funkcija $f$ doseže največjo vrednost za $x=\pi+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

B1. Dana je funkcija $f$ s predpisom $f(x)=\frac{x^{2}+4 x+3}{x^{2}+1}$. Izračunaj ničle, pole, enačbo asimptote, koordinate presečišča grafa funkcije $f$ z ordinatno osjo in presečišča grafa funkcije $f$ z asimptoto ter nariši graf funkcije $f$ brez računanja ekstremov. Za katere vrednosti spremenljivke $x$ so vrednosti funkcije $f$ pozitivne?

B2. Naj bo

$$f(x)=\ln x\text{ in }g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-6x+4f(x)=\backslash ln\; x\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; in\; \}\; \backslash quad\; g(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}-x^\{2\}-6\; x+4$$

ter $p$ tangenta na graf funkcije $f \mathrm{v}$ točki $S(a, b), q$ pa tangenta na graf funkcije $g \mathrm{v}$ točki $T(a, c)$. Tangenta $p$ je pravokotna na tangento $q$. Izračunaj vrednost $a$.

B3. Izbrati si moramo sedemmestno geslo, ki vsebuje vsaj eno črko in vsaj eno števko. Izbiramo lahko med znaki $A, B, C, G, J, M, R, Z$ in 3 .

a) Koliko je vseh možnih izbir za geslo, če se znaki ne smejo ponavljati?

b) Koliko je vseh možnih izbir za geslo, če se znaki lahko ponavljajo?

16. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
Državno tekmovanje, 16. april 2016

Rešitve nalog in točkovnik

(3. APRIL 2016, $20: 53$ )

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

Prvi letnik

$\mathrm{A} 1$	$\mathrm{~A} 2$	$\mathrm{~A} 3$
$\mathrm{D}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{E}$

A1. Označimo z $x$ količino Sarinega denarja in z $y$ količino Klarinega denarja. Potem je $x+y=816$ in $\frac{2}{5} x=\frac{4}{7} y$. Iz druge enačbe izrazimo $x=\frac{10}{7} y$ in vstavimo v prvo enačbo. Tako dobimo $\frac{17}{7} y=816$. Torej je $y=336$ in $x=480$. Sara ima 480 evrov.

A2. Označimo z $x$ maso mleka v kg. V $x$ kg mleka je $0,07 x \mathrm{kg}$ smetane. Iz te smetane nastane $0,61 \cdot 0,07 x \mathrm{kg}$ masla. Velja $0,61 \cdot 0,07 x=3$. Sledi, da je $x \doteq 70,258 \mathrm{kg}$. $3 \mathrm{kg}$ masla nastane iz več kot $70 \mathrm{~kg}$ mleka.

A3. Dani izraz razstavimo po pravilu razlike kvadratov in dobimo

$\left(x+y+\frac{1}{4}-\left(x+y-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x+y+\frac{1}{4}+\left(x+y-\frac{1}{4}\right)\right)=\frac{1}{2}(2 x+2 y)=x+y$. Dani izraz lahko preoblikujemo v izraz $x+y$.

B1.

Zapis prve enačbe $\frac{3-2 b}{a+4 b}=2$ 1 točka

Reševanje sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama ........................ točka

B2.

Zapis koordinat razpolovišča stranice $B C: R(-2,-9)$ ..... 1 točka Ugotovitev, da je dolžina težiščnice enaka razdalji med točkama $A$ in $R$ ..... 1 točka Izračun dolžine težiščnice $t_{B C}=d(A, R)=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-9+1)^{2}}$ ..... 1 točka Zapis rešitve $t_{B C}=4 \sqrt{5}$ ..... 1 točka Prezrcaljeni točki $A$ in $B$ ter narisan štirikotnik $A A^{\prime} B^{\prime} B$ ..... 1 točka

1. način Uporaba formule za ploščino trapeza $S=\frac{a+c}{2} \cdot v=\frac{10+2}{2} \cdot 3$ ..... 2 točki Zapis rešitve $S=18$ ..... 1 točka
2. način Uporaba formule za ploščino trikotnika ali za ploščino pravokotnika in pravokotnega trikotnika ..... 2 točki Zapis rešitve $S=18$ ..... 1 točka B3. Razširjanje ulomkov na skupni imenovalec $\frac{\frac{2 x y}{x+y}-x}{\frac{1}{y}+\frac{1}{x-2 y}}=\frac{\frac{x y-x^{2}}{x+y}}{\frac{x-y}{y(x-2 y)}}$ ..... 1 točka Razreševanje dvojnega ulomka ..... $1^{*}$ točka Poenostavitev prvega člena izraza $\mathrm{v}-\frac{x y(x-2 y)}{x+y}$ ..... 1 točka Razcep $x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$ ..... 1 točka Poenostavitev $\frac{\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\left(x^{3}-x^{3}+2 x^{2} y-x y^{2}\right)}{(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)}=\frac{x y(2 x-y)}{x+y}$ ..... 1 točka Poenostavitev izraza $\frac{-x y(x-2 y)}{x+y}+\frac{x y(2 x-y)}{x+y}=x y$ ..... 1 točka Izraz nima pomena za $y=0, x=-y, x=2 y$ in $x=y$ ..... 2 točki (Za dve pravilni ugotovitvi 1 točka.)

