| # Úlohy domácího kola kategorie B |
|
|
| 1. Na louce jsou děti i dospělí. Počet procent chlapcũ ze všech dětí se rovná počtu procent divek ze všech přitomných osob a také počtu všech dospèlých. Kolik chlapcü, dívek a dospëlých je na louce? |
|
|
| ŘEŠEní. Označme po řadě $c, d$ a $v$ počet chlapcủ, dívek a dospělých na louce. Platí |
|
|
| $$ |
| \frac{100 c}{c+d}=\frac{100 d}{c+d+v}=v |
| $$ |
|
|
| Z první rovnosti plyne $d^{2}=c^{2}+v c$, což dosadíme do rovnosti mezi prvním a třetím výrazem, kterou předem upravíme do tvaru $v d=(100-v) c$ a umocníme na druhou. Po úpravě dostaneme |
|
|
| $$ |
| v^{3}=200 c(50-v) |
| $$ |
|
|
| Odtud plyne, že $v$ je dělitelné 10 a $v<50$. Vyzkoušením všech čtyř možností $(v=10, v=20, v=30, v=40)$ zjistíme, že celé $c$ dostaneme jedině pro $v=40$. Potom $c=32, d=48$. |
|
|
| Na louce je 32 chlapců, 48 dívek a 40 dospělých. |
|
|
| ## NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Určete všechny dvojice prvočísel $p, q$, která splňují rovnici $3 p^{2}+p=q^{2}+3 q$. [34. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{II}-3 \mathrm{a}$ ] |
| 2. Která přirozená čísla $x, y, z$ splňují soustavu rovnic |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| x+y & =z^{2} \\ |
| 10 x+y & =z^{3} ? |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| [41. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{S}-2]$ |
|
|
| 3. Najděte všechny trojice přirozených čísel $x, y, z$ tak, aby zároveň platilo |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| x^{3}+y^{3}+z^{5} & =1979 \\ |
| y^{2} z & =x |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| [29. roč. MO, B-I-6] |
|
|
| 2. Uvažujme shodné polokružnice, které ležı v daném pravém úhlu a jejichž koncové body ležı každý na jiném jeho rameni. Určete množinu, kterou vyplní body všech těchto polokružnic. |
|
|
| ŘEŠEní. Označme $p, q$ ramena daného pravého úhlu, $O$ jeho vrchol, $P, Q$ př́slušně koncové body průměru uvažované polokružnice a $|P Q|=2 r$. Zvolme pevně vnitřní bod $R$ polokružnice a zkoumejme, jaký útvar body $R$ vyplní. Trojúhelníky $Q P R$ a $P Q O$ jsou pravoúhlé, proto body $O, P, Q, R$ leží na jedné kružnici (obr. 1). Odtud podle věty o obvodových úhlech plyne, že |
|
|
| $$ |
| |\Varangle R Q P|=|\Varangle R O P| . |
| $$ |
|
|
| Jelikož je $|\nless R Q P|$ pro pevný bod $R$ konstantní, leží bod $R$ na polopřímce s počátkem $O$, která svírá s polopřímkou $p$ úhel o velikosti $|\nless R Q P|$. |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 1 |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 2 |
|
|
| Pro vzdálenost $|O R|$ zřejmě platí $|O R| \leqq|P Q|$, protože $O R$ je tětiva kružnice s průmĕrem $P Q$. |
|
|
