Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Podrocno_2001.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

NALOGE ZA PRVI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Če nalogo rešuješ na več načinov, mora biti nedvoumno označeno, kateri naj se upošteva.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Riba ima $9 \mathrm{cm}$ dolgo glavo. Njen rep je dolg toliko kot glava in pol telesa skupaj. Telo je dolgo kot glava in rep skupaj. Kako dolga je riba? (A) $27 \mathrm{cm}$ (B) $54 \mathrm{cm}$ (C) $63 \mathrm{cm}$ (D) $72 \mathrm{cm}$ (E) $81 \mathrm{cm}$

A2. Če izraz $b c(b+c)+c a(c-a)-a b(a+b)$ zapišemo kot produkt, dobimo (A) $(a+1)(b+c)(c-a)$ (B) $(b+c)(c-a)(a-b)$ (C) $(c-a)(b+c)(a-b)$ (D) $(a+b)(b+c)(c-a)$ (E) nič od navedenega

A3. Za katero vrednost parametra $m$ bosta premici z enačbama $y=(m+5) x+m-1$ in $y=(m-1)^{2} x-3 m$ vzporedni? (A) $m_{1}=1, m_{2}=-5$ (B) $m_{1}=-4, m_{2}=1$ (C) $m_{1}=1, m_{2}=\frac{1}{3}$ (D) $m=-\frac{1}{4}$ (E) nič od navedenega

A4. Trgovec je kupil $300 \mathrm{l}$ vina. Od tega je $100 \mathrm{l}$ vina prodal z dobičkom $15 %$ in $150 \mathrm{l} \mathrm{z}$ dobičkom $8 %$, ostanek pa z izgubo $12 %$. Kolikšen je bil njegov dobiček v %? (A) $3 %$ (B) $5,1 %$ (C) $7,2 %$ (D) $9,1 %$ (E) nič od navedenega

A5. Izberi $a$ tako, da bo vrednost izraza $\left(1-\left(1-a^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}$ enaka 3 . (A) $a=-2$ (B) $a=2$ (C) $a=\frac{1}{2}$ (D) $a=30$ (E) $a=0$

A6. Naj bo $x<-2$. Okrajšaj ulomek $\frac{x^{2}-1+|x+1|}{x^{2}-2 x}$. Rezultat je (A) $-\frac{x+1}{x-2}$ (B) $\frac{x+1}{x}$ (C) $-\frac{x+1}{x}$ (D) 1 (E) -1

II. DEL

B1. Pred petimi leti je bilo razmerje števila let Klare, Jerce in Tine 9:10:13. Čez 10 let bo razmerje njihovih let $14: 15: 18$. Koliko let imajo danes Klara, Jerca in Tina?

B2. Razstavi izraz $4^{2 x+1}+4^{x+2}-84$.

B3. Ploščina trikotnika, ki ga oklepa premica s pozitivnima poltrakoma koordinatnih osi, je enaka 1. Premica poteka skozi točko $A\left(1, \frac{1}{2}\right)$. Zapiši njeno enačbo.

B4. Kocka velikosti $9 \mathrm{cm} \times 9 \mathrm{cm} \times 9 \mathrm{cm}$ je sestavljena iz manjših kock velikosti $1 \mathrm{cm} \times 1 \mathrm{cm} \times 1 \mathrm{cm}$. Ploskve kocke obarvamo z rdečo barvo.

(A) Koliko manjših kock ostane nepobarvanih?

(B) Koliko manjših kock ima pobarvano le eno ploskev?

NALOGE ZA DRUGI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Če nalogo rešuješ na več načinov, mora biti nedvoumno označeno, kateri naj se upošteva.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Imamo dva podobna pravokotna trikotnika. Prvi ima kateti dolgi $3 \mathrm{cm}$ in $4 \mathrm{cm}$, v drugem meri hipotenuza $10 \mathrm{cm}$. Obseg drugega trikotnika je (A) $6 \mathrm{cm}$ (B) $24 \mathrm{cm}$ (C) $25 \mathrm{cm}$ (D) $17 \mathrm{~cm}$ (E) nič od navedenega

A2. Vrednost izraza $\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}$ je (A) $2 \sqrt{3}$ (B) $\sqrt{10}$ (C) 3,46 (D) 2 (E) $\sqrt{6}$

