OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES
TEST DE JANVIER 2016
Corrigé
Exercice 1. Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$, dont l'angle en $A$ n'est pas droit. Soit $D$ le point de $(B C)$ tel que $(A D) \perp(A B)$. Soit $E$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(A C)$. Soit enfin $H$ le milieu de $[B C]$. Montrer que $A H=H E$.
Solution de l'exercice 1
Tout d'abord, comme les angles $\widehat{A H D}$ et $\widehat{A E D}$ sont droits, les points $A, H, E, D$ sont sur le cercle de diamètre $[A D]$. Notons $\theta=\widehat{C B A}=\widehat{A C B}$. Comme $A H C$ est rectangle en $H, \widehat{H A C}=90^{\circ}-\theta$. Comme $B A D$ est rectangle en $A, \widehat{A D B}=90^{\circ}-\theta$, et donc $\widehat{A D H}=\widehat{H A E}$. Par cocyclicité de $A, H, E, D$, les angles $\widehat{A D H}$ et $\widehat{A E H}$ sont égaux ou supplémentaires, donc $\widehat{H A E}=\widehat{A E H}$ ou $\widehat{H A E}+\widehat{A E H}=180^{\circ}$. Le deuxième cas ne peut pas se produire car la somme des angles du triangle $A E H$ vaut $180^{\circ}$, donc on a $\widehat{H A E}=\widehat{A E H}$. On en déduit que $H A E$ est isocèle en $H$, d'où $H A=H E$. Autre approche avec les angles de droites. On sait que si $T$ est une tangente en un point $A$ à un cercle $(C)$ et si $B$ et $M$ sont deux autres points de $(C)$, alors $(T, A B)=(M A, M B)$. Dans l'exercice, comme $(A B)$ est perpendiculaire au diamètre $(A D)$, elle est tangente au cercle donc d'après ce qui précède on a $(A B, A H)=(E A, E H)$. Or, comme $A B C$ est isocèle on a $(A B, A H)=(A H, A C)$ donc $(A H, A E)=(A H, A C)=(A B, A H)=(E A, E H)$. On en conclut que $H A E$ est isocèle en $H$, d'où $H A=H E$. Exercice 2. Trouver tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$ tels que $\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ soit le carré d'un entier.
Solution de l'exercice 2 La démonstration qui suit est valable pour $m, n \in \mathbb{N}$. Déjà, $5^{m}-2^{n+1}$ doit diviser $5^{m}+2^{n+1}$, donc divise $5^{m}+2^{n+1}-\left(5^{m}-2^{n+1}\right)=2^{n+2}$, par conséquent c'est une puissance de 2 . Or, $5^{m}-2^{n+1}$ est impair, donc $5^{m}-2^{n+1}=1$. Ecrivons $5^{m}+2^{n+1}=a^{2}$. On a donc $(a-1)(a+1)=a^{2}-1=5^{m}+2^{n+1}-5^{m}+2^{n+1}=2^{n+2}$, donc $a-1$ et $a+1$ sont des puissances de 2 . Ecrivons $a-1=2^{c}$ et $a+1=2^{d}$ avec $c+d=n+2$. Alors $c<d$ donc $a-1=2^{c}$ divise $2^{d}-2^{c}=(a+1)-(a-1)=2$, donc $a-1=1$ ou $a-1=2$. Si $a=2$ alors $2^{d}=a+1=3$, ce qui est impossible. On en déduit que $a=3, c=1, d=2$ et $n+2=3$, ce qui donne $n=1$ et $5^{m}=1+2^{n+1}=5$, puis $m=1$. Finalement, $m=n=1$. Exercice 3. On considère 7 îles $A_{1}, \ldots, A_{7}$. On est autorisé à construire des ponts, soit entre une île $A_{i}$ et l'île suivante $A_{i+1}$ (pour $i \in{1,2, \ldots, 6}$ ), soit entre une île $A_{i}$ et la dernière $A_{7}$ (pour $i \in{1,2, \ldots, 6}$ ). De combien de manières peut-on réaliser ces constructions avec le moins de ponts possibles de sorte que l'on puisse se rendre d'une île vers n'importe quelle autre ?
Exemple pour 3 îles au lieu de 7 : les trois constructions possibles utilisant deux ponts sont 1) un pont entre $A_{1}$ et $A_{2}$, et un pont entre $A_{1}$ et $A_{3}$ 2) un pont entre $A_{1}$ et $A_{2}$, et un pont entre $A_{2}$ et $A_{3}$ 3) un pont entre $A_{1}$ et $A_{3}$, et un pont entre $A_{2}$ et $A_{3}$.
