MatematickiTalent/md/mk-primary-regional/maaabZ8T_kqyMMYVfykjoA.md

XI РЕГИОНАЛЕН НАТПРЕВАР ПО МАТЕМАТИКА
ЗА УЧЕНИЦИТЕ ОД ОСНОВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Задачите и решенијата се скенирани од книгата
Регионални натпревари по математика 83-95
Подготвена од Боривое Миладиновиќ

$\mathbf{V}$ одделение

1. Во дадено делење без остаток, деленикот е зголемен осум пати, па добиен е количник 160. Пресметај го вистинскиот количник.
2. Нацртај агол $\mathrm{AOB}$ од $75^{\circ}$, а потоа подели го на три дела така што првиот дел да биде четири пати поголем од третиот, а вториот три пати поголем од третиот. (Означи ги деловите: I-AOC, II-COD, III-DOB).
3. Еден сточар однел на пазар јаре, овен и теле. Јарето и овенот заедно имале $90 \mathrm{kg}$, јарето и телето $186 \mathrm{kg}$, а овенот и телето $240 \mathrm{~kg}$. По колку килограми има секое од нив.
4. Подот на една училница има форма на квадрат и е поплочен со црни и бели плочки. Плочките се во форма на квадрат со страна $20 \mathrm{~cm}$. Во училницата вкупно се вградени 98 црни плочки, така што на секои два квадратни метри се вградени 4 црни плочки.

a) Најди го периметарот на подот на училницата.

б) Најди колку бели плочки се вградени.

$\mathbf{V}$ өменеления

1. Heкa $a: b=q$, тогam $8 a: b=160$.

2. Hexa $\angle D O B=\alpha$, тогаш $4 \alpha+3 \alpha+\alpha=8 \alpha$. Aroлот $\mathrm{AOB}$ co nомош на стметрала треба да се подели на 8 етнакин пела. $\angle \mathrm{AOC}=4 \mathrm{a}, \angle \mathrm{COD}=3 \alpha, \angle \mathrm{DOB}=\mathrm{a}$.

3. Ако с Ј, Т и О соодветно пи обелехиме тежините на јарето, телето и овенот. тогаш nмaмe:

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{J}+\mathrm{O}=90\mathrm{k}\mathrm{g}}\\ {\displaystyle \mathrm{J}+\mathrm{T}=180\mathrm{k}\mathrm{g}:}\\ {\displaystyle \mathrm{O}+\mathrm{T}=240\mathrm{k}\mathrm{g}}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; \backslash mathrm\{J\}+\backslash mathrm\{O\}=90\; \backslash mathrm\{~kg\}\; \backslash \backslash \; \backslash mathrm\{~J\}+\backslash mathrm\{T\}=180\; \backslash mathrm\{~kg\}:\; \backslash \backslash \; \backslash mathrm\{O\}+\backslash mathrm\{T\}=240\; \backslash mathrm\{~kg\}\; \backslash end\{gathered\}$$

Ако $\mathrm{ru}$ собереме левите и десните страни иа равеиките добиваме:

$$2(\mathrm{J}+\mathrm{O}+\mathrm{T})=516\mathrm{k}\mathrm{g},\mathrm{T}\mathrm{.}\mathrm{e}\mathrm{.}\mathrm{J}+\mathrm{O}+\mathrm{T}=258\mathrm{k}\mathrm{g}2(\backslash mathrm\{~J\}+\backslash mathrm\{O\}+\backslash mathrm\{T\})=516\; \backslash mathrm\{~kg\},\; \backslash mathrm\{~T\}\; .\; \backslash mathrm\{e\}\; .\; \backslash mathrm\{J\}+\backslash mathrm\{O\}+\backslash mathrm\{T\}=258\; \backslash mathrm\{~kg\}$$

Cnореп тoa:

$$T=258-90=168\mathrm{k}\mathrm{g},O=258-186=72\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{n}J=258-240=18\mathrm{k}\mathrm{g}T=258-90=168\; \backslash mathrm\{~kg\},\; O=258-186=72\; \backslash mathrm\{~kg\}\; \backslash mathrm\{n\}\; J=258-240=18\; \backslash mathrm\{~kg\}$$

4. а) Ако на $2 \mathrm{m}^{2}$ се вградени 4 плочка, погаш на $1 \mathrm{m}^{2}$ се аградени 2 плочки. Спорев тов 98 плочки рескоредени се на $49 \mathrm{m}^{2}$, т.е. страната иа подот има должина $7 \mathrm{m}$. Перпметарот на подот $\mathrm{L}=\mathbf{= 4 . 7 - 2 8 \mathrm { m } \text { . }}$

6. Бидејки димензинте на плочките се $20 \mathrm{cm}$, тогаш $1 \mathrm{m}^{2}$ го покриваат 25 плочки од кон 2 се црми. Бели плочки има 23.49=1127.

