Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Podrocno_2005.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

NALOGE ZA PRVI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešujes̆ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Enačba $0, \overline{3}-\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}=3$ ima rešitev: (A) $x=-24$ (B) $x=3$ (C) $x=-3$ (D) $x=24$ (E) $x=0$

A2. Pri pripravi žaganega lesa iz hlodovine je $8 %$ odpadka. Koliko kubičnih metrov žaganega lesa dobimo iz $150 \mathrm{~m}^{3}$ hlodovine? (A) 12 (B) 183 (C) 105 (D) 100 (E) 138

A3. Daljica ima eno krajišče v točki $(-2,1)$. Razpolovišče daljice je v točki $(0,-1)$. V kateri točki je drugo krajišče? (A) $(2,-3)$ (B) $(-1,0)$ (C) $(1,-1)$ (D) $(2,3)$ (E) V nobeni izmed navedenih.

A4. Vsota treh zaporednih sodih števil je vedno: (A) deljiva s 4 (B) liho število (C) deljiva s 3 (D) večkratnik števila 8 (E) deljiva z 8

A5. Katera izmed navedenih neenačb nima rešitve? (A) $3 x-1<5-3 x$ (B) $\frac{2}{3} x-1 \geq \frac{2}{3} x-\frac{1}{2}$ (C) $\frac{2}{3} x+4 \leq \frac{3}{2} x+2$ (D) $2 x-\pi<\sqrt{5}+2 x$ (E) $x \leq x$

A6. Naj bo $\frac{a+b}{b}=4$. Koliko je $\frac{b}{a+2 b}$ ? (A) 3 (B) 1 (C) 5 (D) $\frac{1}{3}$ (E) $\frac{1}{5}$

II. DEL

B1. Izračunajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 72 in 168. Pomagajte si z razcepom na prafaktorje.

B2. Narišite množico točk $(x, y)$ v ravnini, za katere je $x=-3$ in $-2<y<2$.

B3. Dane so točke $A(5,5), B(-2,4)$ in $C(-1,-3)$. Izračunajte ploščino trikotnika $A B C$ in dolžino njegove najkrajše višine.

B4. Skrčite izraz

$$(1+\frac{1+\frac{1+a}{1-3a}}{1-3\cdot \frac{1+a}{1-3a}}):(1-3\cdot \frac{1+\frac{1+a}{1-3a}}{1-3\cdot \frac{1+a}{1-3a}})\backslash left(1+\backslash frac\{1+\backslash frac\{1+a\}\{1-3\; a\}\}\{1-3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1+a\}\{1-3\; a\}\}\backslash right):\backslash left(1-3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1+\backslash frac\{1+a\}\{1-3\; a\}\}\{1-3\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1+a\}\{1-3\; a\}\}\backslash right)$$

NALOGE ZA DRUGI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno s̆tevilko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešujes̆ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Funkcija $f(x)=3 x+6$ je pozitivna za: (A) $x>1$ (B) $x<-1$ (C) $x<-3$ (D) $x>-2$ (E) $x<0$

A2. Premici, dani z enačbama $(m+2) x-2 y+1=0$ in $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$, sta vzporedni. Koliko je $m$ ? (A) -6 (B) $-\frac{1}{2}$ (C) -2 (D) 0

(E) Premici nista vzporedni za nobeno vrednost $m$.

A3. Kateri večkotnik ima 12 diagonal več kot stranic? (A) osemkotnik (B) devetkotnik (C) desetkotnik (D) enajstkotnik (E) dvanajstkotnik

A4. Koliko meri kot $\alpha \mathrm{v}$ trikotniku, če je $\cos \alpha=-\frac{1}{2}$ ? (A) $60^{\circ}$ (B) $30^{\circ}$ (C) $120^{\circ}$ (D) $150^{\circ}$ (E) $30^{\prime}$

A5. Vrednost izraza $9^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}-\sqrt{16^{\frac{5}{4}}-7}$ je enaka: (A) 0 (B) $-\frac{17}{2}$ (C) $\frac{27}{2}-4 \sqrt{2}$ (D) $\frac{17}{2}$ (E) 31

A6. Vrednost izraza $\frac{a^{0}+b^{0}}{(a+b)^{0}}+\left(a^{2}+b^{2}\right)^{0}$ je enaka: (A) 1 (B) 3 (C) $a+b$ (D) 2 (E) nič od navedenega

II. DEL

B1. Zapišite linearno funkcijo, ki ima ničlo 4 , njen graf pa gre skozi presečišče premic z enačbama $x-2 y-9=0$ in $2 x+y-3=0$.