| Vzhledem $\mathrm{k}$ tomu, že hledaná množina je zřejmě souměrná podle osy daného pravého úhlu, stačí vyšetřit případ, kdy $|\Varangle P O R| \geqq 45^{\circ}$. V tomto případě je $|\Varangle R Q O| \geqq 90^{\circ}$, takže $|O R| \geqq|Q R|$. Označme $P_{0}$ bod polopřímky $O P$, pro který $\left|O P_{0}\right|=|P Q|, R_{0}$ jeho kolmý průmět na polopřímku $O R$ (obr. 1). Protože trojúhelníky $O P_{0} R_{0}$ a $Q P R$ jsou shodné pravoúhlé trojúhelníky, je $\left|O R_{0}\right|=|Q R|$. Pro vzdálenost $|O R|$ tedy platí $\left|O R_{0}\right| \leqq|O R| \leqq 2 r$. Bod $R$ tedy leží v té části polopřímky $O R$, která je omezena kružnicí $k_{1}$ nad průměrem $O P_{0}$ a čtvrtkružnicí $k$ se středem $O$ a poloměrem $O P_{0}$. Analogicky pro $|\Varangle P O R| \leqq 45^{\circ}$ vyjde, že hledané body $R$ leží v části polopřímky $O R$, která je omezena kružnicí $k_{2}$ nad průměrem $O Q_{0}$ a čtvrtkružnicí $k$. |
|
|
| Zbývá ukázat, že celá množina vyšrafovaná na obr. 2 je hledanou množinou bodů $R$. K tomu stačí si uvědomit, že pokud bod $R$ leží uvnitř čtvrtkružnice $k$ a vně aspoň jedné $\mathrm{z}$ kružnic $k_{1}, k_{2}$, existuje aspoň jedna (případně dvě, |
| ležíli bod vně obou kružnic $k_{1}, k_{2}$ ) kružnice $s$ daným průměrem $2 r$ procházející body $O$ a $R$, jejíž střed leží uvnitř útvaru omezeného polopřímkami $p, q$ a čtvrtkružnicí $k$. Tato kružnice se bude vnitřně dotýkat $k$ a protne každou z úseček $O P_{0}, O Q_{0}$. Uvedené průsečíky budou krajními body hledané polokružnice obsahující uvažovaný bod $R$. |
|
|
| Závěr: Hledanou množinou bodů je útvar (včetně své hranice) vyšrafovaný na obr. 2 , tj. čtvrtkruh se středem $O$ a poloměrem $2 r$ bez vnitřku „čočky“ omezené dvěma čtvrtkružnicemi o poloměru $r$. |
|
|
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Dokažte, že součet protějších vnitřních úhlů v konvexním čtyřúhelníku, jemuž lze opsat kružnici, je $180^{\circ}$. |
| 2. Určete množinu středů všech úseček konstantní délky $d$, jejichž jeden konec se pohybuje po jedné a druhý konec po druhé ze dvou vzájemně kolmých přímek. [Kružnice se středem v průsečíku přímek a poloměrem $\frac{1}{2} d$.] |
| 3. Uvnitř pravého úhlu je dán bod $B$. Sestrojte polokružnici s daným průměrem $d$, která prochází bodem $B$, jeden její koncový bod leží na jednom rameni a druhý na druhém rameni pravého úhlu. |
| 4. V rovině je dána úsečka $A B$. V jedné z polorovin vytatých přímkou $A B$ uvažujme všechny pravoúhlé trojúhelníky $A B C$ s přeponou $A B$. Označme $X$ patu kolmice vedené bodem $B$ na osu úhlu $B C A$. Dokažte, že osy všech takových úhlů $B C A$ procházejí pevným bodem, a vyšetřete množinu všech bodů $X$. [21. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{P}-3]$ |
| 5. Je dán rovnostranný trojúhelník $P Q R$. Určete množinu všech vrcholů $A$ takových trojúhelníkủ $A B C$, jejichž strany $A B, B C, C A$ obsahují v uvedeném pořadí vrcholy $P, Q, R$, a pro délky jejich stran platí $|A B| \geqq|A C| \geqq|B C|$. [21. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{II}-1 \mathrm{a}]$ |
| 6. Je dána kružnice $k \mathrm{~s}$ průměrem $A B$. Na kružnici $k$ zvolíme bod $X \neq A, B$ a na poloprímce $A X$ sestrojíme bod $Y$ tak, aby platilo $|A Y|=|A X|+|X B|$. Vyšetřete množinu středů úseček $A Y$ pro všechny takové body $X$. [24. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{C}-\mathrm{P}-3]$ |
