Datasets:

AI-MO
/

olympiads

Modalities:

olympiads / Brazilian_MO /md /pt-bq2011_N2_aritmetica_e_algebra.md

LxYxvv

add pdf files

de929c3 over 1 year ago

preview code

Raw

History Blame

10.8 kB

19. Aritmética e Álgebra

Nível 2	Soluções

41 | Múltiplo de 36

Determine o maior múltiplo de 36 que possui todos os algarismos pares e diferentes.

Solução: Para um número ser divisível por $36=4 \times 9$, deve ser divisível por 4 e por 9. Assim, a soma dos algarismos do número $n$ procurado deve ser divisível por 9.

Por outro lado, como todos os algarismos são pares, a soma dos algarismos também é par. Assim, a soma dos algarismos é no mínimo 18. Como $0+2+4+6+8=20$, o número $n$ deve ser formado pelos algarismos $0,4,6$ e 8 .

O maior número que podemos formar com esses algarismos, sem repetir, é 8640, o qual também é divisível por 4, assegurando que este é o número procurado.

42 | Quem é maior?

Sejam

$R=3 \times 9+4 \times 10+5 \times 11+\cdots+2003 \times 2009$

$S=1 \times 11+2 \times 12+3 \times 13+\cdots+2001 \times 2011$

(a) Qual é o maior número: $\mathrm{R}$ ou $S$ ?

(b) Calcule a diferença entre o maior e o menor.

Solução:

(a) Cada parcela de $S$ é da forma $n \times(n+10)=n^{2}+10 n$ e cada parcela de $R$ é da forma $(n+2) \times(n+8)=n^{2}+10 n+16$ com $\mathrm{n}={1,2, \ldots, 2001} \mathrm{em}$ ambos os casos. Assim, para todo n, cada parcela de $R$ é maior que a correspondente em $S$, o que torna $\mathrm{R}>\mathrm{S}$.

(b) A diferença entre as parcelas correspondentes é igual a

$\left(n^{2}+10 n+16\right)-\left(n^{2}+10 n\right)=16$

Como existem 2001 parcelas, a diferença entre R e S é igual a $16 \times 2001=32016$. Fatos que Ajudam: A soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é divisível por 9. Sugestão: Observe que cada parcela de $S$ é da forma

$n \times(n+10)$

e cada parcela de R é da forma

$(n+2) \times(n+8)$

Fatos que Ajudam:

$\begin{aligned} & (a+b) \times(c+d)= \\ & a c+a d+b c+b d \end{aligned}$

Sugestão: No item (b), analise os números que possuem a soma dos algarismos maior ou igual a 17. Sugestão: Para quatro números consecutivos use a notação $x, x+1$, $x+2, x+3$

Fatos que Ajudam: (a) O único número primo par é 2. (b) O único número primo múltiplo de 3 é 3.

43 | Resto da Divisão

Um número $n$ de dois algarismos é dividido pela soma de seus algarismos, obtendo resto $\mathrm{r}$.

(a) Encontre um número $n$ tal que $\mathrm{r}=0$.

(b) Mostre que r não pode ser maior que 15.

(c) Mostre que para qualquer $r$ menor ou igual a 12, existe um $n$ que deixa resto $r$ ao dividi-lo pela soma de seus algarismos.

Solução:

(a) Existem vários exemplos onde o resto da divisão é 0 , sendo o menor deles $n=12$.

(b) Denotemos por $\mathrm{S}$ a soma dos algarismos de $\mathrm{n}$.

Observemos que $S \leqslant 18$ e a igualdade somente acontece se $n=$ 99, mas neste caso o resto da divisão é 9 .

Se $S=17$, temos dois possíveis valores de $n=89$ e 98 , que quando divididos por 17 deixam respectivamente restos 4 e 13 .

Nos números restantes, a soma dos algarismos é menor ou igual a 16. Assim, o resto deve ser menor ou igual a 15.

O resto é igual a 15 se $n=79$. Verifique!

(c) Para terminar, basta mostrar um exemplo para cada resto entre 1 e 12. Se consideramos os números $19,28,37, \ldots, 91$, em todos a soma de seus algarismos é 10 e os restos da divisão por 10 são respectivamente $9,8, \ldots, 1$. Para os restos 10,11 e 12 , basta considerar os números 65,76 e 87.