Solution de l'exercice 3 On dira qu'une configuration est bonne si elle satisfait les conditions de l'énoncé. Notons $a_{n}$ le nombre de bonnes configurations avec $n$ îles. On a $a_{1}=a_{2}=1$ et $a_{3}=3$. Partant d'une bonne configuration avec $n$ îles telle que $A_{n-1}$ et $A_{n}$ ne soient pas reliées, alors $A_{n-1}$ et $A_{n-2}$ sont nécessairement reliées, donc si on supprime l'île $A_{n-1}$ on obtient une bonne configuration avec $n-1$ îles. Réciproquement, toute bonne configuration avec $n-1$ îles provient d'une et une seule bonne configuration avec $n$ îles dont les deux dernières ne sont pas reliées : il suffit en effet d'intercaler une île entre les deux dernières et de mettre un pont entre celle-ci et la $n$ - 2-ième. On en déduit qu'il y a $a_{n-1}$ bonnes configurations avec $n$ îles telles que $A_{n-1}$ et $A_{n}$ ne soient pas reliées. D'autre part, partant d'une bonne configuration avec des ponts entre $A_{n}$ et $A_{n-1}, A_{n-1}$ et $A_{n-2}, \ldots$, $A_{n-k+1}$ et $A_{n-k}(k \geqslant 1)$ mais pas entre $A_{n-k}$ et $A_{n_{k}-1}$, si on supprime les îles $A_{n-1}, \ldots, A_{n-k}$ alors on obtient une bonne configuration avec $n-k$ îles. On en déduit comme ci-dessus qu'il y a $a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_{1}$ bonnes configurations comportant un pont entre $A_{n}$ et $A_{n-1}$. On voit donc que $a_{n}=2 a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_{1}$. On en déduit de proche en proche que $a_{4}=8, a_{5}=21, a_{6}=55$ et $a_{7}=144$. Exercice 4. Déterminer toutes les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que, pour tous $x$ et $y$ réels, on ait l'égalité
Solution de l'exercice 4 Pour $y=0$ on trouve que $f(x)=f(x)+f(f(1))$ donc $f(f(1))=0$. Pour $x=0$ on trouve $f(y)=f(-y)+f(f(1))$ donc $f(y)=f(-y)$ pour tout $y$. Pour $y=1$ on obtient $f(x+1)=f(x-1)+f(f(1-x))$. En remplaçant $x$ par $-x+2$, il vient $f(-x+3)=f(-x+1)+f(f(x-1))$.
Or, $f(x-1)=f(1-x)$ donc $f(f(1-x))=f(f(x-1))$. Par conséquent, $f(x+1)=f(x-1)+$ $f(-x+3)-f(-x+1)=f(x-3)$ puisque $f(-t)=f(t)$ pour tout $t$. On en déduit, en remplaçant $x$ par $x+1$, que $f(x+2)=f(x-2)$ pour tout $x$. Prenons $y=2$ dans l'équation fonctionnelle. On a $f(x+2)=f(x-2)+f(f(1-2 x))$, donc $f(f(1-2 x))=0$ pour tout $x$. En remplaçant $x$ par $(1-t) / 2$, on trouve que $f(f(t))=0$ pour tout $r$. On revient à l'équation fonctionnelle : $f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-x y))$, donc $f(x+y)=f(x-y)$ pour tous $x$ et $y$. On prend $x=y=t / 2$ : il vient $f(t)=f(0)$, donc $f$ est constante. Comme $f(f(1))=0$, cette constante est nulle, et finalement $f(x)=0$ pour tout $x$. Exercice 5. a) Trouver tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$ tels que $\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ soit le carré d'un entier. b) Plus généralement, trouver tous les entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$, ainsi que les nombres premiers $p$, tels que $\frac{5^{m}+2^{n} p}{5^{m}-2^{n} p}$ soit le carré d'un entier. Solution de l'exercice 5 a) Voir exercice 2 ci-dessus. b) Supposons que $p=5$. Alors $\frac{5^{m-1}+2^{n}}{5^{m-1}-2^{n}}$ est le carré d'un entier. D'après la partie a) (qui marchait aussi dans le cas d'entiers $\geqslant 0$, on a $m=n=2$. Supposons enfin $p \neq 2$ et $p \neq 5$. Soit $d$ le PGCD de $5^{m}+2^{n} p$ et de $5^{m}-2^{n} p$. Alors $d$ divise $5^{m}+2^{n} p+5^{m}-2^{n} p=2 \times 5^{m}$. Comme $d$ est le PGCD de deux nombres impairs, il est impair, doncil divise $5^{m}$. De plus, $d$ divise $5^{m}+2^{n} p-\left(5^{m}-2^{n} p\right)=2^{n+1} p$ et il est impair, donc il divise $p$. Comme $p$ et 5 sont premiers entre eux, en en déduit que $d=1$ et que $5^{m}-2^{n} p=1$; de plus, $5^{m}+2^{n} p=a^{2}$ pour un certain entier $a$. On a donc $(a-1)(a+1)=a^{2}-1=2^{n+1} p$. Le PGCD de $a-1$ et de $a+1$ divise $(a+1)-(a-1)=2$, donc il vaut 1 ou 2 . De plus, $a-1$ et $a+1$ sont de même parité, et leur produit est pair, donc leur PGCD vaut 2 . On en déduit que $\left(a-1=2, a+1=2^{n} p\right)$ ou $\left(a-1=2 p, a+1=2^{n}\right)$ ou $\left(a-1=2^{n}, a+1=2 p\right)$. Dans le premier cas on aurait $a=3$, donc $4=a+1=2^{n} p$, ce qui est impossible. Dans le deuxième cas, on a $p=2^{n-1}-1$. Comme $p$ est premier, $n=1$ et $n=2$ ne conviennent pas donc $n \geqslant 3$. Par conséquent, $5^{m}=2^{n} p+1 \equiv 1[8]$. Comme $5^{2 \ell+1}=5 \times 25^{\ell} \equiv 5 \times 1^{\ell}=5$ [8], l'entier $m$ est nécessairement pair. Posons $m=2 \ell$, alors $\left(5^{\ell}-1\right)\left(5^{\ell}+1\right)=2^{n} p$. L'un des facteurs est égal à $2 p$ et l'autre à $2^{n-1}$. Comme leur différence est égale 2 , on a $\pm 2=2 p-2^{n-1}=2 p-(p+1)=p-1$, donc $p=3, n=3$ et $m=2$. Dans le troisième cas, on a $p=2^{n-1}+1$. On ne peut pas avoir $n=1$, $\operatorname{sinon} p=2$. Si $n=2$ alors $p=3$ et $5^{m}=1+2^{n} p=13$. Impossible. Donc $n \geqslant 3$. Le même raisonnement que plus haut conduit à $m=2 \ell$ avec $\pm 2=2 p-2^{n-1}=2 p-(p-1)=p+1$, ce qui contredit $p \geqslant 3$. Exercice 6. Soit $I$ le centre du cercle inscrit à un triangle $A B C$. Soit $D$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle circonscrit. On suppose que le point $E$ de la demi-droite $[B A)$ et le point $F$ de la demi-droite $[C A)$ satisfont la condition
Montrer que $(E F) \perp(D I)$.
Solution de l'exercice 6
Notons $a, b, c$ les longueurs des côtés, $r$ le rayon du cercle inscrit et $p=(a+b+c) / 2$. Comme $[A D]$ est un diamètre, les angles $\widehat{A B D}$ et $\widehat{A C D}$ sont droits donc
D'autre part, si $C^{\prime}$ est le point de contact du cercle inscrit avec $[A B]$, on sait que $B C^{\prime}=p-b$, donc $C^{\prime} E=B E-B C^{\prime}=b$. Il vient $I E^{2}=\left(I C^{\prime}\right)^{2}+\left(C^{\prime} E\right)^{2}=r^{2}+b^{2}$, et de même $I F^{2}=r^{2}-c^{2}$, donc
Ceci signifie que les points $D$ et $I$ ont la même différence de puissances par rapport à $E$ et $F$ (considérés comme des cercles de rayon nul), donc $(D I) \perp(E F)$.
Précision : expliquons pourquoi si $C$ et $C^{\prime}$ sont deux cercles de centres $O$ et $O^{\prime}$, et si $P_{C}(A)$ -$P_{C^{\prime}}(A)=P_{C}(B)-P_{C^{\prime}}(B)$ alors $(A B) \perp\left(O O^{\prime}\right)$. Notons $R$ et $R^{\prime}$ les rayons des cercles et $C, D$ les projetés respectifs de $A$ et $B$ sur $\left(O O^{\prime}\right)$. On a $P_{C}(A)-P_{C^{\prime}}(A)=O A^{2}-O^{\prime} A^{2}-\left(R^{2}-\left(R^{\prime}\right)^{2}\right)=O C^{2}-O^{\prime} C^{2}-\left(R^{2}-\left(R^{\prime}\right)^{2}\right)$, donc $O C^{2}-$ $O^{\prime} C^{2}=O D^{2}-O^{\prime} D^{2}$. Ceci s'écrit encore $\left(\overline{O C}-\overline{O^{\prime} C}\right)\left(\overline{O C}+\overline{O^{\prime} C}\right)=\left(\overline{O D}-\overline{O^{\prime} D}\right)\left(\overline{O D}+\overline{O^{\prime} D}\right)$, ou encore $2 \overline{O^{\prime} O} \cdot \overline{M C}=2 \overline{O^{\prime} O} \cdot \overline{M D}$ où $M$ est le milieu de $\left[O^{\prime} O\right]$. Par conséquent, $C=D$, et donc $(A B)=(A C) \perp\left(O O^{\prime}\right)$.