B2. Brez uporabe žepnega računala izračunajte vrednost izraza

$$8\cdot \sqrt[20]{32}-9\cdot \sqrt[5]{\sqrt[6]{9}}-4\cdot \sqrt[16]{16}+4\cdot \sqrt[5]{\sqrt[9]{27}}+5\cdot \sqrt[5]{\sqrt[12]{81}}8\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[20]\{32\}-9\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[5]\{\backslash sqrt[6]\{9\}\}-4\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[16]\{16\}+4\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[5]\{\backslash sqrt[9]\{27\}\}+5\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[5]\{\backslash sqrt[12]\{81\}\}$$

B3. Rešite iracionalno enačbo $\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4 x}=0$.

B4. Izračunajte višino in kot $\alpha$ enakokrakega trapeza s podatki $a=15 \mathrm{cm}, c=7 \mathrm{cm}, b=d=$ $4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$.

NALOGE ZA TRETJI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Za katero vrednost parametra $m$ je enačba $\left(m^{2}-7 m+6\right) x^{2}-m x+m-2=0$ linearna? (A) 0 (B) 2 (C) 0 in 2 (D) 1 in 6 (E) -1 in -6

A2. Telo smo sestavili iz enakih kock (glej sliko). Koliko kubičnih decimetrov meri njegova prostornina? (A) 1,12 (B) 0,112 (C) 96 (D) 120 (E) Nič od navedenega.

A3. Trije kvadrati so postavljeni v vrsto tako, da ima vsak naslednji za $1 \mathrm{cm}$ daljšo stranico. Vsi trije skupaj imajo ploščino $302 \mathrm{cm}^{2}$. Koliko centimetrov je dolga stranica največjega kvadrata? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) Nič od navedenega.

A4. Katera izmed naslednjih trditev je pravilna? (A) $\log 0=0$ (B) $\log 5=\log 10-\log 5$ (C) $10^{\log \pi}=\pi$ (D) $\log 1=1$ (E) Če je $0<x<y$, potem je $\log _{\frac{1}{2}} x<\log _{\frac{1}{2}} y$

A5. Rešitev enačbe $\log _{4} \log _{3} \log _{2} x=0$ je: (A) $x=8$ (B) $x=-8$ (C) $x=0$ (D) $x=4$ (E) $x=10$

A6. S̆tevilo bakterij se v 1 uri poveča za osmino. V laboratoriju so v posebno posodo postavili $3,6 \cdot 10^{7}$ bakterij. Koliko bakterij je bilo v posodi po $t$ urah? (A) $3600000 \cdot 1,125^{t}$ (B) $3,6 \cdot 10^{7} \cdot 0,875^{t}$ (C) $b=0,36 \cdot 10^{7}+1,125^{t}$ (D) $b=36 \cdot 10^{6} \cdot 1,125^{t}$ (E) $b=0,36 \cdot 8 \cdot 1,8^{t}$

II. DEL

B1. Zapišite definicijsko območje funkcije $f(x)=\sqrt{5-x^{2}}$.

B2. Razlika obsegov dveh kvadratov je $8 \mathrm{cm}$, razlika ploščin pa $16 \mathrm{cm}^{2}$. Izračunajte vsoto njunih ploščin.

B3. V gozdu vidim četrtino svoje črede kamel. Število tistih kamel, ki so se odpravile proti pobočju hriba, je dvakratnik korena števila moje celotne črede. Poleg tega še trikrat po pet kamel počiva ob reki. Koliko je, zapišite, kamel v moji čredi?

B4. Opišite množico vseh točk $(x, y)$, ki ustrezajo pogoju

$$7^{x+y}=7^{x+2}\cdot 7^{2x+1}7^\{x+y\}=7^\{x+2\}\; \backslash cdot\; 7^\{2\; x+1\}$$

Množico upodobite v koordinatnem sistemu.

