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Lista 5

1. Suco de laranja - Davi vai a um armazém que vende uma garrafa de suco de laranja por $R $ 2,80$ e uma caixa com seis dessas garrafas por $R $ 15,00$. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu aniversário. Quanto ele gastará no mínimo?
2. Mulheres votantes - Numa cidade, $40 %$ de todas as mulheres são votantes e $52 %$ da população é de mulheres. Qual o percentual da população formado de mulheres votantes? (a) $18,1 %$ (b) $20,8 %$ (c) $26,4 %$ (d) $40 %$ (d) $52 %$
3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Dois amigos nasceram no século XX, com uma semana de intervalo e no mesmo mês e ano. Escrevendo da esquerda para a direita a data na forma o (ou os) algarismo(s) do dia, (ou os) algarismo(s) do mês, e os dois últimos algarismos do ano, obtemos dois números sendo um o sêxtuplo do outro. Não colocamos 0 na frente dos 9 primeiros meses. Qual é a data de nascimento do amigo mais velho?
4. Operação em uma fração - Que número se deve somar aos dois termos de uma fração para se obter o inverso dessa mesma fração?
5. O número 119 - O número 119 tem a seguinte propriedade:

• a divisão por 2 deixa resto 1 ;
• a divisão por 3 deixa resto 2 ;
• a divisão por 4 deixa resto 3 ;
• a divisão por 5 deixa resto 4 ;
• a divisão por 6 deixa resto 5 .

Quantos inteiros positivos menores que 2007 satisfazem essa propriedade?

6. Fonte com 3 torneiras - Sílvia vai a uma fonte que tem três torneiras, encher os seus dez garrafões. Um dos garrafões demora um minuto para encher, outro dois minutos, outro três minutos e assim por diante. Como Ślvia deverá distribuir os garrafões pelas torneiras de modo a gastar o menor tempo possível? Qual é esse tempo?
7. A seqüência $x y z$ - Na seqüência $\frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, x, y, z, \ldots$ os valores de $x, y$ e $z$ são...
8. A mesa circular - Uma mesa circular tem 60 cadeiras em sua volta. Existem $N$ pessoas sentadas nessas cadeiras de tal modo que a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de alguém. Qual é o menor valor possível para $N$ ?

Soluções da Lista 5

1. Suco de laranja - Se Davi comprar 6 garrafas individualmente, ele gastará

$$6\times 2,80=16,80\text{ reais }6\; \backslash times\; 2,80=16,80\; \backslash text\; \{\; reais\; \}$$

que é mais caro do que comprar uma caixa com seis. Portanto ele deve comprar a maior quantidade possível de caixas. Nesse caso, ele deve comprar 3 caixas e 4 garrafas individualmente, caso em que gastará

$$3\times 15+4\times 2,80=56,20\text{ reais }3\; \backslash times\; 15+4\; \backslash times\; 2,80=56,20\; \backslash text\; \{\; reais\; \}$$

que é o mínimo possível.

2. Mulheres votantes - A fração de mulheres na população é $\frac{52}{100}$, e delas, a fração que é votante é $\frac{40}{100}$. Logo, a fração de mulheres volantes é:

$$\frac{52}{100}\times \frac{40}{100}=\frac{104}{5\times 100}=\frac{104}{5\times 100}\times 100\mathrm{\%}=20,8\mathrm{\%}\backslash frac\{52\}\{100\}\; \backslash times\; \backslash frac\{40\}\{100\}=\backslash frac\{104\}\{5\; \backslash times\; 100\}=\backslash frac\{104\}\{5\; \backslash times\; 100\}\; \backslash times\; 100\; \backslash \%=20,8\; \backslash \%$$

A opção correta é (b).

3. Amigos do século $\boldsymbol{X X}$ - Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, assim um nasceu no dia $d / m / a$ e o outro no dia $(d+7) / m / a$. Com esta datas formamos os números $(d)(m)(a)$ e $(d+7)(m)(a)$. Sabemos que:

$$(d+7)(m)(a)=(d)(m)(a)+7\times {10}^k(d+7)(m)(a)=(d)(m)(a)+7\; \backslash times\; 10^\{k\}$$

Assim,

$$(d+7)(m)(a)=6\times (d)(m)(a),⟹7\times {10}^k=5(d)(m)(a)(d+7)(m)(a)=6\; \backslash times(d)(m)(a),\; \backslash quad\; \backslash Longrightarrow\; \backslash quad\; 7\; \backslash times\; 10^\{k\}=5(d)(m)(a)$$

Logo, $k=3$ se o mês tem 1 algarismo e $k=4$ se o mês tem 2 algarismos. No primeiro caso, quando $k=3$, temos que $\frac{7000}{5}=1400$, isto é, 1 de abril de 1900. Logo, seu amigo nasceu em 8 de abril de 1900. No segundo caso, quando $k=1, \frac{70000}{5}=14000$ não é uma data válida.