A3. V pravokotniku meri ena stranica $24 \mathrm{cm}$, druga pa je za $8 \mathrm{cm}$ krajša od diagonale. Izračunaj kot med diagonalo in dano stranico na minuto natančno. (A) $70^{\circ} 31^{\prime}$ (B) $36^{\circ} 52^{\prime}$ (C) $53^{\circ} 13^{\prime}$ (D) $53^{\circ} 08^{\prime}$ (E) nič od navedenega

A4. Zapiši izraz $\frac{0,4^{-2} \cdot\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-1}}{\left(-\frac{1}{3}\right)^{3} \cdot 0,1^{-2}}$ v obliki okrajšanega ulomka. (A) 1 (B) $\frac{27}{8}$ (C) $-\frac{3}{4}$ (D) $-\frac{27}{8}$ (E) -48

A5. Okrajšaj ulomek $\frac{4 x^{2}-4 x-3}{6 x^{2}-x-2}$. (A) $\frac{2 x-3}{3 x-2}$ (B) $\frac{2 x+3}{3 x+2}$ (C) $\frac{x-4}{x-2}$ (D) $\frac{x+4}{x+2}$ (E) 1

A6. Določi pogoj za $c$ tako, da bo teme kvadratne parabole $f(x)=2 x^{2}+3 x+c$ ležalo v III. kvadrantu. (A) $c=0$ (B) $c>-1$ (C) $c>1 \frac{1}{8}$ (D) $c=1$ (E) $c<\frac{9}{8}$

II. DEL

B1. V pravokotniku $A B C D$ meri osnovnica $20 \mathrm{cm}$. Vsako oglišče je $12 \mathrm{cm}$ oddaljeno od diagonale, na kateri ne leži. Izračunaj ploščino pravokotnika $A B C D$.

B2. Poenostavi izraz $\sqrt[3]{\frac{a+b}{(a-b)^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{a^{3} \sqrt[3]{b}}{a^{2}-b^{2}}}: \sqrt[6]{\frac{a^{8} b}{a+b}}$.

B3. Poišči vse realne rešitve enačbe $\left(x^{2}+x+3\right)^{2}+3\left(x^{2}+x-1\right)=28$.

B4. $|A E|>|E B|,|E B|=|B C|=|A D|,|A B|=17 \mathrm{cm},|E D|=13 \mathrm{cm}$. Izračunaj kot $\varphi$ na minuto natančno. (Točke $A, E$ in $B$ so kolinearne).

NALOGE ZA TRETJI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Če nalogo rešuješ na več načinov, mora biti nedvoumno označeno, kateri naj se upošteva.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Katera od izjav je pravilna?

(A) Središče trikotniku očrtane krožnice leži vedno znotraj trikotnika.

(B) V vsakem rombu diagonali razpolavljata kote romba.

(C) Težišče in višinska točka v pravokotnem trikotniku sovpadata.

(D) Ploščina trikotnika s stranicami $a, b$ in $c$ je dana s Heronovo formulo

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}S=\backslash sqrt\{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\}$$

kjer je $s$ obseg trikotnika.

(E) V vsakem paralelogramu diagonali razpolavljata kote paralelograma.

A2. Katera od izjav je pravilna? Funkcija $f(x)=2+\sin 2 x$ (A) nikoli ne zavzame vrednosti 2 . (B) je periodična z najmanjšo periodo $2 \pi$. (C) doseže največjo vrednost 4 . (D) je definirala le za $x<\frac{\pi}{4}$. (E) nima ničel.

A3. Ploščina trapeza s stranicami $a=17, b=15, c=3$ in $d=13$ (A) je 120 (B) je 132 (C) je 156 (D) je 192 (E) ni določena, ker ni znana njegova višina

A4. Edina rešitev enačbe $2 \cdot 3^{x-3}+3^{x-2}+3^{x-1}=14 \cdot 3^{5}$ je (A) $x=2$ (B) $x=8$ (C) $x=-8$ (D) $x=-2$ (E) $x=0$

A5. Razmerje telesne in ploskovne diagonale v kocki je (A) $\sqrt{2}: \sqrt{3}$ (B) $2: 3$ (C) $\sqrt{3}: \sqrt{2}$ (D) $3: 2$ (E) $\sqrt{2}: 1$

A6. Dana je družina funkcij $y=\log _{a}\left(3 x^{2}-2 x\right)$. Za kateri a zavzame pripadajoča funkcija pri $x=2$ vrednost 6 ? (A) $a=2$ (B) $a=\sqrt{2}$ (C) $a=10$ (D) $a=\frac{1}{2}$ (E) nič od navedenega

II. DEL

B1. Izračunaj ploščino osenčenega lika na sliki.