NALOGE ZA ČETRTI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa res̆ujes̆ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izberes̆ pravilnega in ga vpišě v preglednico pod ustrezno zaporedno s̆tevilko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer bos̆ reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Dana je funkcija $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1$. Vrednost izraza $f(2)+2 f(0)$ je enaka: (A) 0 (B) $f(-1)$ (C) 5 (D) $f(1)$ (E) Nič od navedenega.

A2. Na sliki je graf funkcije: (A) $f(x)=\log _{3}(x+1)-1$ (B) $f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{2 x+2}$ (C) $f(x)=2^{x+1}+3$ (D) $f(x)=\frac{2}{3} x-1$ (E) Nič od navedenega.

A3. Izraz $3-3 \cos ^{2} x$ je enak: (A) 4 (B) 0 (C) $3 \sin ^{2} x$ (D) $6 \sin ^{4} x$ (E) $\sin ^{4} x$

A4. Splošni člen zaporedja $0,-1,0,1,0,-1, \ldots$ je: (A) $a_{n}=(-1)^{n}$ (B) $a_{n}=1-(-1)^{n}$ (C) $a_{n}=\sin \frac{n \pi}{2}$ (D) $a_{n}=\cos \frac{n \pi}{2}$ (E) Nič od navedenega.

A5. Prvi štirje členi neničelnega aritmetičnega zaporedja so $a, x, b, 2 x$. Razmerje $a: b$ je enako: (A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{2}{3}$ (E) 2

A6. Izraz $\sin 20^{\circ}+\sin \alpha$ lahko preoblikujemo v: (A) $\cos 70^{\circ}+\sin (\pi-\alpha)$ (B) $\cos \left(\alpha-20^{\circ}\right)$ (C) $\sin 20^{\circ}+\sin (\alpha-\pi)$ (D) $\sin \left(20^{\circ}+\alpha\right)$ (E) $\sin 160^{\circ}-\sin (\pi-\alpha)$

II. DEL

B1. Z grafa odčitajte ničle in začetno vrednost funkcije ter zapišite intervale, na katerih so funkcijske vrednosti negativne. Zapišite enačbo polinoma četrte stopnje, katerega graf je na sliki.

B2. Dana je funkcija $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$. Brez uporabe žepnega računala pokaži, da je $f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1$.

B3. Dana je funkcija $f(x)=a \cdot \cos \frac{x}{2}$.

a) Določite $a$ tako, da bo graf funkcije potekal skozi točko $A\left(\frac{\pi}{2}, \sqrt{2}\right)$. b) $\mathrm{Za} a=2$ izračunajte ničle funkcije in narišite njen graf na intervalu $[-2 \pi, 2 \pi]$.

B4. Dijakom, ki iščejo začasne zaposlitve, želijo v mladinskem servisu ponuditi čim več različnih del. Zato so se odločili, da bodo v naslednjih petih letih podvojili število delodajalcev, ki ponujajo dela. Vsako leto bodo povečali število delodajalcev za enako odstotkov. Izračunajte, za koliko odstotkov bodo povečali število delodajalcev vsako leto. Rezultat zaokrožite na celo s̆tevilo odstotkov. Zapišite odgovor.

Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi k rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.

Prvi letnik

I. DEL

Naloga	1	2	3	4	5	6
Odgovor	$\mathrm{A}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{E}$

A1. Število $0, \overline{3}$ zapišemo kot ulomek $\frac{1}{3}$. Nato enačbo preuredimo $\mathrm{v} \frac{1}{3}-\frac{3 x}{3-x}=3$ in $\mathrm{v} 3-x-9 x=$ $27-9 x$, od koder izrazimo $x=-24$.

A2. Ker je pri pripravi žaganega lesa $8 %$ odpadka, dobimo iz $150 \mathrm{m}^{3}$ hlodovine $150 \cdot \frac{92}{100}=$ $\frac{3.92}{2}=138 \mathrm{m}^{3}$ žaganega lesa.

