Društvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije
Jadranska ulica 19
1000 Ljubljana
Tekmovalne naloge DMFA Slovenije
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.
d MFA
9. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol
Področno tekmovanje, 1. april 2009
Prilepi nalepko s šifro
Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo.
A1. Katero izmed naslednjih števil je negativno? (A) $(-1)^{200}$ (B) $-\frac{(-2)^{3}}{2}$ (C) $-(-3)^{12}$ (D) $(-1-1)^{10}$ (E) $-(-3)$
A2. Iz mreže na desni sliki oblikujemo kocko. Katera črka je napisana na mejni ploskvi, ki leži nasproti mejne ploskve, na kateri je napisana črka S? (A) K (B) $\mathrm{U}$ (C) $\mathrm{M}$ (D) I (E) $\mathrm{O}$
A3. Septembra lani so Združene države Amerike za pomoč svojemu gospodarstvu namenile 700 milijard dolarjev finančne pomoči. Če bi ta denar razdelili med 2 milijona Slovencev, bi vsak prejel (A) $350000 $$ (B) $35000 $$ (C) $3500 $$ (D) $350 $$ (E) $35 $$
A4. Vrh hriba in dolino povezujejo 4 poti. Na koliko načinov se lahko povzpnemo na hrib in z njega spustimo, če se lahko vrnemo po isti poti? (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) Nič od navedenega.
A5. Urar je izdelal nenavadno uro. Minutni kazalec se vrti kot na običajni uri, urni kazalec pa v nasprotni smeri. Pri testiranju je postavil kazalca v izhodiščni položaj (ura kaže 12.00). Koliko meri manjši kot med kazalcema po treh urah in dvajsetih minutah? (A) $140^{\circ}$ (B) $150^{\circ}$ (C) $165^{\circ}$ (D) $175^{\circ}$ (E) $220^{\circ}$
A6. Obzidje starega gradu je visoko $1.9 \mathrm{m}$ in ima $2.5 \mathrm{m}$ dolgo senco. Koliko je visok grajski stolp, ki ima ob istem času $41.5 \mathrm{m}$ dolgo senco?
(A) $54.60 \mathrm{m}$
(B) $40.70 \mathrm{m}$
(C) $31.54 \mathrm{m}$
(D) $20.10 \mathrm{m}$
(E) $10.80 \mathrm{m}$
A7. Zaloga vode zadošča 60 dni za 84-glavo čredo ovac. Za koliko dni bi zadoščala ta zaloga vode, če bi čredo zmanjšali za 21 ovac? (A) 70 dni (B) $75 \mathrm{dni}$ (C) 80 dni (D) 120 dni (E) $240 \mathrm{dni}$
A8. Pri servisiranju osebnega avtomobila je treba zamenjati olje vsakih $7500 \mathrm{km}$, zračni filter vsakih $15000 \mathrm{km}$, svečke vsakih $25000 \mathrm{km}$, zavorno tekočino vsakih $30000 \mathrm{km}$. Po koliko prevoženih kilometrih bo prvič potrebno na servisu hkrati zamenjati olje, zračni filter, svečke in zavorno tekočino?
(A) 60000
(B) 90000
(C) 120000
(D) 150000
(E) 300000
A9. V ravnini ležijo premica $p$ ter premici $k$ in $h$, ki sta nanjo pravokotni. Katera izmed navedenih trditev ne more biti resnična? (A) $k | h$ (B) $k \perp h$ (C) $k \perp p$ (D) Premici $h$ in $p$ se sekata. (E) Premici $k$ in $h$ nimata skupne točke.
A10. Velikosti notranjih kotov nekega trikotnika, merjene v stopinjah, so $x-20^{\circ}, 2 x-40^{\circ}$ in $5 x$. Koliko je $x$ ? (A) $30^{\circ}$ (B) $40^{\circ}$ (C) $50^{\circ}$ (D) $100^{\circ}$ (E) $180^{\circ}$
B1. Jan je pripravil 30 litrov pijače iz sadnega sirupa in vode v razmerju 1:7. Pijačo je nalil v posodo v obliki valja z notranjim premerom $32 \mathrm{cm}$ in višino $48 \mathrm{cm}$.
