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Nível 2

Lista 1

1. Potências de 10 - O valor de $\frac{0,00001 \times(0,01)^{2} \times 1000}{0,001}$ é: (a) $10^{-1}$ (b) $10^{-2}$ (c) $10^{-3}$ (d) $10^{-4}$ (e) 1
2. Diferença de quadrados - Se $(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=20$, então $x y$ é igual a: (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 5 (e) 10
3. Um quadrilátero - O quadrilátero $A B C D$ da figura é um paralelogramo?

4. Sexta-feira 13 - Qual o número máximo de sexta-feiras 13 que podem ocorrer num ano não bissexto? Neste caso, qual é o $10^{\circ}$ dia do ano?
5. Triângulos com lados inteiros - Quantos triângulos existem cujos lados são números inteiros e o perímetro é 12 ? (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
6. Festa de aniversário - Para comemorar seu aniversário, Ana vai preparar tortas de pera e tortas de maçã. No mercado, uma maçã pesa $300 \mathrm{g}$ e uma pera $200 \mathrm{g}$. A sacola de Ana aguenta um peso máximo de $7 k$. Qual é o numero máximo de frutas que ela pode comprar para poder fazer tortas das duas frutas?
7. Os dois quadrados - As medidas em centímetros dos lados de cada um dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado tivesse $2001 \mathrm{~cm}^{2}$ a mais de área, os dois quadrados seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior quadrado?

8. A multiplicação - Júlio faz multiplicações usando apenas os quadrados dos números. Ele tem que calcular o produto $85 \times 135$. Para isso, ele desenha um retângulo de $85 \mathrm{mm}$ por $135 \mathrm{mm}$ e traça nesse retângulo o maior quadrado possível; faz o mesmo no quadrado restante e assim sucessivamente. Dessa maneira ele obtém oito quadrados. Desenhe a figura feita por Júlio e escreva $85 \times 135$ como a soma de oito quadrados: $85 \times 135=85^{2}+\ldots$

Soluções da Lista 1

1. Potências de 10 - Temos:

A opção correta é (c).

2. Diferença de quadrados - Como $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ e $(x-y)^{2}=$ $x^{2}-2 x y+y^{2}$, temos:

$$(x+y{)}^2-(x-y{)}^2=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy=20(x+y)^\{2\}-(x-y)^\{2\}=x^\{2\}+2\; x\; y+y^\{2\}-x^\{2\}+2\; x\; y-y^\{2\}=4\; x\; y=20$$

segue-se que $x y=5$. A opção correta é (d).

3. Um quadrilátero - Para que $A B C D$ seja um paralelogramo, seus lados devem ser dois a dois paralelos, isto é: $A B / / C D$ e $A D / / B C$.

Como

$$\widehat{DAB}+\widehat{ABC}={180}^{\circ }\backslash widehat\{D\; A\; B\}+\backslash widehat\{A\; B\; C\}=180^\{\backslash circ\}$$

então as retas $A D$ e $B C$ são paralelas. Além disso, temos dois ângulos alternos internos de $45^{\circ}$ entre as retas $A B$ e $D C$, segue-se que elas são paralelas. Logo $A B C D$ é um paralelogramo.

4. Sexta-feira 13 - Dado que os dias da semana se repetem a cada 7 dias, então a diferença entre os dias da semana é dada pelo resto ao dividir por 7 o número de dias transcorridos.

$\mathrm{Na}$ tabela seguinte temos:

• na primeira linha o número de dias entre o dia 13 de um mês e o dia 13 do mês seguinte;
• na segunda linha o resto quando dividimos esse numero por 7;
• na terceira linha o resto quando dividimos por 7 o número de dias entre o 13 de janeiro e o 13 do mês correspondente, ou seja, é obtida somando os resultados obtidos na linha anterior desde janeiro até o mês correspondente e depois calculando o resto ao dividir por 7 .

J-F	F-M	M-A	A-M	M-J	J-J	J-A	A-S	S-O	O-N	N-D
31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30
3	0	3	2	3	2	3	3	2	3	2
3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5

Os valores iguais na última linha, significam que nestes meses o dia 13 caiu no mesmo dia da semana. Em particular esta última linha nos diz que 13 de fevereiro, 13 de março e 13 de novembro correspondem ao mesmo dia da semana. Logo, temos no máximo três sexta-feiras treze.

Nesse caso temos que 13 de janeiro ocorreu 3 dias antes de sexta-feira, isto é terça-feira e o dia 10 de janeiro aconteceu 3 dias antes, isto é, no sábado.