4. Operação em uma fração - Seja $\frac{a}{b}$ a fração procurada e seja $c$ um número tal $\frac{a+c}{b+c}=\frac{b}{a}$. Esta igualdade é equivalente a $(a+c) a=(b+c) b$. Assim temos:

$$(a+c)a=(b+c)b⟹a^2+ac-b^2-bc=0⟹(a^2-b^2)+c(a-b)=0(a+c)\; a=(b+c)\; b\; \backslash Longrightarrow\; a^\{2\}+a\; c-b^\{2\}-b\; c=0\; \backslash Longrightarrow\backslash left(a^\{2\}-b^\{2\}\backslash right)+c(a-b)=0$$

Donde

$$0=(a^2-b^2)+c(a-b)=(a-b)(a+b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)0=\backslash left(a^\{2\}-b^\{2\}\backslash right)+c(a-b)=(a-b)(a+b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)$$

Portanto $(a-b)(a+b+c)=0$. Temos dois casos:

$\left.1^{o}\right) a-b=0 \Longrightarrow a=b$. Nesse caso a fração é igual a $1=\frac{a}{a}$ e podemos somar qualquer número.

$\left.2^{o}\right) a+b+c=0 \Longrightarrow c=-(a+b)$. Nesse caso temos que somar $-a-b$.

5. O número 119 - Inicialmente note que se $N$ dividido por $d$ deixa resto $r$, então somando a $N$ um múltiplo de $d$, o resto não se altera, isto é:

$$\frac{(N+\text{ m}\acute{\text{u}}\text{ltiplo de }d)}{d}\text{ tamb}\acute{\text{e}}\text{m deixa resto }r\backslash frac\{(N+\backslash text\; \{\; múltiplo\; de\; \}\; d)\}\{d\}\; \backslash text\; \{\; também\; deixa\; resto\; \}\; r$$

Por exemplo: 38 dividido por 3 deixa resto 2 , logo o resto da divisão de $(38+5 \times 3)$ também é 2 .

Assim, se somamos a 119 um número que seja múltiplo simultaneamente de 2, 3, 4, 5 e 6 , esse número deixa os mesmos restos que 119 quando dividido por $2,3,4,5$ e 6 . O menor múltiplo comum de $2,3,4,5$ e 6 é 60 , logo todo número da forma

$$119+(\text{ m}\acute{\text{u}}\text{ltiplo de 60) }119+(\backslash text\; \{\; múltiplo\; de\; 60)\; \}$$

satisfaz as cinco condições do enunciado.

Da divisão de 2007 por 60 temos:

$$2007=33\times 60+27=32\times 60+87=31\times 60+1472007=33\; \backslash times\; 60+27=32\; \backslash times\; 60+87=31\; \backslash times\; 60+147$$

Como 119 está entre 87 e 147, temos que os números

$$59,119,179,\dots ,31\times 60+11959,119,179,\; \backslash ldots,\; 31\; \backslash times\; 60+119$$

cumprem a mesma propriedade que 119. Logo, temos 33 possíveis números.

6. Fonte com 3 torneiras -

Solução 1: Para simplificar, numeramos os garrafões de acordo com os respectivos tempos que gastam para ficar cheios. A idéia, é utilizar o "tempo que sobra" de um garrafão para encher outro garrafão, enchendo simultaneamente outros. As figuras ilustram a solução.

$\mathrm{Na}$ figura I as 3 torneiras gastam 10 minutos para encher os garrafões 10, 9, 8, 1 e 2. Na figura II as 3 torneiras gastam 9 minutos para encher os garrafões $7,6,5,2,3$ e 4. Logo, o tempo total gasto é de 19 minutos.

Solução 2: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10 garrafões é $1+2+\cdots+9+10=55$ minutos. Como $55=18 \times 3+1$, se temos

3 torneira devemos gastar pelo menos 19 minutos. A seguinte tabela mostra a forma de fazer o trabalho em 19 minutos.

Torneira 1	10	9
Torneira 2	8	7	3
Torneira 3	5	4	2	1

7. A seqüência $x y z$ - Igualando os denominadores, verificamos que a seqüência dada é a mesma que a seqüência

$$\frac{4}{8},\frac{5}{8},\frac{6}{8},\frac{7}{8},x,y,z,\dots \backslash frac\{4\}\{8\},\; \backslash frac\{5\}\{8\},\; \backslash frac\{6\}\{8\},\; \backslash frac\{7\}\{8\},\; x,\; y,\; z,\; \backslash ldots$$

Assim, o denominador é 8 e os numeradores são números consecutivos. Logo $x=\frac{8}{8}=1, y=\frac{9}{8}$ e $z=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$.

8. A mesa circular - Se a próxima pessoa a se sentar vai ter que se sentar ao lado de uma cadeira ocupada, isso significa que existem no máximo 2 cadeiras desocupadas consecutivas. Veja na figura: as cadeiras ocupadas estão representadas por quadradinhos brancos e as desocupadas por quadradinhos pretos. Podemos então pensar nas cadeiras

em grupos de 3 e a terceira está ocupada. Logo, o menor valor de $N$ é $60 \div 3=20$.