44 | Soma de Consecutivos

(a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.

(b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um número primo? Justifique sua resposta.

Solução:

(a) Seja x o menor dos números. Então, a soma em questão é

$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4 x + 6 = 2 (x + 3)$

Este número é par maior que 2, portanto não pode ser um número primo.

(b) Seja y o menor dos números. Então, a soma em questão é

$y + (y + 1) + (y + 2) = 3 y + 3 = 3 (y + 1)$

Este número é múltiplo de 3 e maior que 3, logo não pode ser um número primo.

45 | Quadrado Perfeito

Observe que

$\begin{gathered} 1^{2}+2^{2}+(1 \times 2)^{2}=3^{2} \\ 2^{2}+3^{2}+(2 \times 3)^{2}=7^{2} \\ 3^{2}+4^{2}+(3 \times 4)^{2}=13^{2} \end{gathered}$

Prove que se a e b são inteiros consecutivos então o número

$a^{2}+b^{2}+(a b)^{2}$

é um quadrado perfeito.

Solução: Suponha, sem perda de generalidade, que $b>a$, isto é, $b-a=1$. Então

$\begin{gathered} (b-a)^{2}=1^{2} \\ b^{2}-2 a b+a^{2}=1 \\ a^{2}+b^{2}=2 a b+1 \end{gathered}$

Somando $(a b)^{2}$ em cada lado da igualdade, temos

$a^{2}+b^{2}+(a b)^{2}=(2 a b+1)+(a b)^{2}=(a b)^{2}+2(a b) \cdot 1+1^{2}=(a b+1)^{2}$.

Sugestão: Mostre que a expressão considerada é igual a

$(a b+1)^{2}$

Fatos que Ajudam:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$

Problema Relacionado

Observe que

$\begin{aligned} & 1 \times 2 \times 3 \times 4+1=5^{2} \\ & 2 \times 3 \times 4 \times 5+1=11^{2} \\ & 3 \times 4 \times 5 \times 6+1=19^{2} \end{aligned}$

Prove que o produto de quatro inteiros positivos consecutivos, aumentado em uma unidade, é um quadrado perfeito.

Sugestão: Elimine as milhares de frações, fazendo

$A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}} .$

Solução: Façamos

$A=\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1991}}}}$

Assim, a soma em questão será

$\frac{1}{2+A}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+A}}=\frac{1}{2+A}+\frac{1+A}{2+A}=\frac{2+A}{2+A}=1$

Sugestão: Tente fatorar os números dados:

(a) Escrevendo o número dado como uma diferença de dois quadrados.

(b) Escrevendo o número dado como uma soma de dois cubos.

Fatos que Ajudam: Utilize as identidades:

(a) $m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n)$

(b) $m^{3}+n^{3}=(m+n)\left(m^{2}-m n+\right.$ $n^{2}$ )

47 | Primos Não!

(a) Prove que o número 3999991 não é primo.

(b) Prove que o número 1000343 não é primo.

Solução:

(a) Observe que

$\begin{aligned} 3999991 & =4000000-9 \\ & =4 \cdot 10^{6}-3^{2} \\ & =\left(2 \cdot 10^{3}\right)^{2}-3^{2} \\ & =\left(2 \cdot 10^{3}-3\right)\left(2 \cdot 10^{3}+3\right)=1997 \cdot 2003 \end{aligned}$

e portanto não é um número primo.

(b) Observe que

$\begin{aligned} 1000343 & =10^{6}+7^{3} \\ & =\left(10^{2}\right)^{3}+7^{3}= \\ & =\left(10^{2}+7\right)\left(\left(10^{2}\right)^{2}-10^{2} \cdot 7+7^{2}\right) \\ & =107 \cdot 9349 \end{aligned}$

portanto não é primo.

48 | Trilegais

Sugestão: Estude a quantidade de números pares e ímpares em um dos subconjuntos com três elementos.