A3. Iz zveze za razpolovišče daljice nastavimo enakosti: $0=\frac{-2+x_{2}}{2}$ in $-1=\frac{1+y_{2}}{2}$. Iz prve dobimo $x_{2}=2$, iz druge pa $y_{2}=-3$. Drugo krajišče je v točki $(2,-3)$.

A4. Tri zaporedna soda števila lahko zapišemo $2 n, 2 n+2$ in $2 n+4$. Njihova vsota je $6 n+6$ in je torej vedno deljiva s 3 .

A5. Neenačba $3 x-1<5-3 x$ ima rešitev $x<1$. Neenačba $\frac{2}{3} x-1 \geq \frac{2}{3} x-\frac{1}{2}$ nima rešitve. Neenačba $\frac{2}{3} x+4 \leq \frac{3}{2} x+2$ ima rešitev $x \geq \frac{12}{5}$. Neenačbi $2 x-\pi<\sqrt{5}+2 x$ in $x \leq x$ reši vsak realen $x$.

A6. Iz $\frac{a+b}{b}=4$ izrazimo $a=3 b$ in vstavimo v ulomek $\frac{b}{a+2 b}$. Ulomek uredimo in krajšamo ter dobimo rezultat $\frac{1}{5}$.

II. DEL

B1. Števili razcepimo na prafaktorje $72=2^{3} \cdot 3^{2}$ in $168=2^{3} \cdot 3 \cdot 7$. Iskani največji skupni delitelj je $2^{3} \cdot 3=24$, najmanjši skupni večkratnik pa $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7=504$.

Razcep števila 72 na prafaktorje .1 točka

Razcep števila 168 na prafaktorje 1 točka

Zapis vsakega števila z zmnožkom potenc praštevil $1+1$ točka Določitev in zapis skupnega delitelja ..... 1 točka Določitev in zapis skupnega večkratnika. . ..... 1 točka

B2. V pravokotnem koordinatnem sistemu narišemo množico točk po navodilu naloge.

Narisana premica: $x=-3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$. 2 točki

Narisan ravninski pas: $-2<y<2 \ldots \ldots . . . . . . . . . . . . .$.

Opomba: Če meji nista črtkani, samo 1 točka

Narisana množica: ${-3} \times(-2,2)$ 2 točki

Opomba: Brez puščic samo 1 točka

B3. Ploščina trikotnika je enaka polovici absolutne vrednosti determinante. Vstavimo podatke v obrazec $S=\frac{|D|}{2}$. Determinanta je enaka 50 , ploščina je torej enaka 25. Izračunamo dolžine stranic trikotnika, ki merijo $|A C|=10$, $|B C|=5 \sqrt{2}$ in $|A B|=5 \sqrt{2}$ enot. Najkrajša je višina na najdaljšo stranico. Izračunamo jo iz plošine $v_{A C}=\frac{2 S}{|A C|}$. Višina meri 5 enot.

Nalogo lahko rešimo drugače. Izračunamo ploščino trapeza $F A B E$, ki ima osnovnici dolgi 8 oziroma 7 enot in višino 7 enot (glej sliko). Ta je enaka $\frac{8+7}{2} \cdot 7=\frac{15 \cdot 7}{2}$. Ploščino trikotnika $A B C$ dobimo, če od ploščine trapeza odštejemo ploščini pravokotnih trikotnikov z dolžinama

katet $|B E|=7$ in $|E C|=1$ ter $|A F|=8$ in $|C F|=6$. Ploščina trikotnika je torej $\frac{15 \cdot 7}{2}-\frac{1 \cdot 7}{2}-\frac{8 \cdot 6}{2}=\frac{14 \cdot 7}{2}-24=25$. Najdaljša stranica trikotnika $A B C$ je $A C$, ki je dolga $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$. Najkrajša višina je zato $v_{A C}=\frac{2 \cdot 25}{10}=5$.

Poznavanje obrazca za determinanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka

Uporaba obrazca za dolžino daljice (razdaljo med točkama) ............................................................

Izračun dolžin stranic trikotnika........................................................................................................

Izračunana dolžina višine na stranico AC....................................................................