A Koliko sadnega sirupa in koliko vode je potreboval za pijačo?
B Kolikšna je prostornina posode?
C Koliko centimetrov je bila gladina natočene pijače pod zgornjim robom posode?
B2. Dijaki Gregor, Matej in Miran so popravljali pisno oceno pri matematiki. V spodnji tabeli so prikazani rezultati prvega in ponavljalnega testa.
| Prvi test | Ponavljalni test | |||
|---|---|---|---|---|
| Dijak | dosežene točke | možne točke | dosežene točke | možne točke |
| Gregor | 24 | 60 | 32 | 40 |
| Matej | 35 | 70 | 54 | 60 |
| Miran | 27 | 90 | 45 | 50 |
A Za vsakega dijaka izračunaj odstotek doseženih točk prvega in ponavljalnega testa. Pri katerem dijaku je razlika odstotkov doseženih točk največja?
B Končni rezultat je enak vsoti $\frac{1}{4}$ doseženega odstotka točk iz prvega testa in $\frac{3}{4}$ doseženega odstotka točk iz ponavljalnega testa.
Kolikšne ocene so dosegli dijaki (glej kriterij na desni)?
| Končni rezultat | Ocena |
|---|---|
| $0-50$ | 1 |
| $51-60$ | 2 |
| $61-75$ | 3 |
| $76-90$ | 4 |
| $91-100$ | 5 |
B3. Trgovina s športno opremo ima privlačno ponudbo: ob nakupu treh izdelkov vsakemu kupcu pripada popust v vrednosti najcenejšega izdelka. Jakob želi kupiti pulover, ki stane 30 evrov, hlače, ki stanejo 50 evrov, in smučarsko čelado, ki stane 20 evrov.
A Koliko bo Jakob skupaj plačal za nakup puloverja, hlač in smučarske čelade? Koliko odstotkov znaša njegov prihranek glede na skupno prodajno ceno teh treh izdelkov?
B Zapiši primer nakupa, ko bi bil odstotek popusta največji. Kolikšen bi bil v tem primeru odstotek prihranka glede na skupno prodajno ceno teh treh izdelkov?
B4. Soboslikar je prepleskal steno, ki ima obliko enakokrakega trikotnika z osnovnico, dolgo $32 \mathrm{dm}$, in krakoma, dolgima $2 \mathrm{~m}$. Z modro barvo je prepleskal $25 %$ stene, ostali del stene pa z belo barvo. Koliko kvadratnih metrov stene je prepleskal z modro barvo?
9. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol
Področno tekmovanje, 1. april 2009
Rešitve nalog in točkovnik
Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.
Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki
- smiselno upošteva besedilo naloge,
- vodi k rešitvi problema,
- je matematično pravilen in popoln.
$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0.5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C | C | A | D | A | C | C | D | B | A |
A1 Ker je $(-3)^{12}=3^{12}>0$, je $-(-3)^{12}<0$. Ostala števila so pozitivna.
A2 Ploskev s črko $\mathrm{M}$ je edina ploskev v mreži kocke, ki s ploskvijo s črko S ne more imeti skupnega roba oziroma oglišča, zato sta ploskvi nasprotni.
A3 Če delimo $700 \cdot 10^{9} $ \mathrm{z} 2 \cdot 10^{6}$, dobimo $350 \cdot 10^{3}=350000 $$.
A4 Vseh možnosti je po osnovnem izreku kombinatorike $4 \cdot 4=16$.
A5 Urni kazalec opiše pozitivni kot $90^{\circ}+\frac{1}{3} \cdot 30^{\circ}=100^{\circ}$, minutni kazalec pa negativni kot $120^{\circ}$. Manjši kot med kazalcema je $360^{\circ}-\left(100^{\circ}+120^{\circ}\right)=140^{\circ}$.