| 7. Najděte všechna trojmístná čisla v desítkové soustavě, která se rovnají třetině čísla s týmž zápisem v jiné čiselné soustavě. |
|
|
| ŘEŠENí. Hledané číslo v desítkové soustavě má tvar |
|
|
| $$ |
| 100 A+10 B+C, \quad A, B, C \in\{0,1, \ldots, 9\}, A \neq 0 |
| $$ |
|
|
| Je-li $z$ neznámý základ jiné číselné soustavy, má podle podmínky úlohy platit |
|
|
| $$ |
| 100 A+10 B+C=\frac{1}{3}\left(A z^{2}+B z+C\right), |
| $$ |
|
|
| odkud dostáváme rovnici |
|
|
| $$ |
| A\left(z^{2}-300\right)=B(30-z)+2 C . |
| $$ |
|
|
| Zřejmě je $z \geqq 18$, nebot' $17^{2}<300$. Rozeberme jednotlivé případy: |
|
|
| Je-li $z=18$, je $12 A=6 B+C$. Rešením jsou tyto trojice $(A, B, C):(1,2,0)$, $(1,1,6),(2,4,0),(2,3,6),(3,6,0),(3,5,6),(4,8,0),(4,7,6),(5,9,6)$. |
|
|
| Je-li $z=19$, je $61 A=11 B+2 C$. Rešením je trojice $(A, B, C)=(1,5,3)$. |
|
|
| Je-li $z=20$, je $50 A=5 B+C$. Rešením je trojice $(A, B, C)=(1,9,5)$. |
|
|
| Pro $z \geqq 21$ už rovnost nenastane pro žádnou trojici $(A, B, C)$, nebot levá strana rovnice je vždy větší nebo rovna 141 a pravá strana je vždy menší nebo rovna 99 . |
|
|
| Celkem vyhovuje 11 čísel: 116, 120, 153, 195, 236, 240, 356, 360, 476, 480 a 596 . |
|
|
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Vyjádřete dekadické číslo 1998 v číselné soustavě dvojkové, trojkové, ..., šestnáctkové. $[11111001110,2202000,133032,30443,13130,5553,3716,2660$, 1998, 1557, 11A6, BA9, A2A,8D3, 7CE-znaky $A, B, C, D, E, F$ znamenají postupně čísla $10,11,12,13,14,15$.] |
| 2. Ve které číselné soustavě platí $42 \cdot 31=1522$ ? [V osmičkové.] |
| 3. Pro které základy $z$, u platí rovnost $(53)_{z}=(35)_{u}$ ? (Symbol $(53)_{z}$ znamená číslo, jež je v číselné soustavě o základu $z$ zapsáno jako 53.) [Vyhovuje nekonečně mnoho dvojic $(z, u):(7,11),(10,16),(13,21), \ldots$, obecně $z=3 k+1$, $u=5 k+1, k \geqq 2$.] |
| 4. Co se stane s číslem napsaným v dvojkové číselné soustavě, jestliže za poslední číslici připišeme a) nulu, b) dvě nuly? [Číslo se a) zdvojnásobí, b) stane čtyřnásobkem.] |
| 5. Je-li $z>2$ základ číselné soustavy, pak čísla $(z-1)^{2}, 2(z-1)$ napsaná v této soustavě mají vždy obrácený sled cifer. Dokažte. [Návod: Obě čísla jsou dvojciferná s číslicemi 1 a $z-2$.] |
| 6. Je dán rovnostranný trojúhelník $A B C$. Na straně $B C$ najděte bod $P$ tak, aby kružnice vepsaná trojúhelníku $A B P$ a kružnice připsaná straně $P C$ trojúhelníku APC byly shodné. |
| |
| ŘEŠENí. Necht̉ a značí délku strany rovnostranného trojúhelníku $A B C$. Dále označme délky úseků tečen z bodů $A, B, C$ a $P$ k oběma uvažovaným kružnicím stejně jako na obr. 3. Poloměry obou shodných kružnic označme $r$. Z obrázku je patrné, že platí |
| |
| $$ |
| a+z=a-x+2 y, \quad \text { odkud } \quad x+z=2 y \text {. } |
| $$ |
| |
| Při vyjádření délky $a$ strany $B C$ obdržíme dále |
| |
|  |
| |
| $$ |
| x+2 y+z=a . |
| $$ |
