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Lista 6

1. Números proporcionais - Se $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $9 y^{2}$ é igual a: (a) $\frac{x^{2}}{9}$ (b) $x^{3} z$ (c) $3 x^{2}$ (d) $x^{2} z^{2}$ (e) $\frac{1}{9} x^{2} z^{2}$
2. Esportistas de uma escola - Em um grupo de 40 estudantes, 20 jogam futebol, 19 jogam vôlei e 15 jogam exatamente uns destes dois esportes. Quantos estudantes não praticam futebol e vôlei? (a) 7 (b) 5 (c) 13 (d) 9 (e) 10
3. Vamos ao teatro - Na campanha "Vamos ao teatro", 5 ingressos podem ser adquiridos pelo preço usual de 3 ingressos. Mário comprou 5 ingressos nessa campanha. A economia que Mário fez representa que percentual sobre o preço usual dos ingressos? (a) $20 %$ (b) $33 \frac{1}{3} %$ (c) $40 %$ (d) $60 %$ (e) $66 \frac{2}{3} %$
4. Uma desigualdade - Os valores de $x$ que satisfazem $\frac{1}{x-1}>1$ são: (a) $x<2$ (b) $x>1$ (c) $1<x<2$ (d) $x<1$ (e) $x>2$
5. A sala do Newton- Professor Newton dividiu seus alunos em grupos de $4 \mathrm{e}$ sobraram 2. Ele dividiu seus alunos em grupos de 5 e um aluno ficou de fora. Se 15 alunos são mulheres e tem mais mulheres do que homens, o número de alunos homens é: (a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11
6. Um jardim retangular - O retângulo $\mathrm{ABCD}$ representa um terreno retangular cuja largura é $3 / 5$ do comprimento. O retângulo ABEF representa um jardim retangular cuja largura é também $3 / 5$ do comprimento. Qual

a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? (a) $30 %$ (b) $36 %$ (c) $40 %$ (d) $45 %$ (e) $50 %$

7. Os bombons misturados - Marta e Carmem ganharam, cada uma, muitos bombons. Elas misturarm os bombons e agora não sabem mais qual o número de bombons que cada uma ganhou. Vamos ajudá-las a descobrir os números sabendo que:

• juntas ganharam 200 bombons;
• cada número é múltiplo de 8 ;
• Marta se lembra que ganhou menos de 100 bombons, mas mais do que $4 / 5$ do que ganhou Carmem.

Soluções da Lista 6

1. Números proporcionais - Como $\frac{x}{y}=\frac{3}{z}$, então $x z=3 y$. Elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade obtemos $x^{2} z^{2}=9 y^{2}$. A opção correta é (d).
2. Esportistas de uma escola - Denotemos por $x$ o número de estudantes que praticam simultaneamente os dois esportes. Logo, temos que o número de estudantes que pratica somente futebol é $20-x$ e o que pratica somente vôlei é $19-x$. Portanto os estudantes que praticam exatamente um esporte são

$$(20-x)+(19-x)=15(20-x)+(19-x)=15$$

Segue-se que $x=12$ e teremos que os estudantes que praticam algum esporte são

$$20+(19-x)=2720+(19-x)=27$$

Portanto, os que não praticam esporte são 13. A opção correta é (c).

3. Vamos ao teatro - Mário pagou 3 e levou 5, logo ele pagou apenas $\frac{3}{5}$ do preço usual e portanto, economizou $\frac{2}{5}$. Como $\frac{2}{5}=\frac{40}{100}$, a economia foi de $40 %$. A opção correta é (c).
4. Uma desigualdade - Note que o inverso de um número $b$ só é maior do que 1 quando $b$ for positivo e menor do que 1. Portanto,

A opção correta é (c).

5. A sala do Newton -

Solução 1: Como o número de alunos homens é menor do que 15 e das mulheres é 15 , temos

ou seja: o número de alunos está entre 15 e 30.