VI одделение

1. Страната $\mathrm{AC}$ на триаголник $\mathrm{ABC}$ е поделена на четири еднакви делови. Низ добиените точки се повлечени прави паралелни со страната АВ. Должината на најмалата од отсечките зафатена со страните на триаголникот е $15 \mathrm{~cm}$. Најди ја должината на другите отсечки и должината на страната AB.
2. Напишани се, еден до друг, природните броеви на следниот начин $123456789101112 \ldots$ итн. Која цифра стои на 1993 место?
3. Збирот на два природни броја е 288 , а нивниот најголем заеднички делител е 36. Кои се тие броеви?
4. Симетралата на надворешниот агол при основата на еден рамнокрак триаголник ја сече симетралата на надворешниот агол при врвот од истиот триагоник под агол од $80^{\circ}$. Најди ги аглите на тој триаголник.

VI ouncлeriuc

1. Отсечката DE е средна линија на трмaronnuкот $\mathrm{CNM}$, значи $\overline{\mathrm{MN}}=2 \overline{\mathrm{DE}}=30 \mathrm{cm}$. Отсечката MN е средиа линија на $\triangle \mathrm{ABC}$. значи $\overline{\mathrm{AB}}=2 \overline{\mathrm{MN}}=60 \mathrm{cm}$. Ако поллечеме MR|BC, toraw $\overline{\mathrm{SQ}}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{RB}}=30 \mathrm{cm}$. Otryка следува дека $\overline{\mathrm{AR}}=30 \mathrm{cm}$, и $\overline{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AR}}=15 \mathrm{~cm}$.

Cnopex tou $\overline{\mathrm{PQ}}=15+30=-45 \mathrm{~cm}$.

2. Еиноцпфреките бросви имавт 9 цмфрм, а двоцрфрените 90.2=180 цифри. До 1993 цифра треба па опрелелмме колку пма употребени тршцифрени броеви. Употребени се $1993-(90-2+9)=1804$ црфрм, в 1804:3-601 и 1 - остнок, т.е. запишани се 601 трицифрен бреу. Засдно со 9 - едноиифрени и 90 - двоцифрени броја. вкупно се запишини 700 броја. Првнот нареден број кој треба да де запише е 701 . а празта цифра, ксуа е 1993 по рех е 7.
3. Нека тие брхеви се а и b. тогаш $a+b=288$ и НЗД(а, b) $=36$.

Бидејќи НЗД(а. b)=36 имаме: $\mathbf{a = 3 6 x}$ и b=36y.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle 36x+36y=288}\\ {\displaystyle 36(x+y)=288}\\ {\displaystyle x+y=8}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; 36\; x+36\; y=288\; \backslash \backslash \; 36(x+y)=288\; \backslash \backslash \; x+y=8\; \backslash end\{gathered\}$$

Броевите $x$ и у треба да го задоволуваят условот $\mathrm{x}+\mathrm{y}=8$ и $Н$ НЗД( $\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{I}$. Тоа се паровите: $(x=1, y=7)$ и $(x=3, y=5)$. Бараните бросви се:

$$a=36\cdot 1=36,b=36\cdot 7=252\text{ n }a=36\cdot 3=108,b=36\cdot 5=180a=36\; \backslash cdot\; 1=36,\; b=36\; \backslash cdot\; 7=252\; \backslash text\; \{\; n\; \}\; a=36\; \backslash cdot\; 3=108,\; b=36\; \backslash cdot\; 5=180$$