B2. Reši enačbo $\log _{2}\left(2 \cos ^{2} x-2 \cos x+1\right)=-1$.

B3. Naj bo $\operatorname{tg} \alpha=\frac{a+2 b}{a \sqrt{3}}, \operatorname{tg} \beta=\frac{b+2 a}{b \sqrt{3}}, a>0, b>0, \alpha, \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Določi $\alpha+\beta$.

B4. Kozarec ima obliko pokončnega stožca. Ploščina osnega preseka pokončnega stožca meri $48 \mathrm{dm}^{2}$, dolžina roba pa je $\frac{5}{3}$ polmera. Steklenica ima obliko enakorobe šeststrane prizme. (Potrebne podatke izračunaj s pomočjo skice osnovne ploske). Koliko kozarcev lahko napolniš iz polne steklenice?

NALOGE ZA ČETRTI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Če nalogo rešuješ na več načinov, mora biti nedvoumno označeno, kateri naj se upošteva.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Odvod funkcije $f(x)=2 e^{-\frac{1}{2} x}$ je enak (A) $2 e^{\frac{1}{2} x}$ (B) $-2 e^{-\frac{1}{2} x}$ (C) $-e^{-\frac{1}{2} x}$ (D) $e^{-\frac{1}{2} x}$ (E) $2 \ln \left(-\frac{1}{2} x\right)$

A2. Naklonski kot premice $x+y-3=0$ je (A) $45^{\circ}$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $135^{\circ}$ (D) $-60^{\circ}$ (E) drugo

A3. Dana je neskončna geometrijska vrsta $\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{2^{2 x}}+\frac{1}{2^{3 x}}+\cdots$. Za katero realno število $x$ je vsota vrste enaka $\frac{1}{7}$ ? (A) $x=1$ (B) $x=2$ (C) $x=\frac{3}{2}$ (D) $x=3$ (E) $x=0$

A4. Rešitev enačbe $2^{x+1}=x^{2}+1$ leži na intervalu (A) $[0,1)$ (B) $(-3,-1)$ (C) $[-1,0]$ (D) $(0,2)$ (E) $(-4,-3)$

A5. Racionalna funkcija $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-1}$ ima

(A) dva pola in eno ničlo.

(B) poševno asimptoto $y=x+1$ in pol $\mathrm{v}$ točki $x=1$.

(C) dvojno ničlo $x_{1,2}=3$.

(D) graf, ki ne seka ordinatne osi.

(E) nima realnih ničel in ima pol $\mathrm{v}$ točki $x=1$.

A6. Za kateri $x$ je zaporedje $\sqrt{x}, \sqrt{5 x-4}, 3 \sqrt{x}$ aritmetično? (A) $x=1$ (B) $x=2$ (C) $x=4$ (D) $x=6$ (E) $x=\frac{1}{4}$

II. DEL

B1. Narisan je graf polinoma četrte stopnje. Zapiši njegovo enačbo.

B2. Katera dva zaporedna člena geometrijskega zaporedja s količnikom 3 moramo zmnožiti, da dobimo 243 -kratnik kvadrata prvega člena tega zaporedja?

B3. Določi definicijsko območje funkcije $f(x)=\ln \frac{1}{\cos x}$ ter zapiši v katerih točkah ima funkcija $f(x)$ tangente vzporedne simetrali sodih kvadrantov.

B4. Krožnica s polmerom $r=4$ ima središče $\mathrm{v}$ enem od temen elipse $b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$ in poteka skozi obe gorišči in skozi drugo teme. Zapiši enačbo elipse $(a>b)$ !

