PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES
TEST DU 27 FÉVRIER 2019 à destination des élèves du groupe SENIOR 14H-18H (DURÉE : 4H)
Instructions
$\triangleright$ Rédigez les différents problèmes sur des copies distinctes. Sur chaque copie, écrivez en haut à gauche votre nom en majuscules, votre prénom en minuscules. Écrivez votre classe et le numéro du problème traité en haut à droite. $\triangleright$ On demande des solutions complètement rédigées, où toute affirmation est soigneusement justifiée. La notation tiendra compte de la clarté et de la précision de la copie. Travaillez d'abord au brouillon, et rédigez ensuite au propre votre solution, ou une tentative, rédigée, de solution contenant des résultats significatifs pour le problème. Ne rendez pas vos brouillons : ils ne seraient pas pris en compte. $\triangleright$ Une solution complète rapportera plus de points que plusieurs tentatives inachevées. Il vaut mieux terminer un petit nombre de problèmes que de tous les aborder. $\triangleright$ Règles, équerres et compas sont autorisés. Les rapporteurs sont interdits. Les calculatrices sont interdites, ainsi que tous les instruments électroniques.
Chaque exercice est noté sur 7 points.
Animath, Préparation Olympique Française de Mathématiques, 11-13 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris.
Exercice 1. Carine et Cyril jouent au jeu suivant. Tout d'abord, Cyril choisit un entier $\mathrm{n} \geqslant 1$. Puis, dans chacune des cases d'une grille $3 \times 3$ (apparentée à un jeu de morpion), il écrit un entier. Vient ensuite le tour de Carine. Elle peut, autant de fois qu'elle le souhaite, effectuer l'opération suivante : elle choisit une case $\mathbf{c}$, puis augmente de 1 la valeur de $\mathbf{c}$ et de ses voisines (c'est-à-dire des cases qui partagent un côté avec c). Carine gagne la partie si elle réussit à faire en sorte que les 9 entiers soient tous égaux modulo $n$. Quel est le joueur qui dispose d'une stratégie gagnante? Solution de l'exercice 1 On va montrer que Carine a une stratégie gagnante. Tout d'abord, adoptons quelques notations. On note ( $\mathfrak{i}, \mathfrak{j}$ ) la case située en ligne $\boldsymbol{i}$ et en colonne $\mathfrak{j}$, et on note $k_{i, j}$ l'entier écrit sur cette case. Sans perte de généralité, on suppose que nos entiers sont écrits modulo $n$. On va également noter $a_{i, j}$ une action de Carine consistant à choisir la case $(i, j)$, donc à augmenter de 1 les entiers $k_{\hat{i}, \hat{j}}$ tels que $|\mathfrak{i}-\hat{\mathfrak{i}}|+|\mathfrak{j}-\hat{j}| \leqslant 1$. Au vu de la condition de victoire de Carine, on suppose aussi qu'elle dispose d'une opération $a_{\infty}$ qui consiste à ôter 1 à toutes les cases. Alors, en effectuant les actions $a_{1,1}, a_{3,1}, a_{2,3}$ et $a_{\infty}$, Carine se débrouille pour augmenter $l^{\prime}$ entier $k_{2,1}$ de 1 sans changer les autres. De même, elle peut augmenter isolément chacun des entiers $k_{2,3}, k_{1,2}$ et $k_{3,2}$. On appelle $b_{2,1,2,3}, b_{1,2}$ et $b_{3,2}$ les "actions" correspondantes. Puis, en réalisant l'action $a_{1,1}$ et en réalisant $n-1$ fois les actions $b_{2,1}$ et $b_{1,2}$, Carine a augmenté l'entier $k_{1,1}$ sans changer les autres. De même, elle peut augmenter isolément les entiers $k_{1,3}, k_{3,1}$ et $k_{3,3}$. Il lui suffit donc de modifier les valeurs de chacune des cases autres que $(2,2)$ pour que tous les entiers deviennent égaux, et alors elle aura gagné.
