| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## Peto državno tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol |
|
|
| ## 16. april 2005 |
|
|
| ## I. del: KRATKE NALOGE |
|
|
| Navodilo: V nalogah od A1 do A6 izberite črko pred pravilnim odgovorom in jo vpišite v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli. Če pustite polje v preglednici prazno, dobite 0 točk. |
|
|
| Upoštevajte, da je treba v času 90 minut rešiti naloge prvega in drugega dela. |
|
|
| | $\mathrm{A} 1$ | $\mathrm{~A} 2$ | $\mathrm{~A} 3$ | $\mathrm{~A} 4$ | $\mathrm{~A} 5$ | $\mathrm{~A} 6$ | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
| | | | | | | | |
|
|
| A1. Na nogometni tekmi kadetov so zmagali domačini. Koliko je možnih rezultatov, če je na tekmi padlo 6 golov? |
| (A) 6 |
| (B) 5 |
| (C) 4 |
| (D) 3 |
| (E) 2 |
|
|
| A2. Boštjanova sestrica napravi 10 korakov, da pride od vrat do okna v dnevni sobi. Boštjanov korak je $5 \mathrm{~cm}$ daljši, zato napravi le 9 korakov. Koliko centimetrov je dolg Boštjanov korak? |
| (A) 5 |
| (B) 40 |
| (C) 45 |
| (D) 50 |
| (E) Ni mogoče določiti. |
|
|
| A3. Kvadrat, krog in enakostranični trikotnik imajo enak obseg $36 \mathrm{~cm}$. Kateri izmed teh likov ima največjo ploščino? |
| (A) trikotnik |
| (B) $\mathrm{krog}$ |
| (C) kvadrat |
| (D) Vsi liki imajo enako ploščino. |
| (E) Ni mogoče določiti. |
|
|
| A4. Gospa Abraham je ob svojem 50. rojstnem dnevu ugotovila, da je stara prav toliko, kot njeni trije otroci skupaj. Hčerka je 6 let starejša kot mlajši sin, ki je star pol toliko kot starejši sin. Koliko je stara hčerka? |
| (A) 9 let |
| (B) 13 let |
| (C) 17 let |
| (D) 23 let |
| (E) Nič izmed navedenega. |
|
|
| A5. Katarina je spekla tri vrste peciva ter skuhala čaj in kavo, v hladilniku pa ima tudi sok. Največ koliko ljudi bo lahko Katarina različno postregla, če bo vsak dobil en kos peciva in pijačo? |
| (A) 6 |
| (B) 9 |
| (C) 15 |
| (D) 18 |
| (E) Nič izmed navedenega. |
|
|
| A6. Žan je prejšnji teden vsak dan kolesaril. Prvi dan je prevozil $20 \mathrm{~km}$, vsak naslednji dan pa $5 \mathrm{~km}$ več kot prejšnji dan. Katera trditev je pravilna? |
|
|
| (A) Vsak dan je prevozil enako dolgo pot. |
|
|
| (B) Vsak dan je bila njegova pot za manjši odstotek daljša od poti, ki jo je prevozil dan prej. |
|
|
| (C) Vsak dan je prevozil krajšo pot kot prejšnji dan. |
|
|
| (D) Vsak dan je prevozil $25 \%$ daljšo pot kot prejšnji dan. |
|
|
| (E) Sedmi dan je prevozil $55 \mathrm{~km}$. |
|
|
| ## Peto državno tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol |
|
|
| ## 16. april 2005 |
|
|
| ## II. del: DALJŠE NALOGE |
|
|
| Navodilo: Naloge od B1 do B4 drugega dela rešujte na priloženem papirju, kamor vpisujte celotne račune. Vsako nalogo skrbno preberite in odgovorite na zastavljena vprašanja. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 7 točkami. |
|
|
| Upoštevajte, da je treba v času 90 minut rešiti naloge prvega in drugega dela. |
|
|
| B1. Diagram prikazuje izostanke dijakov v enem tednu. V ponedeljek je manjkala devetina vseh dijakov iz razreda, v sredo pa so manjkala samo dekleta. |
|
|
| a) Kateri dan so manjkali 4 dijaki? |
|
|
| b) Kateri dan so bili pri pouku vsi dijaki? |
|
|
| c) Koliko je vseh dijakov v razredu? |
|
|
| d) Ali je v petek manjkalo več kot $10 \%$ dijakov? |
|
|
| e) Koliko deklet je v razredu? |
|
|
|  |
|
|
| B2. Kmet je za paradižnikove sadike plačal 14000 SIT. Gnojenje in škropljenje ga je stalo 35500 SIT. Za obiranje in pakiranje paradižnika v zaboje po $12 \mathrm{~kg}$ je plačal 150 SIT za zaboj. $\mathrm{Za}$ zaboj paradižnika je dobil 1800 SIT. |
|
|
| a) Najmanj koliko zabojev paradižnika je moral prodati, da je pokril stroške? |
|
|
| b) Skupaj je prodal $840 \mathrm{~kg}$ paradižnika. Koliko dobička je imel? |
|
|