Rešitve nalog

Prvi letnik

I. DEL

1	2	3	4	5	6
$\mathrm{D}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$

A1. Ker je rep ribe dolg kot glava in pol telesa skupaj, telo pa kot glava in rep skupaj, je telo dolgo kot 2 glavi in pol telesa skupaj. Zato je pol telesa dolgo za 2 glavi, torej $18 \mathrm{cm}$. Telo je dolgo $2 \cdot 18=36 \mathrm{cm}$, rep pa $9+18=27 \mathrm{cm}$. Riba je dolga $9+36+27=72 \mathrm{cm}$.

A2. Izraz lahko zapišemo kot

$$\begin{array}{c}{\displaystyle bc(b+c)+c^{2}a-c{a}^2-a^{2}b-a{b}^2=bc(b+c)+a(c^2-b^2)-a^2(c+b)}\\ {\displaystyle =(b+c)(bc-a^2)+a(c-b)(c+b)=(b+c)(bc-a^2+ac-ab)}\\ {\displaystyle =(b+c)(b(c-a)+a(c-a))=(b+c)(c-a)(b+a)}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; b\; c(b+c)+c^\{2\}\; a-c\; a^\{2\}-a^\{2\}\; b-a\; b^\{2\}=b\; c(b+c)+a\backslash left(c^\{2\}-b^\{2\}\backslash right)-a^\{2\}(c+b)\; \backslash \backslash \; =(b+c)\backslash left(b\; c-a^\{2\}\backslash right)+a(c-b)(c+b)=(b+c)\backslash left(b\; c-a^\{2\}+a\; c-a\; b\backslash right)\; \backslash \backslash \; =(b+c)(b(c-a)+a(c-a))=(b+c)(c-a)(b+a)\; \backslash end\{gathered\}$$

in tak produkt je zapisan v odgovoru (D).

A3. Premici sta vzporedni, če imata enak koeficient, torej $m+5=(m-1)^{2}$, od koder sledi $(m-4)(m+1)=0$. Rešitvi sta $m_{1}=4$ in $m_{2}=-1$, zato je pravilen odgovor (E).

A4. Dobiček trgovca je bil $\frac{100 \cdot 15+150 \cdot 8+(300-100-150) \cdot(-12)}{300}=7 %$. Pravilen odgovor je (E).

A5. Enačbo $\left(1-\left(1-\frac{1}{a}\right)^{-1}\right)^{-1}=3$ preoblikujemo v

$$3={(1-{\left(\frac{a-1}{a}\right)}^{-1})}^{-1}={(1-\frac{a}{a-1})}^{-1}={\left(\frac{a-1-a}{a-1}\right)}^{-1}=\frac{a-1}{-1}=1-a3=\backslash left(1-\backslash left(\backslash frac\{a-1\}\{a\}\backslash right)^\{-1\}\backslash right)^\{-1\}=\backslash left(1-\backslash frac\{a\}\{a-1\}\backslash right)^\{-1\}=\backslash left(\backslash frac\{a-1-a\}\{a-1\}\backslash right)^\{-1\}=\backslash frac\{a-1\}\{-1\}=1-a$$

in dobimo $3=1-a$ oziroma $a=-2$.

A6. Če je $x<-2$, je $x+1<-1<0$, zato je $|x+1|=-(x+1)$ in je ulomek enak

$$\frac{x^2-1-(x+1)}{x^2-2x}=\frac{(x+1)(x-1)-(x-1)}{x(x-2)}=\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}\backslash frac\{x^\{2\}-1-(x+1)\}\{x^\{2\}-2\; x\}=\backslash frac\{(x+1)(x-1)-(x-1)\}\{x(x-2)\}=\backslash frac\{(x+1)(x-2)\}\{x(x-2)\}=\backslash frac\{x+1\}\{x\}$$

II. DEL

B1. Naj bodo $x$ starost Klare, $y$ Jerce in $z$ Tine. Pred petimi leti so bile njihove starosti $x-5$, $y-5$ in $z-5$. Zanje velja

$$x-5=9t,y-5=10t,z-5=13tx-5=9\; t,\; \backslash quad\; y-5=10\; t,\; \backslash quad\; z-5=13\; t$$

Čez 10 let bodo njihove starosti $x+10, y+10$ in $z+10$ ter bo veljalo

$$x+10=14s,y+10=15s,z+10=18sx+10=14\; s,\; \backslash quad\; y+10=15\; s,\; \backslash quad\; z+10=18\; s$$

Torej je $x=9 t+5=14 s-10$, od koder sledi $t=\frac{14 s-15}{9}$. Podobno je $y=10 t+5=15 s-10$, torej $t=\frac{15 s-15}{10}$. Če primerjamo, dobimo $\frac{14 s-15}{9}=\frac{15 s-15}{10}$ oziroma $s=3$. Njihove starosti so $x=14 \cdot 3-10=32, y=15 \cdot 3-10=35$ in $z=18 \cdot 3-10=44$.

