Czech/md/cs-mo-secondary/cs-3471671-b48i.md

Úlohy domácího kola kategorie B

1. Na louce jsou děti i dospělí. Počet procent chlapcũ ze všech dětí se rovná počtu procent divek ze všech přitomných osob a také počtu všech dospèlých. Kolik chlapcü, dívek a dospëlých je na louce?

ŘEŠEní. Označme po řadě $c, d$ a $v$ počet chlapcủ, dívek a dospělých na louce. Platí

$$\frac{100c}{c+d}=\frac{100d}{c+d+v}=v\backslash frac\{100\; c\}\{c+d\}=\backslash frac\{100\; d\}\{c+d+v\}=v$$

Z první rovnosti plyne $d^{2}=c^{2}+v c$, což dosadíme do rovnosti mezi prvním a třetím výrazem, kterou předem upravíme do tvaru $v d=(100-v) c$ a umocníme na druhou. Po úpravě dostaneme

$$v^3=200c(50-v)v^\{3\}=200\; c(50-v)$$

Odtud plyne, že $v$ je dělitelné 10 a $v<50$. Vyzkoušením všech čtyř možností $(v=10, v=20, v=30, v=40)$ zjistíme, že celé $c$ dostaneme jedině pro $v=40$. Potom $c=32, d=48$.

Na louce je 32 chlapců, 48 dívek a 40 dospělých.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Určete všechny dvojice prvočísel $p, q$, která splňují rovnici $3 p^{2}+p=q^{2}+3 q$. [34. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{II}-3 \mathrm{a}$ ]
2. Která přirozená čísla $x, y, z$ splňují soustavu rovnic

[41. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{S}-2]$

3. Najděte všechny trojice přirozených čísel $x, y, z$ tak, aby zároveň platilo

[29. roč. MO, B-I-6]

2. Uvažujme shodné polokružnice, které ležı v daném pravém úhlu a jejichž koncové body ležı každý na jiném jeho rameni. Určete množinu, kterou vyplní body všech těchto polokružnic.

ŘEŠEní. Označme $p, q$ ramena daného pravého úhlu, $O$ jeho vrchol, $P, Q$ př́slušně koncové body průměru uvažované polokružnice a $|P Q|=2 r$. Zvolme pevně vnitřní bod $R$ polokružnice a zkoumejme, jaký útvar body $R$ vyplní. Trojúhelníky $Q P R$ a $P Q O$ jsou pravoúhlé, proto body $O, P, Q, R$ leží na jedné kružnici (obr. 1). Odtud podle věty o obvodových úhlech plyne, že

$$\mathrm{\mid }\text{Varangle}RQP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\text{Varangle}ROP\mathrm{\mid }\mathrm{.}|\backslash Varangle\; R\; Q\; P|=|\backslash Varangle\; R\; O\; P|\; .$$

Jelikož je $|\nless R Q P|$ pro pevný bod $R$ konstantní, leží bod $R$ na polopřímce s počátkem $O$, která svírá s polopřímkou $p$ úhel o velikosti $|\nless R Q P|$.

Obr. 1

Obr. 2

Pro vzdálenost $|O R|$ zřejmě platí $|O R| \leqq|P Q|$, protože $O R$ je tětiva kružnice s průmĕrem $P Q$.

Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že hledaná množina je zřejmě souměrná podle osy daného pravého úhlu, stačí vyšetřit případ, kdy $|\Varangle P O R| \geqq 45^{\circ}$. V tomto případě je $|\Varangle R Q O| \geqq 90^{\circ}$, takže $|O R| \geqq|Q R|$. Označme $P_{0}$ bod polopřímky $O P$, pro který $\left|O P_{0}\right|=|P Q|, R_{0}$ jeho kolmý průmět na polopřímku $O R$ (obr. 1). Protože trojúhelníky $O P_{0} R_{0}$ a $Q P R$ jsou shodné pravoúhlé trojúhelníky, je $\left|O R_{0}\right|=|Q R|$. Pro vzdálenost $|O R|$ tedy platí $\left|O R_{0}\right| \leqq|O R| \leqq 2 r$. Bod $R$ tedy leží v té části polopřímky $O R$, která je omezena kružnicí $k_{1}$ nad průměrem $O P_{0}$ a čtvrtkružnicí $k$ se středem $O$ a poloměrem $O P_{0}$. Analogicky pro $|\Varangle P O R| \leqq 45^{\circ}$ vyjde, že hledané body $R$ leží v části polopřímky $O R$, která je omezena kružnicí $k_{2}$ nad průměrem $O Q_{0}$ a čtvrtkružnicí $k$.