4. I - начик: Нека $\triangle A B C$ е рамнокрак

$(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}})$. тогашы надворешниот агол

$${\gamma }_1=2\alpha \mathrm{.}a\mathrm{\angle }CBD=\frac{180-\alpha }{2}=90-\frac{\alpha }{2}\backslash gamma\_\{1\}=2\; \backslash alpha\; .\; a\; \backslash angle\; C\; B\; D=\backslash frac\{180-\backslash alpha\}\{2\}=90-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}$$

Од триаголникот CDB следува:

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{\angle }DCB+\mathrm{\angle }CBD+\mathrm{\angle }BDC=1800}\\ {\displaystyle \alpha +90-\frac{\alpha }{2}+80=180:}\\ {\displaystyle \alpha =\frac{\alpha }{2}=1800-170:\frac{\alpha }{2}=10}\\ {\displaystyle \alpha ={20}^{\circ }\mathrm{.}a\gamma =1800-2\alpha =1400}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; \backslash angle\; D\; C\; B+\backslash angle\; C\; B\; D+\backslash angle\; B\; D\; C=1800\; \backslash \backslash \; \backslash alpha+90-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}+80=180:\; \backslash \backslash \; \backslash alpha=\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}=1800-170:\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}=10\; \backslash \backslash \; \backslash alpha=20^\{\backslash circ\}\; .\; a\; \backslash gamma=1800-2\; \backslash alpha=1400\; \backslash end\{gathered\}$$

II - начин: Бидејки $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}$. следува дека $\mathrm{AB} \mid \mathrm{CD}$.

$\angle \mathrm{CBD}=\frac{\beta_{1}}{2}=800$. како наязменични агли на трансверзала. Оттука следува:

$$\alpha ={180}^{\circ }\cdot {\beta }_1={20}^{\circ },\gamma ={180}^{\circ }\cdot 2\alpha ={140}^{\circ }\backslash alpha=180^\{\backslash circ\}\; \backslash cdot\; \backslash beta\_\{1\}=20^\{\backslash circ\},\; \backslash gamma=180^\{\backslash circ\}\; \backslash cdot\; 2\; \backslash alpha=140^\{\backslash circ\}$$

VII одделение

1. За која вредност на $x$ изразот:

$(3 x-4) \cdot(7 x+8)-1.5 x(24 x+4)-5(1-2 x)$, е негативен?

2. Најди двоцифрени броеви за кои важи: Ако двоцифрениот број се помножи со цифрата на десетките се добива трицифрен број запишан со исти цифри.
3. Докажи дека средините на страните на произволен триаголник и подножната точка на една од висините на триаголникот се темиња на рамнокрак трапез.
4. Во првоаголен триаголник $\mathrm{ABC}$ на хипотенузата $\mathrm{AB}$ означени се точките $\mathrm{M}$ и N, така што $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AC}}$ и $\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{BC}}$. Одреди ја големината на аголот $\mathrm{MCN}$.

VII оделение

1. Види III р.н. VII/2.

2. Нека тој број $\mathrm{e} \overline{\mathrm{bb}}$, тогаш $\mathrm{a} \cdot \overline{\mathrm{ab}}=\overline{\mathrm{xax}}$, т.е. $\mathrm{a} \cdot \overline{\mathrm{ab}}=11 \mathrm{x}=3 \cdot 37 \mathrm{x}$ при што $x \in{1,2, \ldots, 9}$. Барањето во јцдачата е исполнето само за $x=1$. Цифрата на десетките на бројот $37 \mathrm{x}$ за $x \in{2$ 3. .... 9} е различна од 3. Исто така п $3 x, x \in{2,3, \ldots$. 9} е различна од 3 (ипфра на десетките на бројот 37). Оттука следува дека единственнот број хој го зддоволува барањето е 37.
3. Види VIII р.н. VII/2.
4. Бидејки $\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{AC}}$, следува дека триаголнакот АМС е рамнокрак.

$\angle \mathrm{CMA}=\angle \mathrm{MCA}$ и

$\angle \mathrm{CMA}=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.

Од $\overline{\mathrm{BN}}=\overline{\mathrm{BC}}$, следува дека триаголникот $\mathrm{BCN}$ е рамнокрак .

$\angle \mathrm{BCN}=\angle \mathrm{CNB}$ и $\angle \mathrm{CNB}=\frac{180^{\circ}-\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$.