B2. Vpeljimo novo spremenljivko $a=4^{x}$. Dobimo

oziroma $4^{2 x+1}+4^{x+2}-84=4\left(4^{x}+7\right)\left(4^{x}-3\right)$.

B3. Naj premica seka koordinatni osi v točkah $(m, 0)$ in $(0, n)$. Enačba premice je potem $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=$ 1. Ker je ploščina trikotnika enaka $1=\frac{m n}{2}$, sledi $n=\frac{2}{m}$ in $\frac{x}{m}+\frac{m y}{2}=1$. Upoštevajmo še, da na premici leži točka $A\left(1, \frac{1}{2}\right)$. Dobimo $\frac{1}{m}+\frac{m}{4}=1$ oziroma $0=m^{2}-4 m+4=(m-2)^{2}$. Torej je $m=2$, enačba premice pa $\frac{x}{2}+y=1$.

B4. (A) Nepobarvane ostanejo vse kocke, ki so v notranjosti, torej v kocki, katere rob je za 2 krajši od roba velike kocke. To pomeni, da jih je $7^{3}=343$.

(B) Na vsaki ploskvi velike kocke imajo pobarvano natanko eno ploskev tiste kocke, ki niso skupne dvema ploskvama. Takih je $(9-2) \cdot(9-2)=49$ na vsaki ploskvi, torej skupaj $49 \cdot 6=294$.

Drugi letnik

I. DEL

1	2	3	4	5	6
$\mathrm{B}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{E}$

A1. Hipotenuza prvega pravokotnega trikotnika je $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$, zato so stranice drugega ravno dvakrat daljše. Obseg drugega trikotnika je dvakratnik obsega prvega, torej $2(3+4+5)=$ $24 \mathrm{~cm}$.

A2. Izračunajmo vrednost kvadrata izraza, torej

$$\begin{array}{c}{\displaystyle (\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}{)}^2=3-\sqrt{5}+2\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}+3+\sqrt{5}=}\\ {\displaystyle =6+2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=6+2\sqrt{9-5}=10}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; (\backslash sqrt\{3-\backslash sqrt\{5\}\}+\backslash sqrt\{3+\backslash sqrt\{5\}\})^\{2\}=3-\backslash sqrt\{5\}+2\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3-\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3+\backslash sqrt\{5\}\}+3+\backslash sqrt\{5\}=\; \backslash \backslash \; =6+2\; \backslash sqrt\{(3-\backslash sqrt\{5\})(3+\backslash sqrt\{5\})\}=6+2\; \backslash sqrt\{9-5\}=10\; \backslash end\{gathered\}$$

zato je vrednost izraza enaka $\sqrt{10}$.

A3. Naj bo $x$ dolžina diagonale. Za stranici in diagonalo lahko zapišemo Pitagorov izrek $24^{2}+$ $(x-8)^{2}=x^{2}$, od koder sledi $x=32$. Kot $\varphi$ med diagonalo in dano stranico zadošča $\cos \varphi=\frac{24}{32}$, zato je $\varphi=\arccos \frac{24}{32}=53^{\circ} 08^{\prime}$.

A4. Izraz je enak

$$\frac{{\left(\frac{4}{10}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{9}{4}\right)}^{-1}}{{(-\frac{1}{3})}^3\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^{-2}}=\frac{{\left(\frac{10}{4}\right)}^2\cdot \frac{4}{9}}{-\frac{1}{27}\cdot {10}^2}=-\frac{{10}^2\cdot 4\cdot 27}{4^2\cdot {10}^2\cdot 9}=-\frac{3}{4}\backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{4\}\{10\}\backslash right)^\{-2\}\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{9\}\{4\}\backslash right)^\{-1\}\}\{\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{3\}\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{1\}\{10\}\backslash right)^\{-2\}\}=\backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{10\}\{4\}\backslash right)^\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{9\}\}\{-\backslash frac\{1\}\{27\}\; \backslash cdot\; 10^\{2\}\}=-\backslash frac\{10^\{2\}\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 27\}\{4^\{2\}\; \backslash cdot\; 10^\{2\}\; \backslash cdot\; 9\}=-\backslash frac\{3\}\{4\}$$

A5. Pišimo $\frac{4 x^{2}-4 x-3}{6 x^{2}-x-2}=\frac{(2 x-3)(2 x+1)}{(2 x+1)(3 x-2)}=\frac{2 x-3}{3 x-2}$.