Zbývá ukázat, že celá množina vyšrafovaná na obr. 2 je hledanou množinou bodů $R$. K tomu stačí si uvědomit, že pokud bod $R$ leží uvnitř čtvrtkružnice $k$ a vně aspoň jedné $\mathrm{z}$ kružnic $k_{1}, k_{2}$, existuje aspoň jedna (případně dvě, ležíli bod vně obou kružnic $k_{1}, k_{2}$ ) kružnice $s$ daným průměrem $2 r$ procházející body $O$ a $R$, jejíž střed leží uvnitř útvaru omezeného polopřímkami $p, q$ a čtvrtkružnicí $k$. Tato kružnice se bude vnitřně dotýkat $k$ a protne každou z úseček $O P_{0}, O Q_{0}$. Uvedené průsečíky budou krajními body hledané polokružnice obsahující uvažovaný bod $R$.

Závěr: Hledanou množinou bodů je útvar (včetně své hranice) vyšrafovaný na obr. 2 , tj. čtvrtkruh se středem $O$ a poloměrem $2 r$ bez vnitřku „čočky“ omezené dvěma čtvrtkružnicemi o poloměru $r$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Dokažte, že součet protějších vnitřních úhlů v konvexním čtyřúhelníku, jemuž lze opsat kružnici, je $180^{\circ}$.
2. Určete množinu středů všech úseček konstantní délky $d$, jejichž jeden konec se pohybuje po jedné a druhý konec po druhé ze dvou vzájemně kolmých přímek. [Kružnice se středem v průsečíku přímek a poloměrem $\frac{1}{2} d$.]
3. Uvnitř pravého úhlu je dán bod $B$. Sestrojte polokružnici s daným průměrem $d$, která prochází bodem $B$, jeden její koncový bod leží na jednom rameni a druhý na druhém rameni pravého úhlu.
4. V rovině je dána úsečka $A B$. V jedné z polorovin vytatých přímkou $A B$ uvažujme všechny pravoúhlé trojúhelníky $A B C$ s přeponou $A B$. Označme $X$ patu kolmice vedené bodem $B$ na osu úhlu $B C A$. Dokažte, že osy všech takových úhlů $B C A$ procházejí pevným bodem, a vyšetřete množinu všech bodů $X$. [21. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{P}-3]$
5. Je dán rovnostranný trojúhelník $P Q R$. Určete množinu všech vrcholů $A$ takových trojúhelníkủ $A B C$, jejichž strany $A B, B C, C A$ obsahují v uvedeném pořadí vrcholy $P, Q, R$, a pro délky jejich stran platí $|A B| \geqq|A C| \geqq|B C|$. [21. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{II}-1 \mathrm{a}]$
6. Je dána kružnice $k \mathrm{~s}$ průměrem $A B$. Na kružnici $k$ zvolíme bod $X \neq A, B$ a na poloprímce $A X$ sestrojíme bod $Y$ tak, aby platilo $|A Y|=|A X|+|X B|$. Vyšetřete množinu středů úseček $A Y$ pro všechny takové body $X$. [24. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{P}-3]$
7. Najděte všechna trojmístná čisla v desítkové soustavě, která se rovnají třetině čísla s týmž zápisem v jiné čiselné soustavě.