| Opomba: Kmet ni davčni zavezanec. |
|
|
| B3. Starosti treh bratrancev, Marka, Gregorja in Denisa, so v razmerju 2:4:7. Skupaj so stari 65 let. |
|
|
| a) Koliko je star vsak izmed njih? |
|
|
| b) Čez koliko let bo Denis dvakrat toliko star kot Marko? |
|
|
| c) Koliko sta bila stara Gregor in Denis, ko se je Marko rodil? |
|
|
| B4. List papirja ima obliko pravokotnika s stranicama, dolgima $12,6 \mathrm{~cm}$ in $10 \mathrm{~cm}$. |
|
|
| a) Ta list zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica pravokotnika višina valja. Izračunajte prostornino valja, ki ga določa tako zvit papir, na kubični centimeter natančno. |
|
|
| b) Če na vogalih pravokotnika izrežemo kvadrate z dolžino stranice $3 \mathrm{~cm}$, dobimo mrežo škatle brez pokrova. Narišite skico te mreže, določite dolžino robov škatle in izračunajte prostornino te škatle. |
|
|
| c) Izračunajte površino najmanjšega pokrova, ki pokrije škatlo. |
|
|
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
|
|
| ## Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
|
|
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
|
|
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
|
|
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk. |
|
|
| ## I. DEL |
|
|
| V preglednici so zapisani pravilni odgovori. Pravilni odgovor tekmovalca se točkuje z 2 točkama, nepravilni z -1 točko, prazno polje preglednice pa z 0 točkami. |
|
|
| | Naloga | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | |
| | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | Odgovor | C | A | B | C | D | E | |
|
|
| A1. Možni izidi tekme Domači : Gostje so: $6: 0,5: 1,4: 2$. Možni so torej trije rezultati. |
|
|
| A2. Dolžino sestrinega koraka označimo z $x$, dolžino Boštjanovega pa z $x+5$. Za enako razdaljo je Boštjan napravil 9 korakov, njegova sestra pa 9 , zato je $9(x+5)=10 x$, od koder izračunamo $x=45$. Dolžina sestrinega koraka je $45 \mathrm{~cm}$, Boštjanovega pa $50 \mathrm{~cm}$. |
|
|
| A3. Dolžina stranice kvadrata je $a=\frac{36}{4}=9 \mathrm{~cm}$, ploščina kvadrata pa $81 \mathrm{~cm}^{2}$. Enakostranični trikotnik ima stranico dolgo $a=\frac{36}{3}=12 \mathrm{~cm}$ in ploščino enako $\frac{144 \cdot \sqrt{3}}{4} \doteq 62,4 \mathrm{~cm}^{2}$. Polmer kroga je $r=\frac{36}{2 \pi}$, ploščina kroga pa $\frac{\pi \cdot 36^{2}}{2^{2} \cdot \pi^{2}} \doteq 103,2 \mathrm{~cm}^{2}$. Največjo ploščino ima krog. |
|
|
| A4. Starost starejšega brata označimo z $x$. Tedaj je starost mlajšega brata enaka $\frac{x}{2}$, starost hčerke pa $6+\frac{x}{2}$. Njihova skupna starost je 50 let, zato velja $50=x+\frac{x}{2}+6+\frac{x}{2}$. Od tod sledi $x=22$ let. Hčerka je stara $6+\frac{x}{2}=17$ let. |
|
|
| A5. Katarina ima 3 vrste pijače. K vsaki lahko postreže kos peciva, ki ga izbere izmed treh različnih vrst. Torej ima $3 \times 3=9$ različnih možnosti. |
|
|
| A6. Žan je prvi dan prevozil $20 \mathrm{~km}$, drugi dan $25 \mathrm{~km}$, tretji dan $30 \mathrm{~km}$... Vsak naslednji dan je prevozil več kilometrov kot prejšnji dan. Drugi dan je prevozil $25 \%$ daljšo pot kot prvi dan, tretji dan je prevozil $20 \%$ daljšo pot kot drugi dan ... Torej je bila njegova pot vsak dan za manjši odstotek daljša od poti, ki jo je prevozil dan prej. |
|
|
| ## II. DEL |
|
|
| B1. Z diagrama preberemo, da so 4 dijaki manjkali v sredo. in da v četrtek ni manjkal noben dijak. Ker vemo, da je v ponedeljek manjkala devetina vseh dijakov, z diagrama pa preberemo, da so tedaj manjkali 3 dijaki, je v razredu 27 dijakov. V petek sta manjkala 2 dijaka, kar je manj kot $10 \%$ vseh dijakov. Ker so v sredo manjkala samo dekleta, so v razredu vsaj 4 dekleta, vendar iz tega ne moremo sklepati, koliko jih je v razredu. |
|
|
| ## Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| c) V razredu je 27 dijakov. ................................................................ 2 t |