A6. Velja $f(x)=2 x^{2}+3 x+c=2\left(x^{2}+\frac{3}{2} x\right)+c=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+c-\frac{9}{8}$. Teme je pri $x=-\frac{3}{4}$ in takrat je $y=c-\frac{9}{8}$, torej bo v III. kvadrantu, če je $c-\frac{9}{8}<0$, torej $c<\frac{9}{8}$.

II. DEL

B1. Ker je trikotnik $A B E$ pravokoten, je $|A E|=\sqrt{|A B|^{2}-|B E|^{2}}=16 \mathrm{cm}$. Nadalje je $|A E|$ : $|A B|=|B E|:|B C|$, od koder sledi $|B C|=15 \mathrm{cm}$ in $S=a b=|A B| \cdot|B C|=300 \mathrm{~cm}^{2}$.

B2. Izračunamo lahko

$$\sqrt[3]{\frac{a+b}{(a-b{)}^2}}\cdot \sqrt{\frac{a^3\sqrt[3]{b}}{a^2-b^2}}:\sqrt[6]{\frac{a^{8}b}{a+b}}=\sqrt[6]{\frac{(a+b{)}^2}{(a-b{)}^4}\cdot \frac{a^{9}b}{(a-b{)}^3(a+b{)}^3}\cdot \frac{a+b}{a^{8}b}}=\sqrt[6]{\frac{a}{(a-b{)}^7}}\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{a+b\}\{(a-b)^\{2\}\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{b\}\}\{a^\{2\}-b^\{2\}\}\}:\; \backslash sqrt[6]\{\backslash frac\{a^\{8\}\; b\}\{a+b\}\}=\backslash sqrt[6]\{\backslash frac\{(a+b)^\{2\}\}\{(a-b)^\{4\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a^\{9\}\; b\}\{(a-b)^\{3\}(a+b)^\{3\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a+b\}\{a^\{8\}\; b\}\}=\backslash sqrt[6]\{\backslash frac\{a\}\{(a-b)^\{7\}\}\}$$

B3. Enačbo zapišemo v obliki $\left(x^{2}+x+3\right)^{2}+3\left(x^{2}+x+3\right)-40=0$ in za izraz v oklepaju uvedemo novo neznanko $u$. Enačba $u^{2}+3 u-40=0$ ima dve rešitvi $u_{1}=-8$ in $u_{2}=5$. Od tod dobimo dve enačbi za $x$ in sicer $x^{2}+x+3=-8$, ki nima rešitve, in $x^{2}+x+3=5$, ki ima dve realni rešitvi $x_{1}=-2$ in $x_{2}=1$.

B4. Označimo $|E B|=|B C|=|A D|=x$ in uporabimo Pitagorov izrek za trikotnik $A E D$, torej $13^{2}=x^{2}+(17-x)^{2}$. Enačba ima dve rešitvi, $x_{1}=12$, ki ne ustreza prvemu pogoju naloge, in $x_{2}=5$. Sledi $\sin \alpha=\sin \angle A E D=\frac{5}{13}$ in $\alpha=22^{\circ} 38^{\prime}$ ter $\varphi=180^{\circ}-\alpha-45^{\circ}=112^{\circ} 22^{\prime}$.

Tretji letnik

I. DEL

1	2	3	4	5	6
$\mathrm{B}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{B}$

A1. Pravilna je le izjava (B).

A2. Ker je $f(0)=2$, funkcija zavzame vrednost 2. Najmanjša perioda je $\pi$ in funkcija je definirana za vsa realna števila. Ker je $\sin 2 x \leq 1$, je največja vrednost 3. Pravilna izjava je, da funkcija nima ničel.