A6 Označimo višino stolpa z $x$. Iz sorazmerja
tedaj sledi $x=31.54 \mathrm{~m}$.
A7 V okrnjeni čredi je 63 živali. Zaradi obratnega sorazmerja sledi
kjer je $n$ število dni. Za 63 živali bo voda zadoščala za 80 dni.
A8 Najmanjši skupni večkratnik števil 7500, 15000, 25000 in 30000 je 150000.
A9 Premici $k$ in $h$ sta vzporedni, kar sta pravokotni na $p$.
A10 Vsota notranjih kotov v trikotniku je $180^{\circ}$. Iz enačbe
sledi $x=30^{\circ}$.
DALJŠE NALOGE
B1. A Iz razmerja 1:7 zapišemo enačbo $8 x=30$. Sorazmernostni koeficient je $x=3.75$.
$x=3.75$ 1 točka
Zapisan odgovor: Jan potrebuje $3.75 \ell$ soka in $26.25 \ell$ vode. 1 točka
B Uporabimo formulo za prostornino valja
C Pijača seže do višine
$v_{1}=\frac{V_{1}}{\pi r^{2}} \doteq \frac{30}{3.14 \cdot 1.6^{2}} \doteq 3.73 \mathrm{dm} \doteq 37 \mathrm{~cm}$.
Gladina natočene pijače je približno
$v-v_{1}=48 \mathrm{cm}-37 \mathrm{cm}=11 \mathrm{~cm}$ pod robom posode.
1 točka
B2. A Odstotki doseženih točk so:
| Dijak | prvi test | ponavljalni test |
|---|---|---|
| Gregor | $\frac{24}{60}=0,4=40 %$ | $\frac{32}{40}=0,8=80 %$ |
| Matej | $\frac{35}{70}=0,5=50 %$ | $\frac{54}{60}=0,9=90 %$ |
| Miran | $\frac{27}{90}=0,3=30 %$ | $\frac{45}{50}=0,9=90 %$ |
Razlika je največja pri Miranu. . 1 točka
B Ocene dijakov so:
| Dijak | Ocena | |
|---|---|---|
| Gregor | $0,25 \cdot 0,4+0,75 \cdot 0,8=0,70=70 %$ | 3 |
| Matej | $0,25 \cdot 0,5+0,75 \cdot 0,9=0,80=80 %$ | 4 |
| Miran | $0,25 \cdot 0,3+0,75 \cdot 0,9=0,75=75 %$ | 3 |
Ocene dijakov so Gregor - 3, Matej - 4, Miran - 3 . 3 točke (Dijak dobi 1 točko za vsako pravilno določeno oceno, če je razvidna pravilna pot reševanja.)
B3. A Jakob je za nakup plačal 80 EUR. .1 točka
Njegov prihranek znaša 20 EUR, kar je $20 %$. 2 točki
B Recimo, da izdelki stanejo $a, b$ in $c$ evrov, kjer je $a \leq b \leq c$. Potek za prihranek velja $\frac{a}{a+b+c} \leq \frac{a}{a+a+a}=\frac{1}{3}$. Enakost velja, le če je $a=b=c$. (Tekmovalcem tega ni
Če bi izbrali 3 cenovno enakovredne izdelke, bi bil prihranek v odstotkih največji. . . 1 točka
Prihranek je približno $33.3 %$.
B4. Izračunana višina trikotnika: $v=\sqrt{20^{2}-16^{2}}=\sqrt{144}=12 \mathrm{dm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .2$ točki Izračunana ploščina trikotnika: $S=\frac{32 \cdot 12}{2}=192 d m^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka
Odgovor: Z modro barvo je prepleskal $0.48 \mathrm{~m}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (Dijak dobi zadnjo točko za pravilno pretvarjanje enot.)