ŘEŠENí. Hledané číslo v desítkové soustavě má tvar

$$100A+10B+C,A,B,C\in \{0,1,\dots ,9\},A\mathrm{\ne }0100\; A+10\; B+C,\; \backslash quad\; A,\; B,\; C\; \backslash in\backslash \{0,1,\; \backslash ldots,\; 9\backslash \},\; A\; \backslash neq\; 0$$

Je-li $z$ neznámý základ jiné číselné soustavy, má podle podmínky úlohy platit

$$100A+10B+C=\frac{1}{3}(A{z}^2+Bz+C),100\; A+10\; B+C=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(A\; z^\{2\}+B\; z+C\backslash right),$$

odkud dostáváme rovnici

$$A(z^2-300)=B(30-z)+2C\mathrm{.}A\backslash left(z^\{2\}-300\backslash right)=B(30-z)+2\; C\; .$$

Zřejmě je $z \geqq 18$, nebot' $17^{2}<300$. Rozeberme jednotlivé případy:

Je-li $z=18$, je $12 A=6 B+C$. Rešením jsou tyto trojice $(A, B, C):(1,2,0)$, $(1,1,6),(2,4,0),(2,3,6),(3,6,0),(3,5,6),(4,8,0),(4,7,6),(5,9,6)$.

Je-li $z=19$, je $61 A=11 B+2 C$. Rešením je trojice $(A, B, C)=(1,5,3)$.

Je-li $z=20$, je $50 A=5 B+C$. Rešením je trojice $(A, B, C)=(1,9,5)$.

Pro $z \geqq 21$ už rovnost nenastane pro žádnou trojici $(A, B, C)$, nebot levá strana rovnice je vždy větší nebo rovna 141 a pravá strana je vždy menší nebo rovna 99 .

Celkem vyhovuje 11 čísel: 116, 120, 153, 195, 236, 240, 356, 360, 476, 480 a 596 .

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Vyjádřete dekadické číslo 1998 v číselné soustavě dvojkové, trojkové, ..., šestnáctkové. $[11111001110,2202000,133032,30443,13130,5553,3716,2660$, 1998, 1557, 11A6, BA9, A2A,8D3, 7CE-znaky $A, B, C, D, E, F$ znamenají postupně čísla $10,11,12,13,14,15$.]
2. Ve které číselné soustavě platí $42 \cdot 31=1522$ ? [V osmičkové.]
3. Pro které základy $z$, u platí rovnost $(53){z}=(35){u}$ ? (Symbol $(53)_{z}$ znamená číslo, jež je v číselné soustavě o základu $z$ zapsáno jako 53.) [Vyhovuje nekonečně mnoho dvojic $(z, u):(7,11),(10,16),(13,21), \ldots$, obecně $z=3 k+1$, $u=5 k+1, k \geqq 2$.]
4. Co se stane s číslem napsaným v dvojkové číselné soustavě, jestliže za poslední číslici připišeme a) nulu, b) dvě nuly? [Číslo se a) zdvojnásobí, b) stane čtyřnásobkem.]
5. Je-li $z>2$ základ číselné soustavy, pak čísla $(z-1)^{2}, 2(z-1)$ napsaná v této soustavě mají vždy obrácený sled cifer. Dokažte. [Návod: Obě čísla jsou dvojciferná s číslicemi 1 a $z-2$.]
6. Je dán rovnostranný trojúhelník $A B C$. Na straně $B C$ najděte bod $P$ tak, aby kružnice vepsaná trojúhelníku $A B P$ a kružnice připsaná straně $P C$ trojúhelníku APC byly shodné.

ŘEŠENí. Necht̉ a značí délku strany rovnostranného trojúhelníku $A B C$. Dále označme délky úseků tečen z bodů $A, B, C$ a $P$ k oběma uvažovaným kružnicím stejně jako na obr. 3. Poloměry obou shodných kružnic označme $r$. Z obrázku je patrné, že platí

$$a+z=a-x+2y,\text{ odkud }x+z=2y\text{. }a+z=a-x+2\; y,\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; odkud\; \}\; \backslash quad\; x+z=2\; y\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Při vyjádření délky $a$ strany $B C$ obdržíme dále

$$x+2y+z=a\mathrm{.}x+2\; y+z=a\; .$$

Ze vztahů (1) a (2) bezprostředně plyne

$$x+z=2y=\frac{a}{2},\text{ tedy }y=\frac{a}{4}x+z=2\; y=\backslash frac\{a\}\{2\},\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; tedy\; \}\; \backslash quad\; y=\backslash frac\{a\}\{4\}$$