B4. Najprej uredimo dvojni ulomek, ki je enak $\frac{a-1}{3 a+1}$. Nato uredimo izraz v prvem oklepaju, ki je enak $\frac{4 a}{3 a+1}$. Irraz v drugem oklepaju je enak $\frac{4}{3 a+1}$. Izvedemo deljenje ulomkov, uredimo in dobimo rezultat $a$.

Ureditev dvojnega ulomka: $\frac{1+\frac{1+a}{1-3 a}}{1-3 \cdot \frac{1+a}{1-3 a}}=\frac{a-1}{3 a+1}$. .1 točka

Ugotovitev, da je dvojni ulomek v drugem oklepaju enak: $\frac{a-1}{3 a+1} \ldots$ .1 točka

Poenostavitev izraza v prvem oklepaju: $1+\frac{a-1}{3 a+1}=\frac{4 a}{3 a+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots$ točka

Poenostavitev izraza v drugem oklepaju: $1-3 \cdot \frac{a-1}{3 a+1}=\frac{4}{3 a+1} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Drugi letnik

I. DEL

Naloga	1	2	3	4	5	6
Odgovor	$\mathrm{D}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{B}$

A1. Da je funkcija pozitivna, mora veljati $3 x+6>0$. Rešitev neenačbe je $x>-2$.

A2. Premici sta vzporedni, če imata enaka smerna koeficienta. Prva ima koeficient $\frac{m+2}{2}$. Drugo enačbo preoblikujemo v eksplicitno obliko $y=-2 x+4$, od koder preberemo smerni koeficient -2. Enačimo oba smerna koeficienta: $\frac{m+2}{2}=-2$. Rešitev enačbe je $m=-6$.

A3. Število diagonal $n$-kotnika je $\frac{n(n-3)}{2}$. Zapišemo zvezo $n+12=\frac{n(n-3)}{2}$, ki jo preuredimo $\mathrm{V}$ kvadratno enačbo $n^{2}-5 n-24=0$ in razcepimo $(n-8)(n+5)=0$. Smiselna rešitev je $n=8$, osemkotnik ima 12 diagonal več kot stranic.

A4. Ker je vrednost kosinusa negativna, je rešitev topi kot. Vemo, da je $\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}$.

A5. Izraz poenostavimo $9^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}-\sqrt{16^{\frac{5}{4}}-7}=3^{3} \cdot 2^{-1}-\sqrt{2^{5}-7}=\frac{27}{2}-\sqrt{32-7}=\frac{17}{2}$.

A6. Izraz poenostavimo $\frac{1+1}{1}+1=3$.

II. DEL

B1. Presečišče danih premic izračunamo z reševanjem sistema dveh enačb z dvema neznankama: $x-2 y-9=0$ in $2 x+y-3=0$. Rešitev sistema je par $x=3, y=-3$, presečišče pa $P(3,-3)$. Graf iskane linearne funkcije gre skozi to presečiščce in skozi točko $A(4,0)$. Izračunamo njen smerni koeficient $k=\frac{0-(-3)}{4-3}=3$ in njeno začetno vrednost $n=0-3 \cdot 4=-12$, pa imamo enac̆bo linearne funkcije: $f(x)=3 x-12$.

Pravilno reševanje sistema ....................................................................................................................... 1 to

B2. Izraz poenostavimo: $8 \cdot \sqrt[20]{2^{5}}-9 \cdot \sqrt[30]{3^{2}}-4 \cdot \sqrt[16]{2^{4}}+4 \cdot \sqrt[45]{3^{3}}+5 \cdot \sqrt[60]{3^{4}}=8 \cdot \sqrt[4]{2}-9 \cdot \sqrt[15]{3}-$ $4 \cdot \sqrt[4]{2}+4 \cdot \sqrt[15]{3}+5 \cdot \sqrt[15]{3}=4 \cdot \sqrt[4]{2}$

Poenostavitev vsakega člena:

B3. Enačbo najprej preuredimo $\mathrm{v} \sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{4 x}$ in kvadriramo: $x^{2}+4=4 x$. Ko člen $4 x$ prenesemo na levo stran enačbe, dobimo $x^{2}-4 x+4=0$, kar zapišemo v obliki: $(x-2)^{2}=0$. Edina rešitev je $x=2$. Opravimo še preizkus: $\sqrt{2^{2}+4}-\sqrt{4 \cdot 2}=0$, s čimer se prepričamo, da $x=2$ res̆i dano iracionalno enačbo.

