| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## 7. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 21. april 2007 |
|
|
| V nalogah od A1 do A6 izberite črko pred pravilnim odgovorom in jo vpišite v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli. Če pustite polje v preglednici prazno, dobite 0 točk. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
| | | | | | | | |
|
|
| Naloge od B1 do B4 rešujte na priloženem papirju, kamor vpisujte celotne račune. Vsako nalogo skrbno preberite in odgovorite na zastavljena vprašanja. Rešitev vsake izmed teh nalog bo ocenjena z 0 do 7 točkami. |
|
|
| Upoštevajte, da je treba v času 90 minut rešiti naloge prvega in drugega dela. |
|
|
| A1. Darko, Andrej in Renata stanujejo v bloku. Blok ima štiri nadstropja in pritličje. Kdo živi v četrtem nadstropju, če: |
|
|
| - Darko stanuje neposredno nad Andrejem, |
| - Renata ne živi v pritličju, |
| - se mora Andrej spustiti za dve nadstropji, če želi obiskati Renato. |
| (A) Darko |
| (B) Andrej |
| (C) Darko in Andrej |
| (D) Renata |
| (E) nihče |
|
|
| A2. Če trgovec proda izdelek po 180 evrov, ima $10 \%$ izgube. Po koliko evrov mora prodati izdelek, da bi imel $5 \%$ dobička? |
| (A) 190 |
| (B) 200 |
| (C) 207 |
| (D) 207,9 |
| (E) 210 |
|
|
| A3. Ravna drogova stojita navpično na vodoravni podlagi, oddaljena $20 \mathrm{~m}$ eden od drugega. Razdalja med njunima vrhoma je $25 \mathrm{~m}$. Koliko metrov je en drog višji od drugega? |
| (A) 5 |
| (B) 12 |
| (C) 13 |
| (D) 15 |
| (E) 32 |
|
|
| A4. Skupna ocena mojstrskega izpita je sestavljena iz $\frac{2}{5}$ ocene teoretičnega in $\frac{3}{5}$ ocene praktičnega dela. Ocene so od 1 do 10. Mojster Jaka je pomotoma zamenjal oceni za teoretični in praktični del. Kandidat je zato dobil za 1 višjo oceno, kot si jo je zaslužil. Kolikšni sta lahko kandidatovi pravi oceni za teorijo in prakso? |
| (A) teorija 6, praksa 7 |
| (B) teorija 7, praksa 6 |
| (C) teorija 4, praksa 9 |
| (D) teorija 9, praksa 4 |
| (E) teorija 5, praksa 10 |
|
|
| A5. Mija in Maja sta morali za domačo nalogo izrezati enakostranični trikotnik iz papirja. Stranica Mijinega trikotnika je dolga $5 \mathrm{~cm}$, stranica Majinega pa $10 \mathrm{~cm}$. Kolikokrat je ploščina Majinega trikotnika večja od ploščine Mijinega trikotnika? |
| (A) 2-krat |
| (B) $\sqrt{3}$-krat |
| (C) 3-krat |
| (D) 4-krat |
| (E) 5-krat |
|
|
| A6. Vemo, da je $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}=\frac{3}{4}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}=\frac{7}{8}$ in $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}=\frac{15}{16}$. Koliko je $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{7}}+\frac{1}{2^{8}} ?$ |
| (A) $\frac{1023}{1024}$ |
| (B) $\frac{127}{128}$ |
| (C) $\frac{255}{256}$ |
| (D) $\frac{511}{512}$ |
| (E) $\frac{1}{256}$ |
|
|
| B1. Bankir je želel odpreti enega od trezorjev, a je pozabil šifro. Vedel je, da sta na prvih dveh mestih šifre črki B in Ž, ni pa vedel, katera je prej. Vedel je tudi, da se šifra nadaljuje s štirimestnim številom, v katerem nastopa vsaka izmed števk 2, 5, 7 in 9 . |
