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16. Geometria

Nível 1 Soluções

11 | Bandeira do Tio Mané

O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco retangular com $100 \mathrm{cm}$ de largura e $60 \mathrm{cm}$ de altura. Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura 11.1 .

Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou?

Solução: As diagonais da Bandeira dividem-na em 4 triângulos de área $60 \times 100 / 4=1500 \mathrm{~cm}^{2}$ cada um.

Estas diagonais dividem a Bandeira em dois tipos de triângulo, como mostrados nas figuras 11.3 e 11.4 .

O triângulo do tipo 11.3 está dividido em 5 triângulos de mesma área porque possuem mesma base e altura. Assim, a área pintada no triângulo da figura 11.3 é $(1500 / 5) \times 3=900 \mathrm{~cm}^{2}$.

O triângulo da figura 11.4 está dividido em 3 triângulos de igual área. Logo, a área pintada nesse triângulo é $(1500 / 3) \times 2=1000 \mathrm{~cm}^{2}$.

Deste modo, a área total pintada da bandeira é

$$2\times (900+1000)=3800{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}2\; \backslash times(900+1000)=3800\; \backslash mathrm\{~cm\}^\{2\}$$

Sugestão: Trace as diagonais do retângulo e calcule a área das quatro partes determinadas.

Fatos que Ajudam: Triângulos com a mesma base e a mesma altura têm áreas iguais.

Figura 11.2

Figura 11.3

Figura 11.4

Sugestão: Determine a medida do lado do quadrado.

12 | Abelha na Flor

As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura 12.1, na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros.

Figura 12.1

Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem $24 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, qual é a distância percorrida pela abelha?

Solução: A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui $4 \mathrm{cm}^{2}$ de área e lado $2 \mathrm{cm}$.

Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, $48 \mathrm{~cm}$.

13 | Ângulo da Asa Delta

Na figura 13.1, temos dois triângulos, $A B C$ e $A D C$ tais que $A B=A D$ e $C B=C D=C A$. Sabendo que $C \hat{B A}=25^{\circ}$, determine a medida do ângulo BCीD.

Figura 13.1

Solução: Observe que os triângulos $A B C$ e $A D C$ são iguais e isósceles, pois os três lados de cada triângulo possuem as mesmas medidas. Por outro lado,

$$\widehat{C}\widehat{B}A=B\widehat{A}C=C\widehat{A}D=A\widehat{D}C={25}^{\circ }\backslash hat\{C\}\; \backslash hat\{B\}\; A=B\; \backslash hat\{A\}\; C=C\; \backslash hat\{A\}\; D=A\; \backslash hat\{D\}\; C=25^\{\backslash circ\}$$

Daí,

$$\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}=\mathrm{D}\widehat{C}A={180}^{\circ }-{25}^{\circ }-{25}^{\circ }={130}^{\circ }\backslash mathrm\{BC\}\; \backslash mathrm\{A\}=\backslash mathrm\{D\}\; \backslash hat\{C\}\; A=180^\{\backslash circ\}-25^\{\backslash circ\}-25^\{\backslash circ\}=130^\{\backslash circ\}$$

Finalmente

$$\mathrm{B}\widehat{C}\mathrm{D}={360}^{\circ }-{130}^{\circ }-{130}^{\circ }={100}^{\circ }\text{. }\backslash mathrm\{B\}\; \backslash hat\{C\}\; \backslash mathrm\{D\}=360^\{\backslash circ\}-130^\{\backslash circ\}-130^\{\backslash circ\}=100^\{\backslash circ\}\; \backslash text\; \{.\; \}$$

14 | Azulejos de Pedro

Pedro é um pedreiro. Ele tem um grande número de azulejos de três tipos, como mostrado abaixo:

Figura 14.1

O menor lado de cada azulejo mede $10 \mathrm{~cm}$. Ele quer ladrilhar completamente uma bancada de uma cozinha sem cortar qualquer azulejo.

(a) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um retângulo $60 \mathrm{cm} \times 50 \mathrm{cm}$.

(b) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um quadrado $60 \mathrm{cm} \times 60 \mathrm{cm}$.

Solução:

(a) A solução é exibida na figura 14.2.

(b) A solução é exibida na figura 14.3.

15 | Retângulo 9 x 4

(a) Divida um retângulo $9 \times 4$ em três peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$.

(b) Divida um retângulo $9 \times 4$ em duas peças e remonte-as de modo a formar um quadrado $6 \times 6$.