Opravljen preizkus..............................................................................................

B4. Narišemo skico, s katere razberemo $\frac{a-c}{2}=4 \mathrm{cm}$. Izračunamo dolžino višine: $v=\sqrt{(4 \sqrt{2})^{2}-4^{2}}=\sqrt{16}=4 \mathrm{cm}$. Ker je $v=\frac{a-c}{2}$, je pravokotni trikotnik z dolžinama katet $v$ in $\frac{a-c}{2}$ enakokrak. Kot $\alpha$ je torej enak $45^{\circ}$.

Ustrezna skica 1 točka

Ugotovitev $\frac{a-c}{2}=4 \mathrm{~cm}$ .1 točka

Izračun kota $\alpha=45^{\circ}$ 1 točka

Uporaba kotne funkcije ali Pitagorovega izreka za izračun višine 1 točka

Izračunana višina $v=4 \mathrm{~cm}$

1 točka

Tretji letnik

I. DEL

Naloga	1	2	3	4	5	6
Odgovor	$\mathrm{D}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{D}$

A1. Enačba je linearna, če je vodilni koeficient v zapisani kvadratni enačbi enak 0. Torej mora veljati: $m^{2}-7 m+6=0$ oziroma $(m-1)(m-6)=0$. Od tod dobimo rešitvi $m=1$ in $m=6$.

A2. Telo je sestavljeno iz 14 kock. Prostornina ene kocke je $2^{3} \mathrm{cm}^{3}$, prostornina telesa pa $14 \cdot 2^{3}=112 \mathrm{cm}^{3}$ oziroma $0,112 \mathrm{dm}^{3}$.

A3. Ploščina najmanjšega kvadrata je $a^{2}$, ploščina drugega $(a+1)^{2}$ in ploščina največjega $(a+2)^{2}$. Velja torej $a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2}=302$. To enačbo preuredimo $\mathrm{v} a^{2}+2 a-99=0$ in razstavimo: $(a-9)(a+11)=0$. Smiselna rešitev je $a=9 \mathrm{cm}$. Stranica največjega kvadrata je dolga $11 \mathrm{cm}$.

Nekoliko manj računanja imamo, če izberemo dolžine stranic kvadratov po vrsti $a-1, a$ in $a+1$. Tedaj je $a^{2}-2 a+1+a^{2}+a^{2}+2 a+1=302$, od tod dobimo $3 a^{2}=300$ in $a=10$. Stranica največjega kvadrata je dolga $11 \mathrm{~cm}$.

A4. Trditev $\log 0=0$ ni pravilna, saj logaritemska funkcija nima vrednosti v točki 0 . Napačna je tudi trditev $\log 5=\log 10-\log 5$, saj je $\log 10-\log 5=\log \frac{10}{5}=\log 2$. Trditev $10^{\log \pi}=\pi$ je pravilna, saj na levi strani enačaja nastopata eksponentna in logaritemska funkcija z enakima osnovama. Trditev $\log 1=1$ je napačna, saj je $\log 1=0$. Če je osnova logaritma manjša od 1, je ustrezna logaritemska funkcija padajoča, zato je tudi trditev (E) napačna.

A5. Najprej je $4^{0}=\log _{3} \log _{2} x$, nato $3=\log _{2} x$ in končno $2^{3}=x$ oziroma $x=8$.

A6. Če je na začetku $3,6 \cdot 10^{7}$ bakterij, jih je po eni uri $3,6 \cdot 10^{7} \cdot 1,125$, po dveh urah $\left(3,6 \cdot 10^{7}\right.$. $1,125) \cdot 1,125=3,6 \cdot 10^{7} \cdot 1,125^{2} \ldots$ Po $t$ urah je v posodi $3,6 \cdot 10^{7} \cdot 1,125^{t}=36 \cdot 10^{6} \cdot 1,125^{t}$ bakterij.

