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# Lista 3 

1. Frações inteiras - Quantos números inteiros positivos $n$ existem tais que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro?
2. Quatro prefeitos e um círculo - Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe em suas cidades, entretanto, as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo. Eles contratam uma empresa para elaborar um projeto para a construção da rodovia circular eqüidistante das quatro cidades. Qual o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa elaborou?
3. Fatoriais - Se $n$ é um número natural, denotamos por $n$ ! o produto de todos os inteiros de 1 a $n$. Por exemplo: $5!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$ e 13 ! $=$ $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \ldots \times 12 \times 13$. Por convenção, $0!=1$. Encontre três números inteiros diferentes $a, b$ e $c$, entre 0 e 9 tais que o número de tr ês algarismos $a b c$ é igual a $a!+b!+c!$.
4. Para a escola de bicicleta - Cátia sai da escola todos os dias no mesmo horário e volta para casa de bicicleta. Quando ela pedala a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às $4: 30$ horas da tarde. Se ela pedalar a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela chega em casa às 5 : 15 horas da tarde. A qual velocidade ela deve pedalar para chegar em casa às $17: 00$ horas?
5. O Riquinho - Riquinho distribuiu $R \$ 1000,00$ reais entre os seus amigos: Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real
ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu?
6. Retângulo com dimensões inteiras - As diagonais de um retângulo medem $\sqrt{1993} \mathrm{~cm}$. Quais são suas dimensões, sabendo que elas são números inteiros?
7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de 3 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito:

$$
3 ; \quad 15 ; \quad 24 ; 48 ; \quad \ldots
$$

Qual é o múltiplo na posição $2006^{\circ}$ ?

8. Cinco cartas - As cinco cartas abaixo estão sobre uma mesa, e cada uma tem um número numa face e uma letra na outra. Simone deve decidir se a seguinte frase é verdadeira: "Se uma carta tem uma vogal numa face, então ela tem um número par na outra." Qual o menor número de cartas que ela precisa virar para decidir corretamente?

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-2.jpg?height=172&width=708&top_left_y=1987&top_left_x=794)

## Soluções da Lista 3

1. Frações inteiras - Como

$$
\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}=\frac{2}{3} \frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)+8}{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 n+2+\frac{16}{n+1}\right)
$$

segue que $n+1$ tem que dividir 16. Assim, $n$ tem que pertencer ao conjunto $\{1,3,7,15\}$. Em cada um destes casos temos

| $n$ | $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ |
| :---: | :---: |
| 1 | 4 |
| 3 | 4 |
| 7 | 6 |
| 15 | 11 |

Portanto para os quatro valores de $n, 1,3,7$ e 11 , tem- se que $\frac{2 n^{2}+4 n+18}{3 n+3}$ é um inteiro.

2. Os prefeitos e o círculo - O número de rodovias é igual ao número de pontos que podem ser centros da circunferência formada pelas rodovias.

Observemos por outra parte que podemos ter dois tipos de configuração. $\mathrm{Na}$ primeira configuração a circunferência divide o conjunto das 4 cidades em dois conjuntos: um conjunto com 3 cidades e outro com una cidade. Na segunda configuração a circunferência divide o conjunto das cidades, em dois conjuntos, cada um deles com 2 cidades.

Nas figuras abaixo está ilustrado um exemplo de cada um destas configurações onde a circunferência contínua é a rodovia planejada.
![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-4.jpg?height=436&width=898&top_left_y=372&top_left_x=680)

Na primeira configuração temos que o centro da circunferência está na mesma distância das três cidades que ficam do mesmo lado da rodovia e assim o centro desta rodovia é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas três cidades. Logo, o número de rodovias é igual ao número de triângulos que podemos formar com as 4 cidades, isto é, 4 possíveis rodovias.

Na segunda configuração, temos que o centro da circunferência formada pela rodovia esta sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte interna da rodovia e também sobre a mediatriz das duas cidades que ficam na parte externa da rodovia. Assim, o número de rodovias é igual ao número de formas de dividir o conjunto de 4 elementos em dois conjuntos com 2 elementos cada um, isto é 3 formas.

Logo o número possível de projetos é $4+3=7$.

