| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## dMFA |
|
|
| ## 10. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol <br> Področno tekmovanje, 31. marec 2010 |
|
|
| Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpiši v levo tabelo. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
| | | | | | | | | | | | |
|
|
|  |
|
|
| A1. Kateremu decimalnemu številu je enako razmerje ploščin pravokotnikov $A E F D$ in $A B C D$ (glej sliko)? |
| (A) 0,2 |
| (B) 0,3 |
| (C) 0,4 |
| (D) 0,5 |
| (E) 0,6 |
|
|
| A2. Katero izmed navedenih števil je enajst milijonov enajst tisoč |
|
|
|  |
| enajst? |
| (A) 11001111 |
| (B) 11011011 |
| (C) 11011111 |
| (D) 11111111 |
| (E) 101101011 |
|
|
| A3. Manca je zapisala vsa trimestna števila, v katerih so nastopale števke 1, 4 in 7, vsaka enkrat. Koliko izmed teh števil je bilo deljivih z 2? |
| (A) 0 |
| (B) 1 |
| (C) 2 |
| (D) 3 |
| (E) 4 |
|
|
| A4. V tovarni so $6,5 \mathrm{t}$ sladkorja zapakirali v vrečke po $2 \mathrm{~kg}$. Koliko vrečk so napolnili? |
| (A) 3000 |
| (B) 3200 |
| (C) 3250 |
| (D) 3500 |
| (E) 3600 |
|
|
| A5. Koliko je velik največji notranji kot trikotnika $A B C$ (glej sliko)? |
| (A) $44^{\circ}$ |
| (B) $89^{\circ}$ |
| (C) $90^{\circ}$ |
| (D) $176^{\circ}$ |
| (E) Nemogoče je določiti. |
|
|
|  |
|
|
| A6. Na zemljevidu je razdalja med dvema krajema enaka $8 \mathrm{~cm}$. V kakšnem merilu je narisan zemljevid, če je razdalja med tema krajema enaka $4 \mathrm{~km}$ ? |
| (A) $1: 2$ |
| (B) $1: 5$ |
| (C) $1: 4000$ |
| (D) $1: 5000$ |
| (E) $1: 50000$ |
|
|
| A7. Za naravno število $n$ je $n!=1 \cdot 2 \cdots n$, npr. $3!=1 \cdot 2 \cdot 3$ in $4!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$. Katero število je enako vrednosti ulomka $\frac{8!}{6!}$ ? |
| (A) $\frac{4}{3}$ |
| (B) 4 |
| (C) 8 |
| (D) 28 |
| (E) 56 |
|
|
| A8. Gašper je na list papirja narisal kvadrat, krog in enakostranični trikotnik. Obseg vsakega izmed teh likov je $7,2 \mathrm{~cm}$. V katerem primeru so ti liki razvrščeni od lika z najmanjšo ploščino do lika z največjo ploščino? |
| (A) trikotnik, kvadrat, krog |
| (B) krog, kvadrat, trikotnik |
| (C) trikotnik, krog, kvadrat |
| (D) krog, trikotnik, kvadrat |
| (E) kvadrat, trikotnik, krog |
|
|
| A9. V kvadratu $A B C D$ so narisani kvadrati $K, L$ in $M$ (glej sliko). Ploščina kvadrata $K$ je $4 \mathrm{~cm}^{2}$, ploščina kvadrata $L$ je $16 \mathrm{~cm}^{2}$ in ploščina kvadrata $M$ je $1 \mathrm{~cm}^{2}$. Koliko kvadratnih centimetrov je ploščina kvadrata $A B C D$ ? |
| (A) 30 |
| (B) 36 |
| (C) 55 |
| (D) 64 |
| (E) Nemogoče je določiti. |
|
|
| A10. Na koliko načinov lahko blagajnik izplača 30 EUR, če ima na |
|
|
|  |
| voljo le bankovce za 5 EUR, 10 EUR in 20 EUR? |
| (A) 3 |
| (B) 4 |
| (C) 5 |
| (D) 6 |
| (E) 7 |
|
|
| B1. Prikaz s stolpci ponazarja število zadetkov na tekmah predtekmovanja na zadnjem svetovnem prvenstvu. |
|
|