II. DEL

B1. Korenska funkcija je definirana za $5-x^{2} \geq 0$. Če $5-x^{2}$ razstavimo, imamo $(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x) \geq 0$. S slike razberemo, za katere vrednosti spremenljivke $x$ je funkcija $y=5-x^{2}$ nenegativna: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

S polno črto je narisan graf funkcije $f(x)=\sqrt{5-x^{2}}$, s črtkano pa graf funkcije $y=5-x^{2}$.

Zapis pogoja $5-x^{2} \geq 0$ 1 točka Razcep $(\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x) \geq 0$ 1 točka

Zapisani ničli: $x_{1}=\sqrt{5}$ 1 točka

$x_{2}=-\sqrt{5}$

1 točka

Ustrezna skica 1 točka

Rešitev: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$ 1 točka

B2. Razlika obsegov naj bo $4 a-4 b=8 \mathrm{cm}$, razlika ploščin pa $a^{2}-b^{2}=16 \mathrm{cm}^{2}$. Iz prve zveze dobimo $a-b=2$, iz druge pa zaradi $(a-b)(a+b)=16$ še $a+b=8$. Od tod pridemo do $a=5 \mathrm{cm}$ in $b=3 \mathrm{cm}$. Vsota obeh ploščin je $5^{2}+3^{2}=34 \mathrm{~cm}^{2}$.

Zapis razlike obsegov $4 a-4 b=8$ .1 točka

Zapis razlike ploščin $a^{2}-b^{2}=16$ 1 točka

Pravilno reševanje sistema 1 točka

Rešitvi $a=5 \mathrm{cm}$ in $b=3 \mathrm{cm}$. $1+1$ točka

Izračunana vsota ploščin: $S_{1}+S_{2}=34 \mathrm{~cm}^{2}$ 1 točka

B3. Neznano s̆tevilo kamel označimo z $x$. Iz besedila zapišemo enačbo $\frac{x}{4}+2 \sqrt{x}+3 \cdot 5=x$, ki jo preuredimo v $8 \sqrt{x}=3 x-60$. Enačbo kvadriramo $64 x=9 x^{2}-360 x+3600$ in uredimo: $9 x^{2}-424 x+3600=0$. Levo stran razstavimo $(x-36)(9 x-100)=0$, od tod pa preberemo smiselno rešitev $x=36$.

Odprava ulomka in ureditev enačbe do oblike $8 \sqrt{x}=3 x-60 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Zapisan odgovor ....................................................................................................

B4. Eksponentno enačbo uredimo $7^{x+y}=7^{3 x+3}$. Eksponenta enačimo in uredimo. Dobimo $y=2 x+3$, kar predstavlja enačbo premice.

Ureditev enačbe: $7^{x+y}=7^{3 x+3} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

Zapis enakosti eksponentov $x+y=3 x+3 \ldots \ldots \ldots .1$ točka

Ureditev zapisa $y=2 x+3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Ugotovitev, da je to enačba premice ..................... 1 točka

Narisana premica v koordinatnem sistemu............. 2 točki

Četrti letnik

I. DEL

Naloga	1	2	3	4	5	6
Odgovor	$\mathrm{D}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{A}$

A1. Najprej imamo $f(2)=-3$ in $f(0)=1$ ter $f(2)+2 f(0)=-1$. Ker je $f(-1)=-3$ in $f(1)=-1$, velja $f(2)+2 f(0)=f(1)$.

A2. Na sliki je graf racionalne funkcije s polom $x=-1$, dvojno ničlo $x=2$ in začetno vrednostjo 2, torej funkcije $f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{2 x+2}$.

A3. Izrazimo $3-3 \cos ^{2} x=3\left(1-\cos ^{2} x\right)=3 \sin ^{2} x$.

A4. Zaporedje s splošnim členom $a_{n}=(-1)^{n}$ je $-1,1,-1,1, \ldots$, zaporedje s splošnim členom $a_{n}=1-(-1)^{n}$ je $2,0,2,0, \ldots$, zaporedje s splošnim členom $a_{n}=\sin \frac{n \pi}{2}$ je $1,0,-1,0,1, \ldots$, zaporedje s splošnim členom $a_{n}=\cos \frac{n \pi}{2}$ pa $0,-1,0,1,0,-1, \ldots$. Pravilen je torej odgovor (D).