Од триаголнихот $\mathrm{CMN}$ имаме: $\angle \mathrm{MCN}+\angle \mathrm{CMA}+\angle \mathrm{CNB}=180^{\circ}$.

$\angle \mathrm{MCN}+900-\frac{\alpha}{2}+900-\frac{\beta}{2}=1800,6$ идејки $\alpha+\beta=90^{\circ}$ следува: $\angle \mathrm{MCN}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$.

VIII одделение

1. Пресметај $\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}+\mathrm{c}^{4}$, ако $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ и $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=1$.
2. Докажи дека симетралата на аголот $\mathrm{ACB}$ во триаголник $\mathrm{ABC}$ ја дели спротивната страна $\mathrm{AB}$ на две отсечки што се пропорционални со другите две страни на триаголникот.
3. По завршувањето на една кино претстава, дел од гледачите заминале дома со 6 автобуси, при што во секој автобус влегле ист број на гледачи. Останатите, кои биле за $15 %$ повеќе, заминале пеш. Колку вкупно гледачи имало во салата, ако се знае дека таа може да прими најмногу 400 гледачи, а со автобуси заминале повеќе од 150 гледачи?
4. Ако остриот агол на еден ромб е $30^{\circ}$, тогаш неговата страна е геометриска средина од дијагоналите. Докажи!

VIII одделенве

1. Дадено е: $a+b+c=0$ и $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Од $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+a c+b c)$ следув $(a b+a c+b c)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Од $(a b+a c+b c)^{2}=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+2 a b c(a+b+c)$, следува $a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$.

$\mathrm{O}_{4}\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)^{2}=\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}+\mathrm{c}^{4}+2\left(\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2}+\mathrm{a}^{2} \mathrm{c}^{2}+\mathrm{b}^{2} \mathrm{c}^{2}\right)$, следува

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)$, T.e. $a^{4}+b^{4}+c^{4}=12-2 \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

2. Низ темето В да повлечеме права $p$ паралелна со симетралата $\mathrm{CC}{1} \cdot \mathrm{p} \cap \mathrm{AC}={\mathrm{D}}$. Триаголникот ВCD е рамнокрак $\left(\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{ACC} \mathrm{C}{1}=\frac{\gamma}{2} ; \angle \mathrm{C}{1} \mathrm{CB}=\angle \mathrm{CBD} ;\right.$ arли $\mathrm{co}$ паралелни краци), $\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CB}}$. Од паралелноста на правите $\mathrm{CC}{1}$ в $\mathrm{BD}$ следува про-

3. I - начпн: Нека $x$ е бројот на латници во еден автобус. Тогаш со автобус сн заминале вкупно $6 x$. Пеш заминале $6 x+0,15-6 x=6,9 x$. Бројот $x$ е природен 6 рој делив со 10 , бидејки (6,9:x)єN. Од $6 x>150$ и $6 x+6,9 x \leq 400$, следува дека $25<x \leq 31 \frac{1}{129}$. Бидејки $10 \mid x$. следува дека $x=30$. Со автобус заминале $6 x=6 \cdot 30=180$. Вкупно патници 6 иле $180+207=387$. II - начвн: Неха со автобусн заминале х гледачи, тогаш $6 \mid x$. Пеш заминале $x+0,15 x=\frac{23}{20} x$. што значи $201 \mathrm{x}$. Од ова следува дека х е содржател иа 20 и 6 , т.е. х ${(60,120,180,240, \ldots}$. Ако $x \geq 240$, тогашш $2 x+0,15 x \geq 400$. Значи $x \leq 180$, па од $x>150$ следува $x=180$. Вкупно гледачи биле $180+\frac{23}{20} \cdot 180=387$.

4. Неха $\mathrm{DD}_{1}$ е висина на ромбот $\mathrm{ABCD}$

со страна а. Од $\triangle \mathrm{ADD}{1}$ имаме $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{a}}{2}$, како страна во правоаголен триагоник спроти агол од 300 . Плоштината на ромбот e: P=a.h или $P=\frac{d{1} d_{2}}{2}$ ( $d_{1}$ и $d_{2}$ се дијагоналите на ромбот).

Следува деха $a \cdot h=\frac{d_{1} d_{2}}{2}$, т.е. $a^{2}=d_{1} \cdot d_{2}$.