Por outro lado quando dividimos por 4 sobram 2 alunos, então o número de alunos é par. Quando dividimos por 5 sobra um, então o último algarismo do número é 1 ou 6 , mas sendo par só pode ser 6 . Assim só temos dois possíveis valores: 16 e 26. Descartamos 16 porque é divisível por 4. Logo, a resposta é 26 .

Solução 2: Como acima, o número de alunos está entre 15 e 30. Observemos que o número 6 dividido por 4 deixa resto 2 e dividido por 5 deixa resto 1. Logo se somamos a 6 um múltiplo comum de 4 e 5 , o número obtido também terá esta propriedade. O menor múltiplo comum de 4 e 5 é 20, assim os possíveis valores para o número de alunos é $6,26,46,66, \ldots$ Dado que o número de alunos está entre 15 e 30 então a solução é 26.

6. Um jardim retangular - Pelos dados do problema sabemos que

$$AD=\frac{5}{3}AB\text{ e }AB=\frac{5}{3}AFA\; D=\backslash frac\{5\}\{3\}\; A\; B\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; e\; \}\; \backslash quad\; A\; B=\backslash frac\{5\}\{3\}\; A\; F$$

Logo,

$$AD={\left(\frac{5}{3}\right)}^{2}AF=\frac{25}{9}AFA\; D=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{3\}\backslash right)^\{2\}\; A\; F=\backslash frac\{25\}\{9\}\; A\; F$$

A área do terreno é $A B \times A D$ e a área do jardim é $A B \times A F$, portanto a razão entre as áreas é

$$\frac{AB\times AF}{AB\times AD}=\frac{AF}{AD}=\frac{AF}{{\left(\frac{5}{3}\right)}^{2}AF}=\frac{9}{25}=36\mathrm{\%}\backslash frac\{A\; B\; \backslash times\; A\; F\}\{A\; B\; \backslash times\; A\; D\}=\backslash frac\{A\; F\}\{A\; D\}=\backslash frac\{A\; F\}\{\backslash left(\backslash frac\{5\}\{3\}\backslash right)^\{2\}\; A\; F\}=\backslash frac\{9\}\{25\}=36\; \backslash \%$$

A opção correta é (b).

7. Números decrescentes - Escreva os números abaixo em ordem decrescente

$$\sqrt[5]{3},3^{-2\mathrm{/}3},3^{-2},{\left(\frac{1}{3}\right)}^3,{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\backslash sqrt[5]\{3\},\; \backslash quad\; 3^\{-2\; /\; 3\},\; \backslash quad\; 3^\{-2\},\; \backslash quad\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{3\},\; \backslash quad\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{-1\}$$

Solução: Sabemos que

• $3^{-2 / 3}=\frac{1}{3^{2 / 3}}<1$,
• $3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}<1$,
• $\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{3^{3}}<1$,
• $1<\sqrt[5]{3}<3$. Se $a, b$ e $c$ são não nulos e

$$a>b>ca>b>c$$

então

Como $3^{3}>3^{2}>3^{2 / 3}$ temos então :

Portanto,

8. Os bombons misturados - Sejam $x$ o número de bombons que Marta ganhou e $y$ o que Carmem ganhou. Temos $x+y=200$. Como $x<100$ então $y \geq 100$. Por outro lado, $x>\frac{4}{5} y$ e $y \geq 100$, concluímos que $x>\frac{4}{5} \times 100=80$. Logo, $x$ é um inteiro compreendido entre 80 e 100 e múltiplo de 8 , logo, só pode ser 88 ou 96 . Vamos decidir:

• Se $x=88$, então $y=200-88=112$. Logo: $x>\frac{4}{5} \times 112=89,5$, o que não é possível.
• Se $x=96$, então $y=200-96=104$ e $x>\frac{4}{5} \times 104=83,2$, o que é possível.

Logo Marta ganhou 96 bombons e Carmem 104.