Dále vidíme, že platí dvojice vztahů

$$x=r\mathrm{cotg}{30}^{\circ }=r\sqrt{3}\text{ a }z=r\mathrm{cotg}{60}^{\circ }=r\frac{\sqrt{3}}{3},x=r\; \backslash operatorname\{cotg\}\; 30^\{\backslash circ\}=r\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; a\; \}\; \backslash quad\; z=r\; \backslash operatorname\{cotg\}\; 60^\{\backslash circ\}=r\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{3\},$$

z nichž plyne

$$x=3z\text{. }x=3\; z\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Dosazením (3) do (2) dostaneme po snadné úpravě

$$\frac{a}{2}=x+z=3z+z=4z,\text{ odkud }z=\frac{a}{8}\backslash frac\{a\}\{2\}=x+z=3\; z+z=4\; z,\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; odkud\; \}\; \backslash quad\; z=\backslash frac\{a\}\{8\}$$

Celkově tedy

$$\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=x+y=3z+y=\frac{3}{8}a+\frac{1}{4}a=\frac{5}{8}a,\mathrm{\mid }CP\mathrm{\mid }=a-\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=\frac{3}{8}a\mathrm{.}|B\; P|=x+y=3\; z+y=\backslash frac\{3\}\{8\}\; a+\backslash frac\{1\}\{4\}\; a=\backslash frac\{5\}\{8\}\; a,\; \backslash quad|C\; P|=a-|B\; P|=\backslash frac\{3\}\{8\}\; a\; .$$

Odtud již okamžitě plyne konstrukce bodu $P$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Konvexnímu čtyřúhelníku $A B C D$ lze vepsat kružnici, právě když pro jeho strany $a, b, c, d$ platí $a+c=b+d$. Dokažte.
2. Určete délky stran pravoúhlého trojúhelníku $A B C$, je-li poloměr jeho opsané kružnice $r=5 \mathrm{cm}$ a poloměr jeho vepsané kružnice $\varrho=2 \mathrm{cm}$. $[6 \mathrm{cm}, 8 \mathrm{cm}$, $10 \mathrm{~cm}$.]
3. Kružnice vepsaná trojúhelníku $A B C$ se dotýká strany $A B$ v bodě $U$, kružnice vně připsaná straně $A B$ se jí dotýká v bodě $V$. Dokažte, že při obvyklém značení platí:

$$\mathrm{\mid }AU\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }BU\mathrm{\mid }=\mathrm{cotg}\frac{\alpha }{2}:\mathrm{cotg}\frac{\beta }{2},\mathrm{\mid }AV\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }BV\mathrm{\mid }=\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}:\mathrm{tg}\frac{\beta }{2}|A\; U|:|B\; U|=\backslash operatorname\{cotg\}\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}:\; \backslash operatorname\{cotg\}\; \backslash frac\{\backslash beta\}\{2\},\; \backslash quad|A\; V|:|B\; V|=\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}:\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}$$

4. Vzájemná poloha rovnostranného trojúhelníku $A B C$ a kružnice $k$ je znázorněna na obr. 4. Dokažte, že pro vyznačené délky platí

$$a+c+e=b+d+f\text{. }a+c+e=b+d+f\; \backslash text\; \{.\; \}$$

5. V trojúhelníku $A B C$ je sestrojena těžnice $C C_{1}$ a do trojúhelníků $A C C_{1}$ a $B C C_{1}$ jsou vepsány kružnice. Dokažte, že vzdálenost dotykových bodů těchto kružnic s těžnicí $C C_{1}$ je (při obvyklém označení stran trojúhelníku) $\frac{1}{2}(a-b)$.
6. Do lichoběžníku $A B C D(A B | C D)$ jsou vepsány kružnice $k_{1}, k_{2}$, které se v uvedeném pořadí dotýkají stran $a, c, d$, resp. $a, c, b$. Jestliže pro délky stran lichoběžníku platí $a+c>b+d$ a jeho výška má délku $\frac{1}{2}(a+c-b-d)$, pak mají kružnice $k_{1}$,