| |
| Ze vztahů (1) a (2) bezprostředně plyne |
| |
| $$ |
| x+z=2 y=\frac{a}{2}, \quad \text { tedy } \quad y=\frac{a}{4} |
| $$ |
| |
| Dále vidíme, že platí dvojice vztahů |
| |
| $$ |
| x=r \operatorname{cotg} 30^{\circ}=r \sqrt{3} \quad \text { a } \quad z=r \operatorname{cotg} 60^{\circ}=r \frac{\sqrt{3}}{3}, |
| $$ |
| |
| z nichž plyne |
| |
| $$ |
| x=3 z \text {. } |
| $$ |
| |
| Dosazením (3) do (2) dostaneme po snadné úpravě |
| |
| $$ |
| \frac{a}{2}=x+z=3 z+z=4 z, \quad \text { odkud } \quad z=\frac{a}{8} |
| $$ |
| |
| Celkově tedy |
| |
| $$ |
| |B P|=x+y=3 z+y=\frac{3}{8} a+\frac{1}{4} a=\frac{5}{8} a, \quad|C P|=a-|B P|=\frac{3}{8} a . |
| $$ |
| |
| Odtud již okamžitě plyne konstrukce bodu $P$. |
| |
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
| |
| 1. Konvexnímu čtyřúhelníku $A B C D$ lze vepsat kružnici, právě když pro jeho strany $a, b, c, d$ platí $a+c=b+d$. Dokažte. |
| 2. Určete délky stran pravoúhlého trojúhelníku $A B C$, je-li poloměr jeho opsané kružnice $r=5 \mathrm{~cm}$ a poloměr jeho vepsané kružnice $\varrho=2 \mathrm{~cm}$. $[6 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm}$, $10 \mathrm{~cm}$.] |
| 3. Kružnice vepsaná trojúhelníku $A B C$ se dotýká strany $A B$ v bodě $U$, kružnice vně připsaná straně $A B$ se jí dotýká v bodě $V$. Dokažte, že při obvyklém značení platí: |
| |
| $$ |
| |A U|:|B U|=\operatorname{cotg} \frac{\alpha}{2}: \operatorname{cotg} \frac{\beta}{2}, \quad|A V|:|B V|=\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}: \operatorname{tg} \frac{\beta}{2} |
| $$ |
| |
| 4. Vzájemná poloha rovnostranného trojúhelníku $A B C$ a kružnice $k$ je znázorněna na obr. 4. Dokažte, že pro vyznačené délky platí |
| |
| $$ |
| a+c+e=b+d+f \text {. } |
| $$ |
| |
| 5. V trojúhelníku $A B C$ je sestrojena těžnice $C C_{1}$ a do trojúhelníků $A C C_{1}$ a $B C C_{1}$ jsou vepsány kružnice. Dokažte, že vzdálenost dotykových bodů těchto kružnic s těžnicí $C C_{1}$ je (při obvyklém označení stran trojúhelníku) $\frac{1}{2}(a-b)$. |
| 6. Do lichoběžníku $A B C D(A B \| C D)$ jsou vepsány kružnice $k_{1}, k_{2}$, které se v uvedeném pořadí dotýkají stran $a, c, d$, resp. $a, c, b$. Jestliže pro délky stran lichoběžníku platí $a+c>b+d$ a jeho výška má délku $\frac{1}{2}(a+c-b-d)$, pak mají kružnice $k_{1}$, |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 4 |
| 5. $Z$ koule o polomèru $R$ je oddèlena kulová úseč o výšce $v(v<R)$. Této úseči je vepsána koule $K$ o poloměru $\frac{1}{2} v$. Dále je do úseče vepsáno osm shodných menšich koulí, z nichž každá se dotýká koule K. Žádné dvě z nich nemají společný vnitřní bod a každá z nich se dotýká právě dvou ostatních. Určete poměr $v: R$. |
| |
| ŘEŠENí. Označme $S$ střed koule, z níž je úseč odříznuta, $O$ střed koule $K$ a $Q$ střed jedné menší vepsané koule o poloměru $r$. Patu kolmice z bodu $Q$ na přímku $S O$ označme $P$. Obr. 5 představuje řez útvaru rovinou $S O Q$. Pro vyznačené úsečky platí |
| |
| $$ |