A5. Ker zaporedje nima vseh členov enakih 0 in sta drugi in četrti člen $x$ oziroma $2 x$, zaporedje ni konstantno. Prvi štirje členi aritmetičnega zaporedja so $a, a+d=x, a+2 d=b$ in $a+3 d=2 x$, pri čemer $d \neq 0$. Iz $a+d=x$ in $a+3 d=2 x$ sklepamo, da je $a=d$. To pomeni, da je iskano razmerje enako $\frac{a}{b}=\frac{d}{3 d}=\frac{1}{3}$.

A6. Ker je $\sin 20^{\circ}=\cos 70^{\circ}$ in $\sin \alpha=\sin (\pi-\alpha)$, je $\sin 20^{\circ}+\sin \alpha=\cos 70^{\circ}+\sin (\pi-\alpha)$.

II. DEL

B1. Z grafa odčitamo ničle polinoma $x_{1}=-1, x_{2,3}=1$ in $x_{4}=4$ ter začetno vrednost $p(0)=-1$. Intervala, na katerih je funkcija negativna, sta $(-1,1)$ in $(1,4)$. Za zapis enačbe polinoma četrte stopnje uporabimo obliko polinoma za ničle $p(x)=a(x+1)(x-1)^{2}(x-4)$. Upoštevamo, da je $p(0)=-1$, pa izračunamo vodilni koeficient $a=\frac{1}{4}$. Tako imamo $p(x)=\frac{1}{4}(x+1)(x-1)^{2}(x-4)$.

Odčitana začetna vrednost polinoma: $p(0)=-1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Odčitani intervali, na katerih ima polinom negativno vrednost: $(-1,1) \cup(1,4) \ldots .1$ točka

Uporaba oblike polinoma za ničle: $p(x)=a(x+1)(x-1)^{2}(x-4) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka

Zapis polinoma..................................................................................................

B2. Izračunamo vrednosti funkcije $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1+\cos \frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right) \frac{\sin \frac{2 \pi}{3}}{1+\cos \frac{2 \pi}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$. Imamo torej $f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1$.

Vstavljena prva vrednost spremenljivke $x: f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1+\cos \frac{\pi}{3}}$. . . .1 točka

Izračunana vrednost zgornjega ulomka: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .1 točka

Vstavljena druga vrednost spremenljivke $x: f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sin \frac{2 \pi}{3}}{1+\cos \frac{2 \pi}{3}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka

B3. Upoštevamo, da gre graf funkcije skozi točko $A$, pa imamo $\sqrt{2}=a \cdot \cos \frac{\pi}{4}$. Od tod dobimo $a=2$. Nato izračunamo ničle funkcije $f(x)=2 \cos \frac{x}{2}$. Te so: $x_{k}=\pi+2 k \pi ; k \in \mathbb{Z}$. Narišemo graf funkcije na intervalu $[-2 \pi, 2 \pi]$.

Izračunane ničle $x_{k}=\pi+2 k \pi ; k \in \mathbb{Z} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Pravilno narisan graf . .................................................................................

OPOMBA: Na sliki grafa mora biti upoštevana amplituda in označeni dve ničli.

B4. Denimo, da trenutno ponuja delo preko mladinskega servisa $n$ delodajalcev. Čez 5 let bo delo ponujalo $2 n$ delodajalcev. Naj bo $r$ faktor letnega povečanja števila delodajalcev in $r=1+\frac{p}{100}$. Velja zveza $2 n=n \cdot r^{5}$, od koder dobimo $r=\sqrt[5]{2}$, kar je približno 1,149 . Iz te vrednosti izračunamo $p$, ki znaša $p=14,9$ oziroma $p=15$, če zaokrožimo na celo vrednost. Vsako leto se bo število delodajalcev povečalo za $15 %$.

Izračunana in zaokrožena vrednost letnega povečanja v odstotkih $p=15 % \ldots \ldots . .1$ točka

Odgovor . .............................................................................................................