| # Lista 2 |
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| 1. Expressão fracionária - Se $\frac{x}{y}=2$, então $\frac{x-y}{x}$ é igual a: |
| (a) -1 |
| (b) $-\frac{1}{2}$ |
| (c) $\frac{1}{2}$ |
| (d) 1 |
| (e) 2 |
| 2. Potências de 2 - Calcule: |
| a) $1678^{2}-1677^{2}$ |
| b) $1001^{2}+1000^{2}$ |
| c) $19999^{2}$ |
| d) $2001^{2}+2002^{2}+2003^{2}$ |
| 3. Um queijo triangular - Osvaldo comprou um queijo em forma de um triângulo equilátero. Ele quer dividir o queijo igualmente entre ele e seus quatro primos. Faça um desenho indicando como ele deve fazer essa divisão. |
| 4. Notas de Matemática - João e Cláudia receberam suas notas numa prova de matemática. A nota de João foi $\star$ e a de Cláudia $\star *$. Juntos eles obtiveram $* \square \boxplus$. Além disso, Cláudia obteve 13 pontos a mais que João. Qual a nota de cada um? |
| 5. Operação com raiz quadrada - O número |
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| $$ |
| A=(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-2) \sqrt{\sqrt{3}+2} |
| $$ |
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| é igual a: |
| (a) $-\sqrt{3}$ |
| (b) $-\sqrt{2}$ |
| (c) -2 |
| (d) 1 |
| (d) 2 |
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| 6. O caminho da escola - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em |
| casa às $4: 30$ horas da tarde. Se ela pedalar a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às $5: 15$ horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa às 5 : 00 horas da tarde? |
| 7. Distância na reta - Cinco pontos estão sobre uma mesma reta. Quando listamos as dez distâncias entre dois desses pontos, da menor para a maior, encontramos $2,4,5,7,8, k, 13,15,17,19$. Qual o valor de $k$ ? |
| 8. Número ímpar - Se $n$ é um número inteiro qualquer, qual das seguintes opções é um número ímpar? |
| (a) $n^{2}-n+2$ |
| (b) $n^{2}+n+2$ |
| (c) $n^{2}+n+5$ |
| (d) $n^{2}+5$ |
| (e) $n^{3}+5$ |
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| ## Soluções da Lista 2 |
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| ## 1. Expressão fracionária - |
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| Solução 1: Temos: |
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| $$ |
| \frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{y}{x} |
| $$ |
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| Como $\frac{x}{y}=2$ temos que $\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$, assim |
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| $$ |
| \frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} |
| $$ |
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| A opção correta é (c). |
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| Solução 2: Se $\frac{x}{y}=2$, então $x=2 y$. Logo |
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| $$ |
| \frac{x-y}{x}=\frac{2 y-y}{2 y}=\frac{y}{2 y}=\frac{1}{2} |
| $$ |
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| 2. Potências de 2 - Fatorando temos: |
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| $1678^{2}-1677^{2}=(1678+1677)(1678-1677)=3355$. |
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| (b) Como $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$, temos: |
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| $$ |
| \begin{aligned} |
| 1001^{2}+1000^{2} & =(1000+1)^{2}+1000^{2}=1000^{2}+2000+1+1000^{2}= \\ |
| & =2 \times 1000^{2}+2001=2002001 |
| \end{aligned} |
| $$ |
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| (c) Como $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b-b^{2}$, temos: |
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| $$ |
| \begin{aligned} |
| 19999^{2} & =(20000-1)^{2}=\left(2 \times 10^{4}\right)^{2}-4 \times 10^{4}+1= \\ |
| & =4 \times 10^{8}-4 \times 10^{4}+1=399960001 |
| \end{aligned} |
| $$ |
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| (d) Colocando em função de 2000 temos: |
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| $$ |
| \begin{aligned} |
| 2001^{2}+2002^{2}+2003^{2} & =(2000+1)^{2}+(2000+2)^{2}+(2000+3)^{2}= \\ |
| & =3 \times 2000^{2}+12 \times 2000+14 \\ |
| & =12024014 |
| \end{aligned} |
| $$ |
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| 3. Um queijo triangular - Para dividir o queijo em 5 partes iguais, é suficiente dividi-lo em $5 k$ partes iguais e dar $k$ partes a cada um. Uma forma de fazer essa partição, é mostrada na figura, onde o queijo foi partido em $25=5 \times 5$ triângulos. |
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| 4. Notas de Matemática - Temos que encontrar os valores dos símbolos na |
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| As duas notas são números de dois algarismos e a soma tem três algarismos, logo a soma tem que ser maior do que 100 e menor do que 200, assim temos que $*=1$. |
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| Mas, Cláudia obteve 13 pontos mais do que João, assim $\frac{+13}{\star 1}$. |
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| Agora como a soma de $\star$ e 3 tem que terminar em 1 , temos que $\star=8$, e portanto =6. Assim as notas de Cláudia e João são, respectivamente, 81 e 68. |
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| 5. Operação com raiz quadrada - (c) Como |
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| $$ |