Solução:

(a) Dividimos o retângulo $9 \times 4$ em dois retângulos $2 \times 3$ e um retângulo $4 \times 6$ como mostra a figura 15.1 e os reagrupamos como ilustra a figura 15.2, formando um quadrado $6 \times 6$. Veja as figuras 15.1 a 15.3 .

(b) Dividimos o retângulo em duas figuras iguais e em forma de L e as reagrupamos, como ilustram as figuras 15.3 e 15.4.

Figura 15.3

Figura 15.4

Comentário: A solução de (b) leva a infinitas soluções para (a). Para tal, basta dividir uma das duas peças de (b) em duas quaisquer, obtendo três peças.

Sugestão: Perceba que deve haver uma peça em $\mathbf{L}$ cobrindo cada canto da bancada. Além disso, calcule quantas peças de cada tipo são necessárias para cobrir a área de cada bancada.

Figura 14.2

Figura 14.3

Figura 15.2

Sugestão: Trace um segmento de reta ligando os pontos médios relatados no problema.

Fatos que Ajudam: Traçando uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área. Sugestão: Determine a que fração da área do tangram corresponde cada uma das peças.

Figura 17.3

Figura 17.4

16 | Plantando Jasmins

O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com $10 \mathrm{~m}^{2}$ de área. Dividiu o canteiro traçando uma diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores com um vértice do lado oposto, como indicado na figura.

Figura 16.1

Solução: Sejam ABCD o canteiro e $X$ e $Y$ os pontos médios de $A B$ e $C D$, respectivamente, como na figura 16.2. O ponto de interseção da reta $X Y$ e da diagonal $A C$ determina o centro $O$ do retângulo.

Como a figura é simétrica em relação ao centro $O$, em particular temos que os triângulos XZO e YWO são iguais.

Concluímos que a área do quadrilátero $X Z W B$ é igual à área do triângulo XYB que corresponde a $1 / 4$ da área do retângulo $A B C D$, isto é, $2,5 \mathrm{~m}^{2}$.

17 | Tangram

A figura 17.2 é um retângulo cuja área sombreada foi feita utilizando peças de um tangram que formam um quadrado de $10 \mathrm{~cm}^{2}$ de área, mostrado na figura 17.1.

Figura 17.1

Figura 17.2

Qual é a área do retângulo?

Solução:

No tangram temos: dois triângulos maiores de área $1 / 4$ do quadrado, isto é, $10 / 4 \mathrm{cm}^{2}$; um triângulo, um quadrado e um paralelogramo de área $1 / 8$ do quadrado, isto é, $10 / 8 \mathrm{cm}^{2}$ e dois triângulos de área $1 / 16$ do quadrado, isto é, $10 / 16 \mathrm{~cm}^{2}$.

Na decomposição mostrada na figura 17.4, o retângulo formado possui, além das peças do tangram, quatro quadrados de área $10 / 8 \mathrm{~cm}^{2}$ e seis triângulos de área 10/16 cm², numa área total de

$$4\times \frac{10}{8}+6\times \frac{10}{16}=\frac{35}{4}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}4\; \backslash times\; \backslash frac\{10\}\{8\}+6\; \backslash times\; \backslash frac\{10\}\{16\}=\backslash frac\{35\}\{4\}\; \backslash mathrm\{~cm\}^\{2\}$$

Finalmente, a área do retângulo é

$$10+\frac{35}{4}=\frac{75}{4}=18,75{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}10+\backslash frac\{35\}\{4\}=\backslash frac\{75\}\{4\}=18,75\; \backslash mathrm\{~cm\}^\{2\}$$

18 | Triângulo Isósceles I

Seja $A B C$ um triângulo com $B \hat{A C}=30^{\circ}$ e $A \hat{B C}=50^{\circ}$. A reta $\ell$ corta os lados $A B, B C$ e o prolongamento de $A C$ em $D, E$ e $F$, respectivamente.

Figura 18.1

Se o triângulo BDE é isósceles, quais são as três possíveis medidas para o ângulo CF̂E?

Solução: Sabemos que BCA $=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$ e ECF $=80^{\circ}$. Assim, basta calcular a medida do ângulo CÊF para depois calcular a medida do ângulo CF̂E. Temos três possíveis casos, dependendo quais dos três lados do triângulo BDE são iguais:

(a) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{BE}$, temos que

$$\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{E}=\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{D}=\frac{{180}^{\circ }-{50}^{\circ }}{2}={65}^{\circ }\backslash mathrm\{BDE\}=\backslash mathrm\{BE\}\; \backslash mathrm\{D\}=\backslash frac\{180^\{\backslash circ\}-50^\{\backslash circ\}\}\{2\}=65^\{\backslash circ\}$$

$$\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{F}={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{65}^{\circ }={35}^{\circ }\backslash mathrm\{CF\}\; \backslash mathrm\{F\}=180^\{\backslash circ\}-80^\{\backslash circ\}-65^\{\backslash circ\}=35^\{\backslash circ\}$$