| A Koliko tekem je bilo odigranih? |
|
|
| B Koliko zadetkov je bilo v povprečju doseženih na tekmo? Rezultat zapiši na dve decimalni mesti natančno. |
|
|
| C Kolikšen je odstotek tekem, na katerih so moštva dosegla manj zadetkov od povprečja? |
|
|
|  |
|
|
| B2. Za označevanje trgovskega blaga je danes najpogosteje v rabi črtna koda EAN13. Črtna koda je sestavljena iz slikovnega dela in 13 števk, po vrsti označenih $\mathrm{z} a_{1}, \ldots, a_{13}$. Za te števke mora veljati, da je vrednost izraza |
|
|
| $$ |
| a_{1}+3 a_{2}+a_{3}+3 a_{4}+\ldots+a_{11}+3 a_{12}+a_{13} |
| $$ |
| |
| deljiva z 10 . |
| |
| A Z računom preverite, da je koda EAN13 na desni sliki veljavna. |
| |
|  |
| |
| B Določite taki števki $a_{8}$ in $a_{13}$, da bo koda EAN13 na desni sliki veljavna. Zapišite vsaj tri rešitve. |
| |
|  |
| |
| B3. Šivilja je imela blago v obliki kvadrata z $8 \mathrm{~cm}$ dolgo stranico. Iz njega je izrezala dva enakokraka trapeza in dobila pentljo (glej sliko, pentljo predstavlja osenčeni lik). Dolžini osnovnic izrezanih trapezov sta $8 \mathrm{~cm}$ in $2 \mathrm{~cm}$, višini pa $3 \mathrm{~cm}$. |
| |
| A Koliko kvadratnih centimetrov je ploščina enega izrezanega trapeza? |
| |
| B Koliko kvadratnih centimetrov je ploščina pentlje? |
| |
|  |
| |
| C Kolikšen del ploščine kvadrata predstavlja ploščina pentlje? Rezultat izrazite z decimalnim številom na 2 decimalni mesti natančno. |
| |
| B4. V vsakem kubičnem metru vode, ki teče v Hladno jamo, je raztopljenega $75 \mathrm{~g}$ apnenca. |
| |
| A Koliko gramov apnenca je v $350 \ell$ vode, ki priteče v Hladno jamo? Rezultat zapišite na dve decimalni mesti natančno. |
| |
| B V zbiralniku, polnem vode iz Hladne jame, je raztopljeno $35 \mathrm{~g}$ apnenca. Kolikšna je prostornina zbiralnika? Rezultat zapišite na liter natančno. |
| |
| C Hladno jamo krasi mogočen, 1000-kilogramski kapnik, v celoti sestavljen iz apnenca. Najmanj koliko kubičnih metrov vode je priteklo v Hladno jamo, da se je iz vode lahko izločilo toliko apnenca? |
| |
| ## 10. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike za dijake poklicnih šol |
| |
| Področno tekmovanje, 31. marec 2010 |
| |
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| $V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0.5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk. |
| |
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
| | C | B | C | C | B | E | E | A | B | D | |
| |
| A1. Razmerje ploščin $p_{A E F D}$ in $p_{A B C D}$ je enako $\frac{2}{5}=0,4$. |
| A2. Število enajst milijonov enajst tisoč enajst zapišemo kot 11011011. |
| A3. Število je deljivo z dve, če je njegova zadnja števka soda. Iz števk 1, 4 in 7 lahko sestavimo 2 števili, deljivi z 2: 174 in 714 . |
| A4. Napolnili so $6,5 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg}: 2 \mathrm{~kg}=3,25 \cdot 10^{3}=3250$ vrečk sladkorja. |