Drugi letnik

A1. Simetrala daljice $A B$ poteka skozi razpolovišče $S\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right)$ daljice $A B$ in je pravokotna na daljico $A B$. Smerni koeficient premice skozi točki $A$ in $B$ je $k_{1}=\frac{-2-(-3)}{2-3}=-1$. Torej je smerni koeficient simetrale $k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=1$. Upoštevamo $y=k x+n$ oziroma $-\frac{5}{2}=1 \cdot \frac{5}{2}+n$ in dobimo $n=-5$. Torej je enačba simetrale daljice $A B$ enaka $y=x-5$ oziroma $x-y-5=0$.

A2. Iz kosinusnega izreka $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \gamma$ in enakosti $c^{2}=a^{2}+b^{2}+a b$ dobimo $a b=-2 a b \cos \gamma$. Od tod sledi $\cos \gamma=-\frac{1}{2}$ oziroma $\gamma=120^{\circ}$. Trikotnik je topokoten, torej leži višinska točka izven trikotnika.

A3.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{\sqrt{5}-3}{2}\right)}^{2016}\frac{\sqrt{5}-3}{2}{\left(\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)}^{2016}={(\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+3}{2})}^{2016}\frac{\sqrt{5}-3}{2}=}\\ {\displaystyle ={\left(\frac{5-9}{4}\right)}^{2016}\frac{\sqrt{5}-3}{2}=1\cdot \frac{\sqrt{5}-3}{2}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}\backslash right)^\{2016\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}+3\}\{2\}\backslash right)^\{2016\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}+3\}\{2\}\backslash right)^\{2016\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}=\; \backslash \backslash \; =\backslash left(\backslash frac\{5-9\}\{4\}\backslash right)^\{2016\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}=1\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-3\}\{2\}\; \backslash end\{gathered\}$$

B1.

Zapis potenc $z$ racionalnimi eksponenti v obliki korenov $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}}+\frac{\sqrt[3]{a}}{a+2}\right):\left(\sqrt[3]{a}+\frac{\sqrt[3]{a}}{a+2}\right) \ldots .1$ točka Razširitev na najmanjši skupni imenovalec $\left(\frac{a+2+\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{a^{2}}}{(a+2) \sqrt[3]{a^{2}}}\right):\left(\frac{(a+2) \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}}{a+2}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka

Zapis odgovora oziroma ugotovitev, da enakost velja ......................................... 1 točka

B2.

a) Narisana premica $z$ enačbo $y=2 x+1$ oziroma del te premice ..... 1 točka Narisana premica $z$ enačbo $y=-x+5$ oziroma del te premice ..... 1 točka Pravilno označen graf funkcije $f \mathbf{v} x=1$ ..... 1 točka b) Postopek za izračun predpisa inverzne funkcije ..... $1^{*}$ točka Zapis $g^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ ..... 1 točka Zapis $g\left(x^{-1}\right)=2 x^{-1}+1$ ..... 1 točka Zapis enačbe $x^{2}-3 x-4=0$ ..... 1 točka Zapis rešitev enačbe $x_{1}=4$ in $x_{2}=-1$ ..... 1 točka

B3.

Skica pravokotnika z označenim kotom med diagonalama ..... 1 točka Upoštevanje $2 a+2 b=4$ ..... 1 točka Zapis ali upoštevanje $\tan 30^{\circ}=\frac{b}{a}$ ..... 1 točka Zapis ali upoštevanje $\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ..... 1 točka Reševanje sistema enačb ..... $1^{}$ točka Racionalizacija imenovalca ..... $1^{}$ točka Izračunan $a=(3-\sqrt{3}) \mathrm{cm}$ ..... 1 točka Izračunan $b=(-1+\sqrt{3}) \mathrm{cm}$ ..... 1 točka Opomba: Če v rezultatu ni enot, odštejemo 1 točko.

Tretji letnik

A1. Uporabimo formulo za ploščino pravilnega šestkotnika $\frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}=96 \sqrt{3}$ ter izračunamo $a=8 \mathrm{cm}$. Obseg pravilnega šestkotnika je $6 a=48 \mathrm{cm}$.

A2. Izračunamo $f\left(\log _{a} 4\right)=\frac{1}{\sqrt{a^{\log _{a} 4}}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$.