(b) $\mathrm{Se} \mathrm{BD}=\mathrm{DE}$, temos que

$$\widehat{BE}\mathrm{D}=\mathrm{D}\widehat{\mathrm{B}E}={50}^{\circ }\backslash hat\{B\; E\}\; \backslash mathrm\{D\}=\backslash mathrm\{D\}\; \backslash hat\{\backslash mathrm\{B\}\; E\}=50^\{\backslash circ\}$$

e

$$\mathrm{C}\mathrm{F}E={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{50}^{\circ }={50}^{\circ }\backslash mathrm\{CF\}\; E=180^\{\backslash circ\}-80^\{\backslash circ\}-50^\{\backslash circ\}=50^\{\backslash circ\}$$

(c) $\mathrm{Se} \mathrm{DE}=\mathrm{BE}$, temos que

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{B}\widehat{DE}=\mathrm{D}\widehat{BE}={50}^{\circ }}\\ {\displaystyle \mathrm{B}\mathrm{E}D={180}^{\circ }-{50}^{\circ }-{50}^{\circ }={80}^{\circ }}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; \backslash mathrm\{B\}\; \backslash hat\{D\; E\}=\backslash mathrm\{D\}\; \backslash hat\{B\; E\}=50^\{\backslash circ\}\; \backslash \backslash \; \backslash mathrm\{BE\}\; D=180^\{\backslash circ\}-50^\{\backslash circ\}-50^\{\backslash circ\}=80^\{\backslash circ\}\; \backslash end\{gathered\}$$

e

$$\mathrm{C}\widehat{F}E={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{80}^{\circ }={20}^{\circ }\backslash mathrm\{C\}\; \backslash hat\{F\}\; E=180^\{\backslash circ\}-80^\{\backslash circ\}-80^\{\backslash circ\}=20^\{\backslash circ\}$$

Sugestão: Divida o retângulo maior em quadrados.

Figura 19.2

Figura 19.3

Figura 19.4

19 | Formando um Retângulo

A partir de seis retângulos iguais e cinco quadrados iguais é formado um retângulo de perímetro 324 cm, como mostrado na figura 19.1

Determine a área do retângulo construído.

Solução: Do retângulo cinza destacado na figura 19.2, concluímos que um dos lados do retângulo mede 4 vezes o lado do quadrado.

Assim, o outro lado do retângulo mede 3 vezes o lado do quadrado (veja a figura 19.3). Segue que podemos dividir o retângulo em quadrados, como indicado na figura 19.4.

Desta forma, temos que o retângulo fica dividido em $11 \times 7=77$ quadrados. O perímetro deste retângulo é $11+11+7+7=36$ vezes o lado do quadrado. Portanto o lado do quadrado é $324 / 36=9 \mathrm{cm}$ e a área do retângulo é $11 \times 7 \times 9^{2}=6237 \mathrm{cm}^{2}$.

20 | Construindo uma Pipa

Para construir a pipa de papel representada na figura, Eduardo começou por pintar um retângulo ABCD numa folha de papel. Em seguida, prolongou cada um dos lados do retângulo triplicando o seu comprimento e obteve o quadrilátero $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.

Figura 20.1

Sabendo que a área do retângulo $A B C D$ é $200 \mathrm{~cm}^{2}$, qual é a área da pipa construída por Eduardo?

Solução: Observe que os triângulos $A A^{\prime} D^{\prime}$ e $C C^{\prime} B^{\prime}$ são iguais. De igual forma os triângulos $B B^{\prime} A^{\prime}$ e $D D^{\prime} C^{\prime}$ são iguais.

Assim, se $X$ e $Y$ são pontos tais que $A^{\prime} B B^{\prime} X$ e $A^{\prime} A D^{\prime} Y$ são retângulos (figura 20.2), a área da pipa é igual à soma das áreas destes retângulos mais a área do retângulo $A B C D$ e cada um destes retângulos pode ser dividido em $3 \times 2=6$ retângulos iguais a $A B C D$.

Concluímos que a pipa tem área $(6+6+1) \times 200=2600 \mathrm{~cm}^{2}$.

Sugestão: Mostre que a área de cada um dos quatro triângulos é igual ao triplo da área do retângulo ABCD.

Fatos que Ajudam: Construindo uma diagonal de um retângulo, este fica dividido em dois triângulos de mesma área.

Figura 20.2