Observação: Note que a $6^{a}$-feira 13 ocorre apenas quando o $1^{o}$ dia do mês é um domingo. Assim, uma outra maneira, talvez mais simples, de resolver o problema é determinar o número máximo de vezes em que o $1^{\circ}$ dia do mês é um domingo num ano não bissexto.

5. Triângulos com lados inteiros - Para que três números $a, b, c$ sejam os comprimentos dos lados do triângulo, cada um deles deve ser maior que a diferença e menor que a soma dos outros dois.

Sejam $a \leq b \leq c$ os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, $c<a+b$.

Agora, somando $c$ a ambos os membros temos que: $2 c<a+b+c=12$, ou seja, $2 c<12$, $\log c<6$.

Além disso, como $3 c \geq a+b+c=12$ temos que: $c \geq 4$. Logo, $4 \leq c<6$.

No caso de $c=5$, temos que $a+b=7$. Os possíveis valores de $a$ e $b$ são: $a=2$ e $b=5$ ou $a=3$ e $b=4$

No caso de $c=4$, temos que $a+b=8$, e portanto temos somente a solução $a=b=4$.

assim temos 3 possíveis triângulos. A opção correta é (b).

6. Festa de aniversário - Denotemos por $m$ o número de maças e $p$ o número de peras que Ana comprou, assim o peso que ela leva na sacola é $300 m+200 p$ gramas. Como a sacola aguenta no máximo 7000 gramas, temos que

$$300m+200p\le 7000,\text{ que }\acute{\text{e}}\text{ equivalente a }3m+2p\le 70300\; m+200\; p\; \backslash leq\; 7000,\; \backslash text\; \{\; que\; é\; equivalente\; a\; \}\; 3\; m+2\; p\; \backslash leq\; 70$$

Como as peras pesam menos, Ana tem que levar a máxima quantidade de peras, e portanto, a mínima quantidade de maçãs. Assim, se ela levar 1 maçã, temos:

$$2p\le 70-3=67⟹p\le 33,52\; p\; \backslash leq\; 70-3=67\; \backslash Longrightarrow\; p\; \backslash leq\; 33,5$$

Logo, levando 1 maçã, ela pode levar 33 peras. Então, o numero máximo de frutas é 34 .

Na tabela abaixo vemos que Ana pode também levar 2 maçãs e 32 peras.

$p$	$m$	$300 m+200 p$	$p+m$
34	0	6800	34
33	1	6900	34
32	2	7000	34
31	2	6800	33

7. Os dois quadrados - Se $a$ é a medida do lado do quadrado maior e $b$ a medida do lado do quadrado menor, então pelo enunciado temos

$$a^2=b^2+2001a^\{2\}=b^\{2\}+2001$$

Log:

$$2001=a^2-b^2=(a+b)(a-b)2001=a^\{2\}-b^\{2\}=(a+b)(a-b)$$

Como $a$ e $b$ são números inteiros, temos que $a+b$ e $a-b$ são divisores de 2001 . Mas, $2001=3 \times 23 \times 29$, segue que

$$(a+b)(a-b)=2001\times 1=667\times 3=87\times 23=69\times 29(a+b)(a-b)=2001\; \backslash times\; 1=667\; \backslash times\; 3=87\; \backslash times\; 23=69\; \backslash times\; 29$$

Consequentemente, temos 4 possíveis formas de fatorar 2001 em dois fatores:

• se $a+b=2001$ e $a-b=1 \Longrightarrow a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=1001$;
• se $a+b=667$ e $a-b=3 \Longrightarrow a=\frac{667+3}{2}=335$;
• se $a+b=87$ e $a-b=23 \Longrightarrow a=\frac{87+23}{2}=55$;
• se $a+b=69$ e $a-b=29 \Longrightarrow a=\frac{69+29}{2}=49$.

Assim as possibilidades para o lado maior são: $1001,335,55$ e 49.

8. A multiplicação - O maior quadrado no retângulo de $85 \times 135$ é aquele de $85 \times 85$. Sobra então um retângulo de $50 \times 85$, onde o maior quadrado é de $50 \times 50$. Continuando assim, obtemos:

$$85\times 135={85}^2+{50}^2+{35}^2+{15}^2+{15}^2+5^2+5^2+5^{2}85\; \backslash times\; 135=85^\{2\}+50^\{2\}+35^\{2\}+15^\{2\}+15^\{2\}+5^\{2\}+5^\{2\}+5^\{2\}$$

			$5^{2} 5^{2} 5^{2}$
	$35^{2}$	$15^{2}$
			$15^{2}$
		$50^{2}$