|
|
| A Koliko je vseh možnosti za oblikovanje te šifre? |
|
|
| B Koliko \% možnosti ima bankir, da že v prvem poskusu odtipka pravo šifro? |
|
|
| C Bankir se je kasneje spomnil, da |
|
|
| - se šifra začne z zadnjo črko abecede, |
| - je štirimestno število v šifri deljivo s 5 , |
| - je število stotic tega števila manjše od števila tisočic, |
| - je število desetic enako vsoti števk na mestih stotic in tisočic. |
|
|
| Zapišite šifro. |
|
|
| B2. Peter se odloča za nakup novega avtomobila. Nekaj podatkov o modelu z bencinskim in modelu z dizelskim motorjem je zbral v tabelo. |
|
|
| | | cena avtomobila | stroški goriva | poraba | |
| | :--- | :---: | :---: | :---: | |
| | bencinski motor | 13300 EUR | 0,940 EUR $/$ liter | 7,4 litra $/ 100 \mathrm{~km}$ | |
| | dizelski motor | 14970 EUR | 0,892 EUR $/$ liter | 5,2 litra $/ 100 \mathrm{~km}$ | |
|
|
| A Za koliko $\%$ je cena modela z dizelskim motorjem višja od tistega z bencinskim? Rezultat zaokrožite na eno decimalko natančno. |
|
|
| B Koliko goriva bi porabil avtomobil z bencinskim in koliko avtomobil z dizelskim motorjem, če bi prevozil $15000 \mathrm{~km}$ ? |
|
|
| C Čez koliko mesecev bi prihranek zaradi stroškov goriva pokril razliko v ceni med dražjim in cenejšim modelom, če bi letno prevozil $15000 \mathrm{~km}$ ? |
|
|
| B3. Temperaturo merimo v stopinjah Celzija ( $\left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$, ponekod pa uporabljajo stopinje Fahrenheita ( ${ }^{\circ} \mathrm{F}$ ). Oba načina povezuje enačba $T_{F}=\frac{9}{5} T_{C}+32$, pri čemer $T_{F}$ pomeni temperaturo, izraženo v stopinjah Fahrenheita, $T_{C}$ pa temperaturo, izraženo v stopinjah Celzija. |
|
|
| A Koliko ${ }^{\circ} \mathrm{F}$ je $10^{\circ} \mathrm{C}$ ? |
|
|
| B Koliko ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ je $14^{\circ} \mathrm{F}$ ? |
|
|
| C Narišite graf temperature Fahrenheita v odvisnosti od temperature Celzija. |
|
|
| B4. V akvariju v obliki kvadra dolžine $1 \mathrm{~m}$, širine $60 \mathrm{~cm}$ in višine $40 \mathrm{~cm}$ je voda (glej levo sliko). |
|  |
|
|
| Akvarij nagnemo tako, da se podlage dotika vzdolž $60 \mathrm{~cm}$ dolgega roba. Nekaj vode izteče, preostala voda v akvariju pa sega do polovice najdaljšega roba (glej desno sliko). Kako visoko bi segala voda, če bi akvarij postavili v vodoravno lego? Rezultat izrazite $\mathrm{v}$ centimetrih. |
|
|
| ## 7. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol |
|
|
| Državno tekmovanje, 21. april 2007 |
|
|
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
|
|
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
|
|
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
|
|
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi k rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
|
|
|
|
| ## I. DEL |
|
|
| V preglednici so zapisani pravilni odgovori. Pravilni odgovor tekmovalca se točkuje z 2 točkama, nepravilni $\mathrm{z}-1$ točko, prazno polje preglednice pa $\mathrm{z} 0$ točkami. |