| A5. Ker je vsota notranjih kotov v trikotniku enaka $180^{\circ}$, lahko zapišemo enačbo $x+\left(x+3^{\circ}\right)+$ $\left(2 x+1^{\circ}\right)=180^{\circ}$. Rešitev enačbe je $x=44^{\circ}$. Največji kot je $2 x+1^{\circ}=89^{\circ}$. |
| A6. Razmerje $8 \mathrm{~cm}: 4 \mathrm{~km}=8 \mathrm{~cm}: 400000 \mathrm{~cm}=1: 50000$. |
| A7. Če upoštevamo, da je $8!=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ in $6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$, je $\frac{8!}{6!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=8 \cdot 7=56$. |
| A8. Iz podatka za obseg $o=7,2 \mathrm{~cm}$ izračunamo stranico enakostraničnega trikotnika $a_{t r}=$ $\frac{7,2 \mathrm{~cm}}{4}=1,8 \mathrm{~cm}$, stranico kvadrata $a_{k v}=\frac{7,2 \mathrm{~cm}}{4}=1,8 \mathrm{~cm}$ in polmer kroga $r_{k r}=\frac{7,2 \mathrm{~cm}}{2 \pi}=$ $1,15 \mathrm{~cm}$. Ploščina enakostraničnega trikotnika je $S_{t r}=\frac{a_{t r}^{2} \sqrt{3}}{4}=2,49 \mathrm{~cm}^{2}$, ploščina kvadrata je $S_{k v}=a_{k v}^{2}=3,24 \mathrm{~cm}^{2}$ in ploščina kroga $S_{k r}=\pi r^{2}=4,15 \mathrm{~cm}^{2}$. Razvrstitev ploščin od najmanjše do največje je: trikotnik, kvadrat, krog. |
| A9. Blagajnik lahko izplača 30 EUR z bankovci za 5 EUR, 10 EUR in 20 EUR na šest načinov: |
| |
| - 1 bankovec za 20 EUR in 1 bankovec za 10 EUR, |
| - 1 bankovec za 20 EUR in 2 bankovca za 5 EUR, |
| - 3 bankovci za 10 EUR, |
| - 2 bankovca za 10 EUR in 2 bankovca za 5 EUR, |
| - 1 bankovec za 10 EUR in 4 bankovci za 5 EUR, |
| - 6 bankovcev po 5 EUR. |
| |
| A10. Stranica kvadrata $K$ meri $\sqrt{4 \mathrm{~cm}^{2}}=2 \mathrm{~cm}$, stranica kvadrata $L$ pa $\sqrt{16 \mathrm{~cm}^{2}}=4 \mathrm{~cm}$. Stranica kvadrata $A B C D$ je vsota stranic kvadratov $K$ in $L$; torej $6 \mathrm{~cm}$. Ploščina kvadrata $\mathrm{D}$ je $(6 \mathrm{~cm})^{2}=36 \mathrm{~cm}^{2}$. |
| |
| B1. Iz prikaza s stolpci razberemo. Odigranih je bilo $5+8+14+9+8+2+2=48$ tekem. V povprečju je bilo doseženih $\frac{5 \cdot 0+8 \cdot 1+14 \cdot 2+9 \cdot 3+8 \cdot 4+2 \cdot 5+2 \cdot 6}{48}=2,4375$ zadetkov na tekmo. Na 27 tekmah so moštva dosegla manj zadetkov od povprečja, kar predstavlja $\frac{27}{48}=56,25 \%$. |
| |
| A Odgovor, npr.: Odigranih je bilo 48 tekem. |
| |
| B Izračunano povprečno število zadetkov na tekmo: |
| |
| $\frac{5 \cdot 0+8 \cdot 1+14 \cdot 2+9 \cdot 3+8 \cdot 4+2 \cdot 5+2 \cdot 6}{48}=2,4375 \approx 2,44$ $1 \mathrm{t}$ |
| |
| Odgovor, npr.: V povprečju je bilo doseženih 2,44 zadetkov na tekmo. $1 \mathbf{t}$ |
| |
| C Izračunan procent $\frac{27}{48}=0,5625=56,25 \% \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ t Odgovor, npr.: Moštva so dosegla manj zadetkov od povprečja na $56,25 \%$ tekem. . 1 t |
| |
| B2. Koda pod (A) je veljavna, saj je |
| |
| $$ |
| 0+3 \cdot 1+2+3 \cdot 3+4+3 \cdot 5+6+3 \cdot 7+8+3 \cdot 9+7+3 \cdot 7+7=130 |
| $$ |
| |
| število 130 pa je deljivo z 10. Pri vprašanju (B) je rešitev več. Da je koda veljavna, mora biti vsota |