| |Q O|=\frac{v}{2}+r,|P O|=\frac{v}{2}-r,|Q S|=R-r,|P S|=R+r-v |
| $$ |
| |
| Z pravoúhlých trojúhelníků $O Q P$ a $Q S P$ plynou rovnosti |
| |
| $$ |
| \left(\frac{v}{2}+r\right)^{2}-\left(\frac{v}{2}-r\right)^{2}=|Q P|^{2}=(R-r)^{2}-(R+r-v)^{2}, |
| $$ |
| |
| odkud |
| |
| $$ |
| |P Q|^{2}=2 r v, \quad r=\frac{2 R v-v^{2}}{4 R} . |
| $$ |
| |
| Vzdálenost středu každé menší koule je od osy úseče je $|P Q|$, vzdálenost středů $Q_{1}, Q_{2}$ dvou sousedních menších koulí je $2 r$. Použijeme-li kosinovou větu na trojúhelník $Q_{1} Q_{2} P$, dostaneme (obr. 6) |
| |
| $$ |
| \cos \varphi=\frac{2|Q P|^{2}-4 r^{2}}{2|Q P|^{2}}=1-\frac{r}{v} |
| $$ |
| |
| Jelikož menších koulí má být osm, je $\varphi=45^{\circ}$ a $\cos \varphi=\frac{1}{2} \sqrt{2}$. vyjádříme-li $\mathrm{z}$ druhé rovnosti v (1) |
| |
| plyne odtud podle (2) |
| |
| $$ |
| \frac{r}{v}=\frac{2 R-v}{4 R}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \frac{v}{R} |
| $$ |
| |
| $$ |
| \frac{v}{R}=2\left(1-2 \frac{r}{v}\right)=2(2 \cos \varphi-1)=2(\sqrt{2}-1) . |
| $$ |
| |
|  |
| |
| Obr. 5 |
| |
|  |
| |
| Obr. 6 |
| |
| NÁVOdNÉ ÚloHY: |
| |
| 1. Do polokružnice $k_{1}$ o průměru $2 R$ je vepsána kružnice $k_{2}$ o průměru $R$. Vypočtěte poloměr kružnice $k_{3}$, která se dotýká vně kružnice $k_{2}$ a zevnitř polokružnice $k_{1}$ i jejího průměru. [ $\frac{1}{4} R$. Viz též 38. roč. MO, C-II-2.] |
| 2. Do mezikruží o vnitřním poloměru $r$ a vnějším poloměru $R$ je vepsáno $n$ kružnic „za sebou" tak, že se každé dvě sousední dotýkají. Určete vztah mezi $r, R$ a $n \cdot\left[\frac{R}{r}=\frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}\right]$ |
| 3. Kružnice se středy $A, B, C$ a poloměry $a, b, c$ se dotýkají navzájem i přímky $p$ podle obr. 7. Vyjádřete poloměr $c$ pomocí poloměrủ $a, b .\left[c=\frac{a b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}\right]$ |
| 4. Dvě koule $k_{1}(A, a), k_{2}(B, b)$ se vně dotýkají a obě se ještě dotýkají roviny $a$. Určete poloměr koule $k_{3}(C, c)$, která se vně dotýká koulí $k_{1}$ a $k_{2}$ a roviny $a$, přičemž rovina $A B C$ je kolmá na rovinu $a$. [Řešení: Stejné jako v úloze 3.] |
| |
|  |
| |
| Obr. 7 |
| |
| 6. Najděte všechny možné hodnoty součtu $x+y$, kde reálná čísla $x$, $y$ splňují rovnost $x^{3}+y^{3}=3 x y$. |
| |
| ŘEŠENí. Hledáme vlastně všechny ty hodnoty parametru $s$, pro něž má soustava rovnic |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| x^{3}+y^{3} & =3 x y \\ |
| x+y & =s |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| řešení v oboru reálných čísel. $\mathrm{Z}$ druhé rovnice vyjádříme $y=s-x$ a dosadíme do první rovnice, kterou budeme řešit vzhledem k neznámé $x$ : |
| |
| $$ |
| \begin{gathered} |
| x^{3}+(s-x)^{3}=3 x(s-x), \\ |
| x^{3}+s^{3}-3 s^{2} x+3 s x^{2}-x^{3}=3 s x-3 x^{2} \\ |
| 3(s+1) x^{2}-3 s(s+1) x+s^{3}=0 . |
| \end{gathered} |
| $$ |
| |
| Tato rovnice zřejmě nemá řešení pro $s=-1$. Pro $s \neq-1$ jde o kvadratickou rovnici, která má v oboru reálných čísel řešení, právě když je její diskriminant $D$ nezáporný. Výpočtem |