|
|
| | $\mathrm{A} 1$ | $\mathrm{~A} 2$ | $\mathrm{~A} 3$ | $\mathrm{~A} 4$ | $\mathrm{~A} 5$ | $\mathrm{~A} 6$ | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{E}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{D}$ | C | |
|
|
| A1. Ker Renata ne živi v pritličǰu, lahko živi v ostalih štirih nadstropjih. Andrej živi 2 nadstropji višje kot Renata, torej v 3. ali 4. nadstropju. Ker je nad Andrejem še Darko, živi Andrej lahko le v 3., Darko pa v 4. nadstropju. |
| A2. Redna cena je $\frac{180 \cdot 100}{90}$ in znaša 200 evrov. Če želi trgovec prodati izdelek s $5 \%$ dobičkom, ga mora prodati za 210 evrov. |
| A3. Po Pitagorovem izreku je $x^{2}=(25 \mathrm{~m})^{2}-(20 \mathrm{~m})^{2}$. Daljši drog je višji za $x=15 \mathrm{~m}$. |
| A4. Kandidat je dobil pri teoriji oceno 9 , pri praksi pa 4 , saj je $\frac{2}{5} \cdot 9+\frac{3}{5} \cdot 4=6$ in $\frac{2}{5} \cdot 4+\frac{3}{5} \cdot 9=7$. V ostalih primerih to ne velja. |
| A5. Izračunamo ploščini obeh enakostraničnih trikotnikov. Če je $a_{1}=5 \mathrm{~cm}$, je $S_{1}=\frac{25 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}$. Če je $a_{2}=10 \mathrm{~cm}$, je $S_{2}=\frac{100 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščina $S_{2}$ je 4 -krat večja od ploščine $S_{1}$. |
| A6. V iskani vsoti je števec za ena manjši od imenovalca. Imenovalec ima vrednost največje potence med imenovalci seštevancev na levi strani izraza. |
|
|
| ## II. DEL |
|
|
| B1. A Možnih kombinacij je $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=48$. Lahko jih tudi zapišemo in preštejemo. |
|
|
| B Bankir ima $\frac{1}{48} \approx 0,02=2 \%$ možnosti, da že v prvem poskusu najde pravo šifro. |
|
|
| C Šifra se začne s črko Ž, sledi ji črka B. Štirimestno število, ki sledi črkam, se končuje s 5. Števke 2,7 in 9 , ki ostanejo na razpolago, razporedimo po naslednjem ključu: 9 na mestu desetic je vsota števk 2 in 7 na mestu stotic in tisočic. Upoštevamo, da je število stotic manjše od števila tisočic in dobimo šifro ŽB7295. |
|
|
| Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
| A Za kombinaciji s črkami: 2 možnosti ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Za kombinacije s številkami: 24 možnosti ..... $1 \mathbf{t}$ |
| Vseh možnih kombinacij je 48. ..... $1 \mathbf{t}$ |
| B Izračun: $\frac{1}{48}=0,02=2 \%$ ..... $1 \mathbf{t}$ |
| Odgovor: Bankir ima $2 \%$ možnosti, da v prvem poskusu najde pravo šifro. ..... $1 \mathbf{t}$ |
| C Šifra je ŽB7295. ..... $2 \mathrm{t}$ |
|
|
| B2. A Cena modela z dizelskim motorjem je za $\frac{14970-13300}{13300} \cdot 100=12,6 \%$ višja od cene modela $z$ bencinskim motorjem. |
|
|
| B Avtomobil z bencinskim motorjem bi porabil v enem letu $15000 \mathrm{~km} \cdot \frac{7,4 \mathrm{l}}{100 \mathrm{~km}}=1110 \mathrm{l}$, model z dizelskim motorjem pa $15000 \mathrm{~km} \cdot \frac{5,2 \mathrm{l}}{100 \mathrm{~km}}=780 \mathrm{l}$. |
|
|