|
|
| d) V petek je manjkalo manj kot $10 \%$ dijakov. .......................................... 2 t |
|
|
| e) Števila deklet v razredu ni mogoče določiti. ...................................................... |
|
|
| B2. Zapišemo enačbo $14000+35500+x \cdot 150=x \cdot 1800$. Rešitev enačbe $x=30$. Kmet mora prodati vsaj 30 zabojev paradižnika, da pokrije stroške. Pri prodaji 840 : $12=70$ zabojev paradižnika so stroški $14000+35500+70 \cdot 150=60000$ SIT, dohodek $70 \cdot 1800=126000$ SIT, dobiček pa $126000-60000=66000$ SIT. |
|
|
| Nalogo lahko rešimo drugače. Kmet je imel pred obiranjem $14000+35500=49500$ SIT stroškov. Ker je prodajal zaboj paradižnika po 1800 SIT in je imel za vsak zaboj 150 SIT stroškov, je v resnici prejel 1650 SIT za vsak zaboj. Prodati je moral vsaj 49500 : $1650=30$ zabojev, da je pokril stroške. Pri prodaji 840 kg paradižnika v $840: 12=70$ zabojih, je dobiček prejel le od $70-30=40$ zabojev, in sicer $1650 \cdot 40=66000$ SIT. |
|
|
| ## Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Odgovor, npr.: Prodati mora vsaj 30 zabojev paradižnika. ........................... 1 t |
|
|
| Opomba: 1 točka se odšteje, če piše, da mora prodati 30 zabojev. |
|
|
| b) stroški: $14000+35500+70150=60000$ SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 t |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Odgovor, npr.: Dobiček znaša 66000 SIT. ............................................... 1 t |
|
|
| B3. Upoštevamo razmerje starosti. Markovo starost označimo z $2 x$, Gregorjevo s $4 x$ in Denisovo s $7 x$. Zapišemo enačbo $2 x+4 x+7 x=65$, od koder je $x=5$. Marko je star 10 let, Gregor 20 let in Denis 35 let. |
|
|
| Denimo, da bo Denis čez $y$ let dvakrat toliko star kot Marko: $35+y=2(10+y)$. Od tod dobimo $y=15$. Cez 15 let bo Denis dvakrat toliko star kot Marko. |
|
|
| Marko se je rodil pred 10 leti. Tedaj je bil Gregor star 10 let, Denis pa 25 let. |
|
|
| Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Odgovor, npr.: Marko je star 10 let, Gregor 20 let in Denis 35 let. ................ 1 t |
| b) Zapisana enačba: $(10+x) \cdot 2=35+x$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Rešitev enačbe: $x=15$ ..... 1 t |
| Odgovor, npr.: Čez 15 let bo Denis dvakrat toliko star kot Marko. ..... $1 \mathrm{t}$ |
| c) Gregor je bil star 10 let, Denis pa 25 let. ..... $1 \mathrm{t}$ |
|
|
| B4. Višina valja je $10 \mathrm{~cm}$, obseg njegove osnovne ploskve pa $12,6 \mathrm{~cm}$. Iz obsega izrazimo polmer $r=\frac{12,6}{2 \pi}=\frac{6,3}{\pi} \mathrm{cm}$. Prostornina valja je $V=\pi r^{2} \cdot v=\pi \frac{(6,3)^{2}}{\pi^{2}} \cdot 10=\frac{(6,3)^{2}}{\pi} \cdot 10 \doteq 126 \mathrm{~cm}^{3}$. Dolžine robov škatle so $6,6 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$ in $3 \mathrm{~cm}$ (glej sliko). Prostornina škatle je $6,6 \cdot 4 \cdot 3=79,2 \mathrm{~cm}^{3}$. |
|
|
| Najmanjši pokrov, ki pokrije škatlo, je pravokotnik z dolžinama stranic $6,6 \mathrm{~cm}$ in $4 \mathrm{~cm}$. Njegova ploščina je $26,4 \mathrm{~cm}^{2}$. |
|
|
|  |
|
|
| Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
|
|
| $\longmapsto 12,6 \longrightarrow$ |
|
|
| a) Zapisana višina in obseg osnovne ploskve valja ( $v=10 \mathrm{~cm}, o=12,6 \mathrm{~cm}$ ) ter polmer $r=\frac{12,6}{2 \pi} \mathrm{cm}$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Izračunana prostornina valja: $V \doteq 126 \mathrm{~cm}^{3}$ ..... 1 t |
| b) Narisana skica: ..... 1 t |
| Dolžine robov škatle so: $6,6 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$ in $3 \mathrm{~cm}$ ..... $2 \mathrm{t}$ |
| Prostornina škatle: $V=79,2 \mathrm{~cm}^{3}$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| c) Površina pokrova je $26,4 \mathrm{~cm}^{2}$. ..... $1 \mathrm{t}$ |
|
|
|
|