| \begin{aligned} |
| A^{2} & =[(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-2) \sqrt{\sqrt{3}+2}]^{2} \\ |
| & =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)^{2}(\sqrt{\sqrt{3}+2})^{2} \\ |
| & =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)^{2}(\sqrt{3}+2) \\ |
| & =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}-2)[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)] \\ |
| & =(6+2 \sqrt{12}+2)(\sqrt{3}-2)\left((\sqrt{3})^{2}-2^{2}\right) \\ |
| & =(6+2 \sqrt{12}+2)(\sqrt{3}-2)(-1) \\ |
| & =(8+4 \sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\ |
| & =4(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \\ |
| & =4\left(2^{2}-(\sqrt{3})^{2}\right)=4 \times 1=4 |
| \end{aligned} |
| $$ |
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| Assim $A^{2}=4$ e logo, $A$ pode ser 2 ou -2 . Como $\sqrt{3}-2$ é negativo, temos que $A$ tem que ser negativo, e portanto $A=-2$. |
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| 6. O caminho da escola - Seja $t$ o tempo que ela gasta pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Pedalando a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela faz o percurso no dôbro do tempo que pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, isto é $2 t$. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos: |
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| $$ |
| 2 t-t=45 \Longrightarrow t=45 \mathrm{~min} |
| $$ |
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| Logo, diariamente ela sai da escola às $4: 30 h-45 \min =3: 15 h$, e o percurso até em casa é de $45 \mathrm{~min} \times 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{3}{4} \times 20=15 \mathrm{~km}$. Para percorrer $15 \mathrm{~km}$ em $5: 00 h-3: 15 h=1: 45 h=\frac{5}{4} h$, ela deve manter uma velocidade de |
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| $$ |
| \frac{15 k m}{\frac{5}{4} h}=12 k m / h |
| $$ |
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| ## 7. Distância na reta - |
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| Solução 1: - Essa solução é um pouco difícil de escrever porque é feita na base |
| de "tentativa e erro". Começamos desenhando uma reta numérica e colocando os pontos 0 e 19. Como a primeira distância é 2 , marcamos nossos primeiros três pontos: |
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| Como temos que ter uma distância 7, colocamos o ponto 7 na reta. Isso nos dá distâncias que não são incompatíveis com o problema: |
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| As distâncias entre esses 4 pontos são: 2, 7, 19, 5, 17 e 12. Finalmente, colocando o ponto 15 na reta obtemos o seguinte: |
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| Com esses pontos as distâncias são: $2,7,15,19,5,13,17,8,12,4$, que são compatíveis com os dados do problema. Logo, $k=12$. |
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| Note que temos também uma outra distribuição dos números, a saber: |
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| Nessa distribuição também obtemos $k=12$. |
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| Solução 2: Como a maior distância é 19 podemos, supor que um ponto é o 0 e outro é 19. |
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| Se $a$ é um outro ponto, então na lista das distâncias temos os números: $a-0=$ $a$ e $19-a$. De fato, na lista aparecem os pares 2 e 17, assim podemos supor que o número 2 é outro ponto sobre a reta. |
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| Da mesma forma, como 4 e 15 estão na lista das distâncias, temos que 4 ou 15 é outro ponto na reta. Mas, 4 não pode ser um dos pontos porque a distância 2 não apareceu duas vezes. Logo, 15 é outro ponto na reta. |
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| Por último o quinto ponto tem que estar a uma distância 5 de um dos pontos e a 7 de outro, logo o ponto que falta é o ponto 7 e a distância desconhecida é $k=19-7=12$. |
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| ## 8. Número ímpar - Lembremos que: |
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| - $n$ e $n^{2}$ têm a mesma paridade: $(\text { par })^{2}=$ par e (ímpar $)^{2}=$ ímpar; |
| - a soma ou diferença de números de mesma paridade é um número par: (part par=par e ímpar $\pm$ ímpar=par). |
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| Solução 1: Observemos que $n^{2}+n$ e $n^{2}-n$ são soma e diferença de dois números que sempre têm a mesma paridade, logo estes números sempre serão pares. Portanto $n^{2}+n+5=\left(n^{2}+n\right)+5$ é soma de um par e um ímpar, logo sempre será ímpar para todo valor inteiro de $n$. A opção correta é (c). |
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| Solução 2: Observemos que $n^{2}+n=n(n+1)$ e $n^{2}-n=n(n-1)$ são produtos de dois números consecutivos, logo estes números são pares. Portanto, $n^{2}+$ $n+5=\left(n^{2}+n\right)+5$ é a soma de um par com um ímpar, assim este numero é ímpar para todo valor inteiro de $n$. |
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| Observemos que (a) e (b) são sempre números pares para qualquer valor de $n$, enquanto que (d) e (e) podem ser pares ou ímpares, dependendo se $n$ é ímpar ou par. |
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