| |
| $$ |
| D=9 s^{2}(s+1)^{2}-12(s+1) s^{3}=3 s^{2}(s+1)(3-s) |
| $$ |
| |
| zjištujeme, že $D \geqq 0$, právě když $-1 \leqq s \leqq 3$, což spolu s podmínkou $s \neq-1$ dává hledanou množinu možných hodnot součtů $s$ : je to polouzavřený interval $(-1,3)$. |
| |
| Zpětně je vidět, že pro každé $s$ z intervalu $(-1,3\rangle$ existuje číslo $x$, jež je kořenem výše uvedené kvadratické rovnice, a že toto čísla $x$ a odpovídající hodnota $y=s-x$ splňují rovnici $x^{3}+y^{3}=3 x y$. |
| |
| Pro úplnost vypočtěme ta čísla $x, y$, jež jsou pro libovolné $s \in(-1,3\rangle$ řešením uvažované soustavy: |
| |
| $$ |
| x_{1,2}=\frac{3 s(s+1) \pm s \sqrt{3(s+1)(3-s)}}{6(s+1)}=\frac{s}{2} \pm s \sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}} . |
| $$ |
| |
| Po dosazení do $y=s-x$ zjištujeme, že danému $s$ přísluší dvě dvojice |
| |
| či |
| |
| $$ |
| [x, y]=\left\{\frac{s}{2}+s \sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}, \frac{s}{2}-s \sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}\right\} |
| $$ |
| |
| $$ |
| [x, y]=\left\{\frac{s}{2}-s \sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}, \frac{s}{2}+s \sqrt{\frac{3-s}{12(s+1)}}\right\} . |
| $$ |
| |
| Rovnost $x^{3}+y^{3}=3 x y$ lze pro nalezená $x$ a $y$ bud' ověrit dosazením a přímým výpočtem, nebo pomocí Viètových vzorcủ pro kořeny uvedené kvadratické rovnice |
| |
| $$ |
| x+y=s, \quad x y=\frac{s^{3}}{3(s+1)} |
| $$ |
| |
| podle kterých |
| |
| $$ |
| x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3 x y(x+y)=s^{3}-3 s \frac{s^{3}}{3(s+1)}=\frac{s^{3}}{s+1}=3 x y . |
| $$ |
| |
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
| |
| 1. Dokažte, že pro všechna reálná čísla $x, y$ platí |
| a) $x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$, |
| b) $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3 x y(x+y)$. |
| 2. Určete reálná čísla $x, y$, pro něž platí $x+y=b, x y=c$, kde $b, c$ jsou reálné parametry. [Je-li $D=b^{2}-4 c>0$, je $[x, y]=\left[\frac{1}{2}(b+\sqrt{D}), \frac{1}{2}(b-\sqrt{D})\right]$ nebo $[x, y]=\left[\frac{1}{2}(b-\sqrt{D}), \frac{1}{2}(b+\sqrt{D})\right]$; je-li $D=0$, je $x=y=\frac{1}{2} b$; je-li $D<0$, hledaná reálná čísla $x, y$ neexistují.] |
| 3. Dokažte, že pro každé reálné číslo $x$ platí nerovnosti |
|
|
| $$ |
| \frac{2}{3} \leqq \frac{x^{2}+1}{x^{2}-x+1} \leqq 2 |
| $$ |
|
|
| 4. Jestliže pro reálná čísla $a, b, c$ platí |
|
|
| $$ |
| a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=0 |
| $$ |
|
|
| potom bud' $a+b+c=0$, nebo $a=b=c$. Dokažte. [18. roč. MO, B-I-1] |
|
|
| 5. Je dána soustava rovnic |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| x+y+z & =1, \\ |
| x^{2}+y^{2}+z^{2} & =c \\ |
| x y & =z^{2} |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| Udejte podmínky pro reálné číslo $c$, aby soustava měla reálné řešení $x, y, z$. [11. roč. $\mathrm{MO}, \mathrm{B}-\mathrm{I}-5]$ |
|
|
|
|