A3. Označimo z $a_{1}$ dolžino roba male kocke. Upoštevamo, da je prostornina male kocke $a_{1}^{3}=\frac{a^{3}}{8}$ in dobimo $a_{1}=\frac{a}{2}$. Torej velja $P=6 a_{1}^{2}=6\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{3 a^{2}}{2}$.

B1.

Ugotovitev, da je $s=3$ m..............................................................................................................................

Zapis odgovora ................................................................................................................

B2.

Zapis predpisa funkcije $f: f(x)=-x^{2}-2 x+3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Ugotovitev, da je za tako izračunani $m$ graf funkcije $f$ premica .............................................................................

Postopek za izračun predpisa inverzne funkcije ...............................................................................

Zapis predpisa inverzne funkcije funkcije $f: f^{-1}(x)=-\frac{1}{4} x+\frac{3}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

B3.

Ureditev do kvadratne enačbe $4 x^{2}-36 x+45=0$....................................................................................

Zapis rešitev sistema enačb $x_{1}=\frac{15}{2}, y_{1}=\frac{25}{2}$ in $x_{2}=\frac{3}{2}, y_{2}=\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka

Četrti letnik

A1. Upoštevamo $\frac{a+b}{2}=65$ in $\sqrt{a b}=60$. Preoblikujemo v sistem enačb $a+b=130$ in $a b=3600$. Iz prve enačbe izrazimo $b=130-a$ in vstavimo v drugo enačbo ter jo preoblikujemo v $a^{2}-130 a+3600=0$. Dobimo rešitvi $a_{1}=40$ in $b_{1}=90$ ter $a_{2}=90$ in $b_{2}=40$. Torej sledi $|a-b|=50$.

A2. Ugotovimo, da moramo sešteti $n$ členov aritmetičnega zaporedje $\mathrm{z}$ diferenco $d=2,5$. Upoštevamo $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ oziroma $2501=1+(n-1) \cdot 2,5$. Rešimo enačbo in ugotovimo, da moramo sešteti 1001 členov. Upoštevamo $S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)$ ali $S_{n}=\frac{n}{2}\left(2 a_{1}+(n-1) d\right)$ in dobimo $S_{1001}=1252251$.

A3. Ničle funkcije $f$ so rešitve enačbe $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos x=0$, torej $x=2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$, in ne $x=k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

B1.

Izračun ničel $x_{1}=-3$ in $x_{2}=-1$ in ugotovitev, da funkcija nima polov...

1 točka

Zapis enačbe vodoravne asimptote $y=1$ in koordinat presečišča grafa funkcije $f$ z ordinatno osjo $x=0$ in $y=3$ ali $N(0,3)$ 1 točka Izračun koordinat presečišča grafa funkcije $f$ z vodoravno asimptoto

Ugotovitev, da je funkcija $f$ pozitivna za vsak $x \in(-\infty,-3) \cup(-1, \infty) \ldots \ldots \ldots \ldots 1^{*}+1$ točka

B2.

Odvod funkcije $f: f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$ 1 točka

Odvod funkcije $g: g^{\prime}(x)=x^{2}-2 x-6$

Upoštevanje $k_{1}=f^{\prime}(a)=\frac{1}{a}$ in $k_{2}=g^{\prime}(a)=a^{2}-2 a-6$ $1+1$ točka Upoštevanje $k_{1} k_{2}=-1$ oziroma $\frac{a^{2}-2 a-6}{a}=-1$ ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe $\mathrm{v} a^{2}-a-6=0$ ..... 1 točka Zapis rešitev kvadratne enačbe $a_{1}=3$ in $a_{2}=-2$ ..... 1 točka Ugotovitev, da rešitev $a_{2}=-2$ ne ustreza ( $f(-2)$ ne obstaja) ..... 1 točka B3. a) Upoštevanje, da je $v$ geslu 6 črk in ena števka ..... 1 točka Ugotovitev, da je 7 možnih položajev za števko ..... 1 točka Izračun števila možnih razporeditev črk v geslo $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ ..... 1 točka Izračun števila možnih izbir za geslo $7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=141120$ ..... 1 točka b) Ugotovitev, da je vseh možnih izbir za geslo, če ne bi bilo omejitve, da mora vsebovati vsaj eno črko in vsaj eno številko, enako $9^{7}$ oziroma 4782969 ..... 1 točka Ugotovitev, da je vseh možnih izbir za geslo, ki bi vsebovalo samo črke, enako $8^{7}$ oziroma 2097152 ..... 1 točka Ugotovitev, da je samo eno geslo, ki je sestavljeno samo iz števke 3 ..... 1 točka Izračun števila možnih izbir za geslo $9^{7}-8^{7}-1=2685816$ ..... 1 točka