Obr. 4 5. $Z$ koule o polomèru $R$ je oddèlena kulová úseč o výšce $v(v<R)$. Této úseči je vepsána koule $K$ o poloměru $\frac{1}{2} v$. Dále je do úseče vepsáno osm shodných menšich koulí, z nichž každá se dotýká koule K. Žádné dvě z nich nemají společný vnitřní bod a každá z nich se dotýká právě dvou ostatních. Určete poměr $v: R$.

ŘEŠENí. Označme $S$ střed koule, z níž je úseč odříznuta, $O$ střed koule $K$ a $Q$ střed jedné menší vepsané koule o poloměru $r$. Patu kolmice z bodu $Q$ na přímku $S O$ označme $P$. Obr. 5 představuje řez útvaru rovinou $S O Q$. Pro vyznačené úsečky platí

$$\mathrm{\mid }QO\mathrm{\mid }=\frac{v}{2}+r,\mathrm{\mid }PO\mathrm{\mid }=\frac{v}{2}-r,\mathrm{\mid }QS\mathrm{\mid }=R-r,\mathrm{\mid }PS\mathrm{\mid }=R+r-v|Q\; O|=\backslash frac\{v\}\{2\}+r,|P\; O|=\backslash frac\{v\}\{2\}-r,|Q\; S|=R-r,|P\; S|=R+r-v$$

Z pravoúhlých trojúhelníků $O Q P$ a $Q S P$ plynou rovnosti

$${(\frac{v}{2}+r)}^2-{(\frac{v}{2}-r)}^2=\mathrm{\mid }QP{\mathrm{\mid }}^2=(R-r{)}^2-(R+r-v{)}^2,\backslash left(\backslash frac\{v\}\{2\}+r\backslash right)^\{2\}-\backslash left(\backslash frac\{v\}\{2\}-r\backslash right)^\{2\}=|Q\; P|^\{2\}=(R-r)^\{2\}-(R+r-v)^\{2\},$$

odkud

$$\mathrm{\mid }PQ{\mathrm{\mid }}^2=2rv,r=\frac{2Rv-v^2}{4R}\mathrm{.}|P\; Q|^\{2\}=2\; r\; v,\; \backslash quad\; r=\backslash frac\{2\; R\; v-v^\{2\}\}\{4\; R\}\; .$$

Vzdálenost středu každé menší koule je od osy úseče je $|P Q|$, vzdálenost středů $Q_{1}, Q_{2}$ dvou sousedních menších koulí je $2 r$. Použijeme-li kosinovou větu na trojúhelník $Q_{1} Q_{2} P$, dostaneme (obr. 6)

$$\cos \phi =\frac{2\mathrm{\mid }QP{\mathrm{\mid }}^2-4r^2}{2\mathrm{\mid }QP{\mathrm{\mid }}^2}=1-\frac{r}{v}\backslash cos\; \backslash varphi=\backslash frac\{2|Q\; P|^\{2\}-4\; r^\{2\}\}\{2|Q\; P|^\{2\}\}=1-\backslash frac\{r\}\{v\}$$

Jelikož menších koulí má být osm, je $\varphi=45^{\circ}$ a $\cos \varphi=\frac{1}{2} \sqrt{2}$. vyjádříme-li $\mathrm{z}$ druhé rovnosti v (1)

plyne odtud podle (2)

$$\frac{r}{v}=\frac{2R-v}{4R}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{v}{R}\backslash frac\{r\}\{v\}=\backslash frac\{2\; R-v\}\{4\; R\}=\backslash frac\{1\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash frac\{v\}\{R\}$$

$$\frac{v}{R}=2(1-2\frac{r}{v})=2(2\cos \phi -1)=2(\sqrt{2}-1)\mathrm{.}\backslash frac\{v\}\{R\}=2\backslash left(1-2\; \backslash frac\{r\}\{v\}\backslash right)=2(2\; \backslash cos\; \backslash varphi-1)=2(\backslash sqrt\{2\}-1)\; .$$