Exercice 2. Trouver les fonctions $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ telles que, pour tous les réels $x$ et $y$, on ait:
$\underline{\text { Solution de l'exercice } 2}$ Tout d'abord, il est clair que la fonction $\mathrm{f}: x \mapsto x$ est une solution. On va montrer que c'est la seule. Dans la suite, on notera $E_{x, y}$ l'équation $f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}$. En premier lieu, $E_{0, y}$ indique que $f(f(y))=y+f(0)+f(0)^{2}$, ce qui montre que $f$ est à la fois injective et surjective, donc bijective. D'autre part, pour tous les réels $x$ et $t$, notons que $x^{2}+x=t^{2}+t$ si et seulement si $0=$ $x^{2}-t^{2}+x-t=(x-t)(x+t+1)$, c'est-à-dire si $x=t$ ou $t=-1-x$. En particulier, en posant $t=-1-x$, alors $E_{x, y}$ et $E_{t, y}$ indiquent que $f(x)+(x)^{2}=f(t)+(t)^{2}$. Par conséquent, si $x \neq-1 / 2$, et puisque l'on a alors $t \neq x$ et que $f$ est injective, on a également $f(t)=-1-f(x)$ et $f(x) \neq-1 / 2$. On en déduit notamment que $f(-1 / 2)=-1 / 2$. On vient de montrer que $-1 / 2$ est un point fixe de $f$. Or, si $y$ et $x$ sont des points fixes de $f$, l'équation $\mathbf{E}{x, y}$ montre que $x^{2}+x+y$ en est un également. De même, si $x$ et $x^{2}+x+y$ sont des points fixes de $f$, et puisque $f$ est bijective, alors $y$ en est un également. Ici, en choisissant $x=-1 / 2$, on constate donc que, dès lors que $y$ est un point fixe de $f, y-1 / 4$ et $y+1 / 4$ en sont aussi. En particulier, 0 et $1 / 4$ sont des points fixes. Dans ces conditions, $E{x, 0}$ et $E_{0, y}$ montrent respectivement que $f\left(x^{2}+x\right)=f(x)+f(x)^{2}$ et que $f(f(y))=y$. Puis, si $t$ est un réel positif, soit $x$ un réel tel que $x^{2}+x=t-1 / 4$. Alors $\mathbf{E}_{x, 1 / 4}$ indique que
Par ailleurs, si $z$ est un réel tel que $z^{2}+z=\mathrm{t}$, alors $\mathbf{E}_{z, \mathrm{f}(\mathrm{y})}$ indique que
On en déduit à la fois que $f$ est croissante et que $f$ est en fait additive. La fonction $f$ est donc linéaire, c'est-à-dire de la forme $f: x \mapsto \lambda x$. On conclut en observant que, puisque $-1 / 2$ est un point fixe de f , $\mathrm{c}^{\prime}$ est que $\lambda=1$, donc que f est bien la fonction identité.
Exercice 3. Soit p un nombre premier. Démontrer qu'il existe un nombre premier $q$ tel que $\mathfrak{n}^{p} \not \equiv p$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. Solution de l'exercice 3 Tout d'abord, si $p$ ne divise pas $q-1$, alors $x \mapsto x^{p}$ est une bijection de $\mathbb{Z} / q \mathbb{Z}$ dans lui-même, donc $q$ ne peut pas convenir. On en vient à chercher $q \equiv 1(\bmod p)$ tel que, pour tout $n \not \equiv 0(\bmod q), n$ soit d'ordre $\omega_{q}(n) \neq p \omega_{q}(p)$ modulo $q$, où $\omega_{q}(p)$ est l'ordre de $p$ modulo $q$. Puisque les ordres possibles sont exactement les diviseurs de $q-1$, cela signifie que $q-1$ doit être divisible par $p$ et par $\omega_{q}(p)$ mais pas $p \omega_{q}(p)$. Par conséquent, $p$ doit nécessairement diviser $\omega_{q}(p)$, et une première idée serait de vérifier si on ne peut pas justement avoir $\omega_{q}(p)=p$. Dans cette optique, $q$ doit diviser $p^{p}-1$ mais pas $p-1$. Ainsi, $q$ doit diviser l'entier
Dans ces conditions, si $q$ divise quand même $p-1$, alors $\mathbf{N} \equiv p(\bmod q)$, ce qui est impossible. Ainsi, on est ici assuré que $q$ ne divise pas $p-1$, donc que $\omega_{q}(p)=p$. Il reste donc à s'assurer que l'on peut choisir $q$ de sorte que $q \not \equiv 1\left(\bmod p^{2}\right)$. Si un tel $q$ $n^{\prime}$ existait pas, alors $N$ lui même serait congru à $1\left(\bmod p^{2}\right)$. On conclut donc le problème en remarquant que $\mathbf{N} \equiv 1+p \not \equiv 1\left(\bmod p^{2}\right)$.