| |
| $$ |
| 1+3 \cdot 3+4+3 \cdot 5+8+3 \cdot 7+0+3 \cdot a_{8}+6+3 \cdot 2+1+3 \cdot 5+a_{13}=86+3 a_{8}+a_{13} |
| $$ |
| |
| deljiva z 10. $\mathrm{Za}\left(a_{8}, a_{13}\right)$ dobimo naslednje možne rešitve: $(0,4),(1,1),(2,8),(3,5),(4,2)$, $(5,9),(6,6),(7,3),(8,0),(9,7)$. |
| |
|  |
| |
| Utemeljitev z računom. .................................................................... 1 t |
| |
| B Zapisane vsaj tri od možnih rešitev za $a_{8}$ in $a_{13}$, tako da je vsota $1+3 \cdot 3+4+3 \cdot 5+8+$ $3 \cdot 7+0+3 \cdot a_{8}+6+3 \cdot 2+1+3 \cdot 5+a_{13}=86+3 a_{8}+a_{13}$ deljiva z 10. Za vsako od zapisanih rešitev dobi tekmovalec 1 točko. 3 krat $1 \mathrm{t}$ Op.: Čeprav tekmovalec zapiše več rešitev, lahko dobi največ 3 točke. |
| |
| B3. Ploščino izrezanega trapeza izračunamo po formuli $S=\frac{(a+c) v}{2}$, pri čemer je $a=8 \mathrm{~cm}, c=$ $2 \mathrm{~cm}$ in $v=3 \mathrm{~cm}$. Ploščina je $S=15 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščino pentlje predstavlja preostanek ploščine kvadrata s stranico $8 \mathrm{~cm}$, potem ko je šivilja izrezala dva enakokraka trapeza: $S_{\text {pentlje }}=$ $S_{\text {kvadrata }}-2 \cdot S_{\text {trapeza }}=64 \mathrm{~cm}^{2}-2 \cdot 15 \mathrm{~cm}^{2}=34 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščina pentlje predstavlja $\frac{34 \mathrm{~cm}^{2}}{64 \mathrm{~cm}^{2}}=$ $0,5313 \approx 0,53$ del oz. $53 \%$ ploščine kvadrata. |
|
|
|  |
|
|
| B Izračun ploščine pentlje po formuli ali s preštevanjem kvadratkov: $S=34 \mathrm{~cm}^{2} \ldots . \mathbf{1 t}$ Zapisan odgovor, npr.: Pentlja ima ploščino $34 \mathrm{~cm}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ t |
|
|
| C Izračunan in pravilno zaokrožen del ploščine pentlje glede na ploščino kvadrata: 0,53 ali $53 \%$. $2 \mathbf{t}$ Op.: Neustrezno ali napačno zaokrožen odgovor prinese tekmovalcu le 1 točko. |
|
|
| B4. Pri izračunih si pomagamo s sklepnim računom. V 350 litrih vode je $\frac{350 \ell .75 \mathrm{~g}}{1000 \ell}=26,25 \mathrm{~g}$ apnenca. Apnenec $\mathrm{z}$ maso $35 \mathrm{~g}$ je $\mathrm{v} \frac{35 \mathrm{~g} \cdot 1000 \ell}{75 \mathrm{~g}}=466,67 \ell \approx 467 \ell$ vode. Da je nastal 1000 kilogramski kapnik, je priteklo vsaj $\frac{1000000 \mathrm{~g} \cdot 1000 \ell}{75 \mathrm{~g}}=13333333,33 \ell \approx 13333 \mathrm{~m}^{3}$ vode. |
|
|
| A Izračunana masa apnenca: $26,25 \mathrm{~g}$. ........................................................ 1 t |
|
|
| B Izračunana prostornina vode, ki vsebuje $35 \mathrm{~g}$ apnenca: $467 \ell$. ...................... 2 t Op.: Neustrezno ali napačno zaokrožen odgovor prinese tekmovalcu le 1 točko. |
|
|
| C Izračunana prostornina vode, iz katere se je izločilo $1000 \mathrm{~kg}$ apnenca: $13333 \mathrm{~m}^{3} \ldots 1$ t Zapisan odgovor, npr.: Priteklo je vsaj $13333 \mathrm{~m}^{3}$ vode. ................................ 1 t |
|
|
|
|