Fatos que Ajudam: A soma de dois números pares ou ímpares resulta num número par. A soma de um número par com um número ímpar resulta num número ímpar. Um conjunto de números é chamado trilegal se pode ser dividido em subconjuntos com três elementos de tal modo que um dos elementos seja a soma dos outros dois. Por exemplo, o conjunto ${1,2,3, \ldots, 11,12}$ é trilegal pois pode ser dividido em ${1,5,6}$, ${2,9,11},{3,7,10}$ e ${4,8,12}$.

(a) Mostre que ${1,2, \ldots, 14,15}$ é trilegal.

(b) Mostre que ${1,2, \ldots, 2010}$ não é trilegal.

Solução:

(a) Para a primeira parte basta encontrar uma distribuição em subconjuntos com três elementos, por exemplo

$\{1,6,7\},\{2,12,14\},\{3,8,11\},\{4,9,13\},\{5,10,15\}$

(b) Observemos que se um conjunto de três elementos cumpre a condição de ser trilegal, então ele tem de ser da forma

$\text { \{par, par, par }\}$

$\text { \{ímpar, ímpar, par\}. }$

Suponhamos que podemos dividir o conjunto em subconjuntos trilegais que tem $A$ conjuntos do primeiro tipo e B conjuntos de segundo tipo. Como a quantidade de números ímpares menores que 2010 é 1005, devemos ter $2 B=1005$, o que é contraditório.

49 | Diferença de Quadrados

(a) De quantas formas é possível escrever o número 105 como diferença de dois quadrados perfeitos?

(b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferença de dois quadrados perfeitos.

Solução:

(a) Sejam $x$ e $y$ dois inteiros positivos tais que a diferença entre seus quadrados é igual a 105, ou seja, $x^{2}-y^{2}=105$. Fatorando, obtemos $(x-y)(x+y)=105$ e, portanto, $x+y$ e $x-y$ devem ser divisores de 105, com $x+y>x-y$. Observe que $1 \cdot 105=3 \cdot 35=5 \cdot 21=7 \cdot 15$ são todas as maneiras de escrever o número 105 como produto de dois inteiros positivos. Assim, teremos quatro casos:

$\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} x+y=105 \\ x-y=1 \end{array} \Longleftrightarrow x=53 \text { e } y=52 .\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} x+y=35 \\ x-y=3 \end{array} \Longleftrightarrow x=19 \text { e } y=16\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} x+y=21 \\ x-y=5 \end{array} \Longleftrightarrow x=13 \text { e } y=8\right. \end{aligned}$

Portanto, é possível escrever 105 como diferença de dois quadrados de quatro formas, a saber: $53^{2}-52^{2}, 19^{2}-16^{2}, 13^{2}-8^{2}$ e $11^{2}-4^{2}$.

(b) Observe que quaisquer que sejam os inteiros $x$ e $y$, os números $x+y$ e $x-y$ são ambos pares ou ambos ímpares, pois a soma dos dois números é igual a $2 x$, que é par, logo não podemos ter um par e o outro ímpar.

Deste modo concluímos que o produto $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ é múltiplo de 4 (caso $x+y$ e $x-y$ sejam pares) ou um número ímpar (caso $x+y$ e $x-y$ sejam ímpares).

Como 106 é par mas não é divisível por 4, não pode ser escrito como diferença de dois quadrados.

Fatos que Ajudam: A diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma destes números pela diferença dos mesmos números. Algebricamente:

$m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)$

Sugestão: Verifique que a sequência que fica no quadro depois de todo o processo é periódica.

Fatos que Ajudam: Um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando são divididos por 9.

50 | Outra de Joãozinho

Joãozinho escreveu os números de 1 até 100000 no quadro, depois foi trocando cada número pela soma de seus algarismos e repetiu este processo até obter uma lista de 100000 números de um algarismo. Por exemplo, começando pelo número 7234 obtemos $7+2+3+4=16 \mathrm{e}$ $1+6=7$.

(a) Que número ficou no lugar do número 98765?

(b) Quantas vezes aparece o número 8 na lista final?

Solução:

(a) $98765 \longrightarrow 9+8+7+6+5=35 \longrightarrow 3+5=8$.

(b) Observemos que um número e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, depois de terminar todo o processo vamos obter uma lista da forma

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4, \ldots, 8,9,1$

Assim até 99999, cada um dos algarismos aparece 11111 vezes, em particular o 8 aparece 11111 vezes.