Obr. 5

Obr. 6

NÁVOdNÉ ÚloHY:

1. Do polokružnice $k_{1}$ o průměru $2 R$ je vepsána kružnice $k_{2}$ o průměru $R$. Vypočtěte poloměr kružnice $k_{3}$, která se dotýká vně kružnice $k_{2}$ a zevnitř polokružnice $k_{1}$ i jejího průměru. [ $\frac{1}{4} R$. Viz též 38. roč. MO, C-II-2.]
2. Do mezikruží o vnitřním poloměru $r$ a vnějším poloměru $R$ je vepsáno $n$ kružnic „za sebou" tak, že se každé dvě sousední dotýkají. Určete vztah mezi $r, R$ a $n \cdot\left[\frac{R}{r}=\frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}\right]$
3. Kružnice se středy $A, B, C$ a poloměry $a, b, c$ se dotýkají navzájem i přímky $p$ podle obr. 7. Vyjádřete poloměr $c$ pomocí poloměrủ $a, b .\left[c=\frac{a b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}\right]$
4. Dvě koule $k_{1}(A, a), k_{2}(B, b)$ se vně dotýkají a obě se ještě dotýkají roviny $a$. Určete poloměr koule $k_{3}(C, c)$, která se vně dotýká koulí $k_{1}$ a $k_{2}$ a roviny $a$, přičemž rovina $A B C$ je kolmá na rovinu $a$. [Řešení: Stejné jako v úloze 3.]

Obr. 7

6. Najděte všechny možné hodnoty součtu $x+y$, kde reálná čísla $x$, $y$ splňují rovnost $x^{3}+y^{3}=3 x y$.

ŘEŠENí. Hledáme vlastně všechny ty hodnoty parametru $s$, pro něž má soustava rovnic

řešení v oboru reálných čísel. $\mathrm{Z}$ druhé rovnice vyjádříme $y=s-x$ a dosadíme do první rovnice, kterou budeme řešit vzhledem k neznámé $x$ :

$$\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+(s-x{)}^3=3x(s-x),}\\ {\displaystyle x^3+s^3-3s^{2}x+3s{x}^2-x^3=3sx-3x^2}\\ {\displaystyle 3(s+1)x^2-3s(s+1)x+s^3=0.}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; x^\{3\}+(s-x)^\{3\}=3\; x(s-x),\; \backslash \backslash \; x^\{3\}+s^\{3\}-3\; s^\{2\}\; x+3\; s\; x^\{2\}-x^\{3\}=3\; s\; x-3\; x^\{2\}\; \backslash \backslash \; 3(s+1)\; x^\{2\}-3\; s(s+1)\; x+s^\{3\}=0\; .\; \backslash end\{gathered\}$$

Tato rovnice zřejmě nemá řešení pro $s=-1$. Pro $s \neq-1$ jde o kvadratickou rovnici, která má v oboru reálných čísel řešení, právě když je její diskriminant $D$ nezáporný. Výpočtem

$$D=9s^2(s+1{)}^2-12(s+1)s^3=3s^2(s+1)(3-s)D=9\; s^\{2\}(s+1)^\{2\}-12(s+1)\; s^\{3\}=3\; s^\{2\}(s+1)(3-s)$$

zjištujeme, že $D \geqq 0$, právě když $-1 \leqq s \leqq 3$, což spolu s podmínkou $s \neq-1$ dává hledanou množinu možných hodnot součtů $s$ : je to polouzavřený interval $(-1,3)$.

Zpětně je vidět, že pro každé $s$ z intervalu $(-1,3\rangle$ existuje číslo $x$, jež je kořenem výše uvedené kvadratické rovnice, a že toto čísla $x$ a odpovídající hodnota $y=s-x$ splňují rovnici $x^{3}+y^{3}=3 x y$.