| C Če Peter kupi avtomobil z dizelskim motorjem, porabi za gorivo letno $1110 l \cdot \frac{0,940}{l}-$ $780 l \cdot \frac{0,892}{l}=347,64$ evrov manj. Petru bi se večji stroški ob nakupu avtomobila z dizelskim motorjem povrnili v $\frac{14970-13300}{347,64}=4,804$ leta oz. 58 mesecih. |
|
|
| Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
| A Cena je višja za $12,6 \%$. ..... $2 \mathrm{t}$ |
| B Izračunana letna poraba bencinskega motorja: 11101. ..... $1 \mathbf{t}$ |
| Izračunana letna poraba dizelskega motorja: 7801. ..... $1 \mathrm{t}$ |
| C Izračun: $1110 \cdot 0,940-780 \cdot 0,892=347,64$ evra manj goriva ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Izračun: $\frac{14970-13300}{347,64}=\frac{1670}{347,64}=4,804$ leta $=58$ mesecev. ..... 1 t |
| Odgovor: Petru bi se stroški povrnili v 58 mesecih. ..... 1 t |
|
|
| B3. A $10^{\circ} \mathrm{C}$ je $\frac{9}{5} \cdot 10+32=50^{\circ} \mathrm{F}$. |
|
|
| B Iskana temperatura $T_{C}$ je rešitev enačbe $14=\frac{9}{5} \cdot T_{C}+32$. Temperatura $T_{C}=-10^{\circ} \mathrm{C}$. |
| |
| C Odvisnost temperature Fahrenheita od temperatute Celzija prikazuje graf: |
| |
|  |
| |
| Točkovnik: Skupaj: 7 točk |
| A Zapis enačbe: $T_{F}=\frac{9}{5} \cdot 10+32$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Izračunana temperatura v Fahrenheitih: $T_{F}=50^{\circ} \mathrm{F}$ ..... 1 t |
| B Zapis enačbe: $14=\frac{9}{5} \cdot T_{C}+32$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Izračunana temperatura $\mathrm{v}^{\circ} \mathrm{C}: T_{C}=-10^{\circ} \mathrm{C} \ldots$ ..... $1 \mathrm{t}$ |
| C Pravilno označene osi ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Pravilno narisana premica ..... $1 \mathbf{t}$ |
| Natančnost, npr. ordinatno os seka pri 32 in poteka skozi točko $(10,50)$ oz. dobro |
| označeni ustrezni točki, skozi kateri poteka premica. ..... $1 \mathbf{t}$ |
| B4. Prostornino vode v akvariju s podatki $a=1 \mathrm{~m}, b=60 \mathrm{~cm}, \mathrm{c}=40 \mathrm{~cm}$ izračunamo po |
| formuli za prostornino tristrane prizme, ki ima za osnovno ploskev pravokotni trikotnik |
| s katetama $c$ in $\frac{a}{2}$, in višino $b: V_{\text {vode }}=\frac{c \cdot \frac{a}{2}}{2} \cdot b=\frac{40 \mathrm{~cm} \cdot 50 \mathrm{~cm}}{2} \cdot 60 \mathrm{~cm}=60000 \mathrm{~cm}^{3}$. Ko je akvarij |
| v vodoravni legi, sega voda do višine $v=\frac{V_{\text {vode }}}{a b}=\frac{60000 \mathrm{~cm}^{3}}{100 \mathrm{~cm} \cdot 60 \mathrm{~cm}}=10 \mathrm{~cm}$. |
| Točkovnik: ..... Skupaj: 7 točk |
| Ugotovitev, da je osnovna ploskev 3-strane prizme pravokotni trikotnik s katetama $40 \mathrm{~cm}$ |
| in $50 \mathrm{~cm}$ |
| |
| $1 \mathrm{t}$ |
| Izračun prostornine 3-strane prizme: $V=60000 \mathrm{~cm}^{3}$ ..... $2 \mathrm{t}$ |
| (Tekmovalec dobi 1 točko, če je iz računa razviden izračun velikosti osnovne ploskve $O=$ |
| $1000 \mathrm{~cm}^{2}$, prostornina $V$ pa je pri tem nepravilno izračunana.) |
| Izračun višine kvadra: $v=10 \mathrm{~cm}$ |
| |
| $2 \mathrm{t}$ |
| Dosleden zapis enot ..... $1 \mathrm{t}$ |
| Odgovor: Voda v akvariju sega $10 \mathrm{~cm}$ visoko. ..... $1 \mathrm{t}$ |
| |
| |