3. Fatoriais - Primeiramente observe que como o n úmero tem 3 algarismos, então o maior dos algarismos tem que ser menor que ou igual a 6 , já que $7!>1000$. Como o número tem que ter 3 algarismos e $4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=12$ então um dos algarismos tem que ser 5 ou 6 , mas $6!=720$ implicaria que a soma teria um algarismo maior ou igual a 7 , logo o maior dos algarismos é 5 . Por outra parte, $5!=120$ e $5!+4!+3!=120+24+6=150$, assim a soma dos fatoriais está entre 100 e 150, portanto o algarismo das centenas é 1 . Por último como $5!+1!+4!=145$, então 145 é solução.
4. Para a escola de bicicleta - Seja $t$ o tempo que ela gasta pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Pedalando a $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, ela faz o percurso no dobro do tempo que pedalando a $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, isto é $2 t$. No entanto, como ela demora 45 minutos a mais temos:

$$
2 t-t=45 \Longrightarrow t=45 \mathrm{~min}
$$

Logo, diariamente ela sai da escola às

$$
4: 30 h-45 \min =3: 45 h
$$

e o percurso até em casa é de

$$
45 \mathrm{~min} \times 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{3}{4} \times 20=15 \mathrm{~km}
$$

Para percorrer $15 k m$ em $5: 00 h-3: 45 h=1: 15 h=\frac{5}{4} h$, ela deve manter uma velocidade de

$$
\frac{15 k m}{\frac{5}{4} h}=12 k m / h
$$

5. O Riquinho - O dinheiro foi repartido em parcelas na forma

$$
1+2+3+\cdots+n \leq 1000
$$

Como $1+2+3+\cdots+n$ é a soma $S_{n}$ dos $n$ primeiros números naturais a partir de $a_{1}=1$ temos:

$$
S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=\frac{(1+n) n}{2} \leq 1000 \Longrightarrow n^{2}+n-2000 \leq 0
$$

Temos que

$$
n^{2}+n-2000<0 \quad \text { para valores de } n \text { entre as raízes }
$$

Como a solução positiva de $n^{2}+n-2000=0$ é

$$
n=\frac{-1+\sqrt{1+8000}}{2} \simeq 44,22
$$

então $n \leq 44$. Assim Bernardo recebeu

$$
2+5+8+11+\cdots+44=\frac{(44+2) \cdot 15}{2}=23 \cdot 15=345
$$

6. Retângulo com dimensões inteiras - Se $a \geq b$ são os comprimentos dos lados do retângulo, então pelo teorema de Pitágoras temos

$$
a^{2}+b^{2}=1993
$$

Como $a^{2} \geq b^{2}$, segue que

$$
2 a^{2} \geq a^{2}+b^{2}=1993>a^{2}
$$

Logo,

$$
\sqrt{1993}>a \geq \sqrt{996,5}
$$

Assim, $44 \geq a \geq 32$. Usando o fato que $a^{2}-(a-1)^{2}=2 a-1$ podemos completar a seguinte tabela, somando aos elementos da segunda coluna na linha $a-1$ o número $2 a-1$ para obter o elemento da segunda coluna na linha $a$.

| $a$ | $b^{2}=1993-a^{2}$ |
| :---: | :---: |
| 44 | 57 |
| 43 | 144 |
| 42 | 229 |
| $\vdots$ | $\vdots$ |

Assim, temos que $a=43$ e $b=12$ é solução.

7. Múltiplos de 3 e quadrados perfeitos - Chamemos $a$ um número qualquer da lista, então sabemos que:

- $a$ é múltiplo de 3
- $a+1$ é um quadrado: $a+1=k^{2}$, sendo $k$ um número natural.

Assim $a=k^{2}-1$, e logo

$$
a=(k-1)(k+1)
$$

Como $a$ é divisível por 3 , então ou $k+1$ ou $k-1$ é divisível por 3 . Logo, $k$ não é divisível por 3 , portanto, $k$ tem que ser da forma $3 n+1$ ou $3 n+2$, ou seja para cada valor de $n$ temos dois números que não são múltiplos de 3 .

O número desta lista que está na posição 2006 é $2006 \times \frac{3}{2}-1=3008$, e neste caso $a=3008^{2}-1$.

## 8. Cinco cartas -

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_05_01_ca9dad428f17f021dd49g-7.jpg?height=169&width=690&top_left_y=1389&top_left_x=700)

Ela não precisa virar a carta que tem o número 2 , porque sendo vogal ou consoante, ela cumpre a condição, de igual forma. Ela também não precisa virar a carta com a letra M. A carta que tem o número 3 tem que ser virada, para comprovar que na outra face tem uma consoante, e também as cartas com a letra $\mathbf{A}$ e a letra $\mathbf{E}$ têm que ser viradas para verificar que os números na outra face são pares. Assim, ela precisa virar somente 3 cartas.