A3. Naj bo $v$ višina trapeza. Po Pitagorovem izreku (glej sliko) je $v^{2}=15^{2}-y^{2}$ in $v^{2}=13^{2}-x^{2}$. Ker pa je $x+y+3=17$, sledi $y=14-x$ in zato je $15^{2}-(14-x)^{2}=13^{2}-x^{2}$, od koder sledi $x=5$. Torej je $v=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$. Ploščina trapeza pa je $\frac{v(a+c)}{2}=120$.

A4. Pišimo $14 \cdot 3^{5}=3^{x-3}\left(2+3+3^{2}\right)=14 \cdot 3^{x-3}$. Sledi $3^{5}=3^{x-3}$ oziroma $x=8$.

A5. Če je $a$ dolžina roba ploskve, je dolžina ploskovne diagonale $\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a$, telesne pa $\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3} a$, torej je razmerje med telesno in ploskovno diagonalo enako $\sqrt{3}: \sqrt{2}$.

A6. Rešimo $6=\log _{a}(3 \cdot 4-2 \cdot 2)=\log _{a} 8$. To pomeni $a^{6}=8$ oziroma $a=\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$.

II. DEL

B1. Osenčeni del zunaj kroga v drugem kvadratku in osenčeni del v prvem kvadratku skupaj pokrijeta ravno cel kvadratek, torej $\frac{1}{4} a^{2}$. Osenčeni del v četrtem kvadratku pokrije polovico kvadratka, to je $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} a^{2}$. Preostane le še četrtina kroga v drugem kvadratku. Ker je polmer enak $\frac{a}{4}$, je ploščina tega dela $\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot\left(\frac{a}{4}\right)^{2}$. Ploščina osenčenega lika je torej $\frac{a^{2}(\pi+24)}{64}$.

B2. Pišimo $y=2 \cos ^{2} x-2 \cos x+1$. Potem je $\log _{2} y=-1$, zato je $y=2^{-1}=\frac{1}{2}$. Sledi $\frac{1}{2}=2 \cos ^{2} x-2 \cos x+1$ oziroma $(2 \cos x-1)^{2}=0$. Torej je $\cos x=\frac{1}{2}$ in zato $x= \pm \frac{\pi}{3}+2 k \pi$ za $k \in \mathbb{Z}$.

B3. Velja

$$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }=\frac{\frac{a+2b}{a\sqrt{3}}+\frac{b+2a}{b\sqrt{3}}}{1-\frac{(a+2b)(b+2a)}{3ab}}\backslash operatorname\{tg\}(\backslash alpha+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash alpha+\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash beta\}\{1-\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash alpha\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash beta\}=\backslash frac\{\backslash frac\{a+2\; b\}\{a\; \backslash sqrt\{3\}\}+\backslash frac\{b+2\; a\}\{b\; \backslash sqrt\{3\}\}\}\{1-\backslash frac\{(a+2\; b)(b+2\; a)\}\{3\; a\; b\}\}$$

kar lahko poenostavimo $\mathrm{v} \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=-\sqrt{3}$. Edina možnost je $\alpha+\beta=\frac{2 \pi}{3}$.

B4. Naj bo $r$ polmer stožca. Dolžina roba je potem $\frac{5}{3} r$, zato je po Pitagorovem izreku višina enaka $\sqrt{\left(\frac{5}{3} r\right)^{2}-r^{2}}=\frac{4}{3} r$. Ker je osni presek enak $\frac{1}{2} \cdot \frac{4 r}{3} \cdot 2 r=48 \mathrm{dm}^{2}$, sledi $r=6 \mathrm{dm}$. Volumen kozarca je tako $\frac{1}{3} \pi r^{2} \doteq 301,44 \mathrm{dm}^{2}$.

Iz skice za steklenico vidimo, da je višina enega enakostraničnega trikotnika enaka 10 dm, zato je stranica $\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 10=\frac{20}{\sqrt{3}} \mathrm{dm}$. Ker je prizma enakoroba, je višina enake dolžine kot stranica, volumen pa je enak

$$\frac{20}{\sqrt{3}}\cdot 6\cdot \frac{20}{\sqrt{3}}\cdot 10=4000{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3\backslash frac\{20\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; \backslash frac\{20\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cdot\; 10=4000\; \backslash mathrm\{dm\}^\{3\}$$

Imamo $\frac{4000}{301,44} \doteq 13,27$, zato lahko napolnimo 13 kozarcev.