Pro úplnost vypočtěme ta čísla $x, y$, jež jsou pro libovolné $s \in(-1,3\rangle$ řešením uvažované soustavy:

$$x_{1,2}=\frac{3s(s+1)\pm s\sqrt{3(s+1)(3-s)}}{6(s+1)}=\frac{s}{2}\pm s\sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}\mathrm{.}x\_\{1,2\}=\backslash frac\{3\; s(s+1)\; \backslash pm\; s\; \backslash sqrt\{3(s+1)(3-s)\}\}\{6(s+1)\}=\backslash frac\{s\}\{2\}\; \backslash pm\; s\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3-s\}\{12(s+1)\}\}\; .$$

Po dosazení do $y=s-x$ zjištujeme, že danému $s$ přísluší dvě dvojice

či

$$[x,y]=\{\frac{s}{2}+s\sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}},\frac{s}{2}-s\sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}\}[x,\; y]=\backslash left\backslash \{\backslash frac\{s\}\{2\}+s\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3-s\}\{12(s+1)\}\},\; \backslash frac\{s\}\{2\}-s\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3-s\}\{12(s+1)\}\}\backslash right\backslash \}$$

$$[x,y]=\{\frac{s}{2}-s\sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}},\frac{s}{2}+s\sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}\}\mathrm{.}[x,\; y]=\backslash left\backslash \{\backslash frac\{s\}\{2\}-s\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3-s\}\{12(s+1)\}\},\; \backslash frac\{s\}\{2\}+s\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3-s\}\{12(s+1)\}\}\backslash right\backslash \}\; .$$

Rovnost $x^{3}+y^{3}=3 x y$ lze pro nalezená $x$ a $y$ bud' ověrit dosazením a přímým výpočtem, nebo pomocí Viètových vzorcủ pro kořeny uvedené kvadratické rovnice

$$x+y=s,xy=\frac{s^3}{3(s+1)}x+y=s,\; \backslash quad\; x\; y=\backslash frac\{s^\{3\}\}\{3(s+1)\}$$

podle kterých

$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=s^3-3s\frac{s^3}{3(s+1)}=\frac{s^3}{s+1}=3xy\mathrm{.}x^\{3\}+y^\{3\}=(x+y)^\{3\}-3\; x\; y(x+y)=s^\{3\}-3\; s\; \backslash frac\{s^\{3\}\}\{3(s+1)\}=\backslash frac\{s^\{3\}\}\{s+1\}=3\; x\; y\; .$$

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Dokažte, že pro všechna reálná čísla $x, y$ platí a) $x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$, b) $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3 x y(x+y)$.
2. Určete reálná čísla $x, y$, pro něž platí $x+y=b, x y=c$, kde $b, c$ jsou reálné parametry. [Je-li $D=b^{2}-4 c>0$, je $[x, y]=\left[\frac{1}{2}(b+\sqrt{D}), \frac{1}{2}(b-\sqrt{D})\right]$ nebo $[x, y]=\left[\frac{1}{2}(b-\sqrt{D}), \frac{1}{2}(b+\sqrt{D})\right]$; je-li $D=0$, je $x=y=\frac{1}{2} b$; je-li $D<0$, hledaná reálná čísla $x, y$ neexistují.]
3. Dokažte, že pro každé reálné číslo $x$ platí nerovnosti

$$\frac{2}{3}\leqq \frac{x^2+1}{x^2-x+1}\leqq 2\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash leqq\; \backslash frac\{x^\{2\}+1\}\{x^\{2\}-x+1\}\; \backslash leqq\; 2$$

4. Jestliže pro reálná čísla $a, b, c$ platí

$$a^3+b^3+c^3-3abc=0a^\{3\}+b^\{3\}+c^\{3\}-3\; a\; b\; c=0$$

potom bud' $a+b+c=0$, nebo $a=b=c$. Dokažte. [18. roč. MO, B-I-1]

5. Je dána soustava rovnic

Udejte podmínky pro reálné číslo $c$, aby soustava měla reálné řešení $x, y, z$. [11. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{B}-\mathrm{I}-5]$