Četrti letnik

I. DEL

1	2	3	4	5	6
$\mathrm{C}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$

A1. Odvod te funkcije je $f^{\prime}(x)=2 \cdot e^{-\frac{1}{2} x} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-e^{-\frac{1}{2} x}$.

A2. Naj bo $\varphi$ naklonski kot. Premico zapišemo v obliki $y=3-x$. Vodilni koeficient je -1 , torej je $\operatorname{tg} \varphi=-1$, od koder sledi $\varphi=135^{\circ}$.

A3. Vrsto lahko zapišemo kot $\frac{1}{2^{x}}\left(1+\frac{1}{2^{x}}+\left(\frac{1}{2^{x}}\right)^{2}+\ldots\right)=\frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2^{x}}}=\frac{1}{2^{x}-1}$. Iz $\frac{1}{7}=\frac{1}{2^{x}-1}$ sledi $x=3$.

A4. Narišemo približna grafa funkcij $f(x)=x^{2}+1$ in $g(x)=2^{x+1}$. Vidimo, da se sekata na intervalu $[-1,0]$.

A5. Racionalna funkcija $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-1}$ ima en pol $\mathrm{v} x=1$, ničli v $x=3$ in $x=-3$. Pri $x=0$ seka ordinatno os. Ker je $\frac{x^{2}-9}{x-1}=\frac{x^{2}-1-8}{x-1}=x+1-\frac{8}{x-1}$, je $y=x+1$ poševna asimptota. Pravilen odgovor je (B).

A6. Zaporedje je aritmetično, če velja $3 \sqrt{x}-\sqrt{5 x-4}=\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}$. Od tod sledi $2 \sqrt{x}=$ $\sqrt{5 x-4}$ oziroma $4 x=5 x-4$, torej $x=4$.

II. DEL

B1. Vidimo, da ima polinom dvojno ničlo $\mathrm{v} x=2$, ničlo $\mathrm{v} x=-1$ in ničlo $\mathrm{v} x=\frac{1}{2}$. Zato bo $p(x)=a(x-2)^{2}(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$. Ker je $p(1)=-1$, sledi $a=-1$ in $p(x)=-(x-2)^{2}(x+$ $1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$.

B2. Naj bo $a_{1}$ začetni člen. Potem je $a_{n}=a_{1} \cdot 3^{n-1}$ splošni člen. Produkt dveh zaporednih členov je $a_{n} a_{n+1}=a_{1}^{2} \cdot 3^{2 n-1}$ in ta je enak $243 a_{1}^{2}$, ko je $3^{2 n-1}=243=3^{5}$, se pravi pri $n=3$. Zmnožiti moramo tretji in četrti člen.

B3. Da bo $f(x)=\ln \frac{1}{\cos x}$ definirana, mora veljati $\frac{1}{\cos x}>0$ oziroma $\cos x>0$. Definicijsko območje je tako unija intervalov oblike ( $\left.-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right)$ za vsa cela števila $k$.

Tangenta bo vzporedna simetrali sodih kvadrantov, če je njen naklon -1 , torej $f^{\prime}(x)=-1$. Sledi $-1=\frac{1}{\frac{1}{\cos x}} \cdot \frac{-1}{\cos ^{2} x}(-\sin x)=\operatorname{tg} x$, torej so dobri tisti $x$ iz definicijskega območja, za katere je $x \stackrel{\pi}{=}-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$. Pri teh $x$ velja še $f(x)=\ln \left(\frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)=\frac{1}{2} \ln 2$. Dobimo točke $T\left(-\frac{\pi}{4}+2 k \pi, \frac{1}{2} \ln 2\right)$.

B4. Vidimo, da mora središče krožnice ležati v $(0, b)$ ali $(0,-b)$. Zaradi simetrije lahko vzamemo prvo točko. Ker sta gorišči na abscisi, mora krožnica skozi teme na ordinati, zato je $r=2 b$ oziroma $b=2$.

Vsota razdalj poljubne točke na elipsi od gorišč je enaka $2 a$. Torej je $2 a=2 r$ oziroma $a=4$. Enačba elipse je $4 x^{2}+16 y^{2}=4 \cdot 16$ oziroma $x^{2}+4 y^{2}=16$.