| # 48. ročník matematické olympiády |
|
|
| ## Úlohy školní - klauzurní části I. kola kategorie C |
|
|
| 1. Najděte všechny dvojice $a, b$ nezáporných reálných čísel, pro které platí |
|
|
| $$ |
| \sqrt{a^{2}+b}+\sqrt{b^{2}+a}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{a+b} . |
| $$ |
|
|
| 2. Určete největší čtyřmístné číslo $n$, pro něž je součet $n^{19}+99^{n}$ dělitelný deseti. |
| 3. V rovině je dán obdélník $A B C D$, nad jehož stranami $A B$ a $B C$ (jako nad průměry) jsou vně obdélníku sestrojeny po řadě polokružnice $k$ a $l$. Najděte úsečku $X Y$ co největší délky $d$ tak, aby platilo $X \in k$ a $Y \in l$. Délku $d$ pak vyjádřete pomocí délek $a=|A B|$ a $b=|B C|$. |
|
|
| Školní - klauzurní část I. kola kategorie C se koná |
|
|
| ## v úterý 26. ledna 1999 |
|
|
| tak, aby začala dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 10 bodů nebo více. Tyto údaje se žákům sdělí před zahájením soutěže. |
|
|
| 1. Umocněním rovnice s nezápornými stranami a dalšími ekvivalentními úpravami postupně dostaneme |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| a^{2}+b+2 \sqrt{\left(a^{2}+b\right)\left(b^{2}+a\right)}+b^{2}+a & =a^{2}+b^{2}+2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)}+a+b, \\ |
| \sqrt{\left(a^{2}+b\right)\left(b^{2}+a\right)} & =\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)}, \\ |
| \left(a^{2}+b\right)\left(b^{2}+a\right) & =\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b), \\ |
| a^{2} b^{2}+a^{3}+b^{3}+a b & =a^{3}+a b^{2}+b a^{2}+b^{3}, \\ |
| a b(a b+1-a-b) & =0, \\ |
| a b(a-1)(b-1) & =0 . |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| Hledanými jsou proto právě ty dvojice nezáporných čísel $a, b$, které splňují aspoň jednu z podmínek $a=0, b=0, a=1$ nebo $b=1$. |
|
|
| Za úplné řešení je 6 bodů. |
|
|
| 2. Daný součet je lichý pro sudá $n$. Je tedy dělitelný deseti, jen když $n$ je liché. Pro $n=2 k+1$ dává sčítanec $99^{n}=(100-1)^{2 k+1}=10 A-1$ při dělení deseti zbytek 9 , a proto druhý sčítanec $n^{19}$ musí dát při dělení deseti zbytek 1 . |
|
|
| Dekadický zápis čísla $3^{19}=3 \cdot(10-1)^{9}=10 B-3$ zrejmě končí číslicí 7 , a proto číslo tvaru $(10 r \pm 3)^{19}$ nemůže dát při dělení deseti zbytek 1 . Stejný závěr můžeme učinit i pro čísla tvaru $(10 r-1)^{19}$ a $(10 r+5)^{19}$. Odtud plyne, že $n$ může být jedině tvaru $10 r+1$, a největší takové čtyřmístné číslo je 9991. |
|
|
| Jiné řešení. U čísel $n^{19}$ a $99^{n}$ nás zajímají pouze jejich poslední číslice. Protože poslední cifra jakékoli mocniny $n^{k}$ závisí jen na exponentu $k$ a poslední číslici $c$ základu $n$, sestavíme tabulku posledních číslic mocnin $c^{k}$ pro $c=0,1, \ldots, 9$ : |
|
|
| | $k \quad c$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| | 2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | |
| | 3 | 0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 | |
| | 4 | 0 | 1 | 6 | 1 | 6 | 5 | 6 | 1 | 6 | 1 | |
| | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| | 6 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | |
| | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
|
|
| Ze sloupce tabulky pro $c=9$ vidíme, že číslo $99^{n}$ končí číslicí 1 nebo 9 podle toho, zda je $n$ sudé či liché, takže číslo $n^{19}$ má podle toho končit číslicí 9 nebo 1 . Z tabulky dále vidíme, že čísla $n^{k}$ a $n^{k+4}$ končí vždy stejnou cifrou. To tedy platí i pro čísla $n^{19}$ a $n^{3}$. Z třetího řádku uvedené tabulky $(k=3)$ však vidíme, že číslo $n^{3}$ nekončí číslicí 9 pro žádné sudé $n$ (končí totiž číslicí 9 jen pro lichá $n$ končící číslicí 9 ), zato číslicí 1 končí pro právě ta lichá $n$, která končí číslicí 1. Největší takové čtyřmístné číslo je $n=9991$, které je řešením úlohy. Za úplné řešení je 6 bodů. |
|
|
| 3. Středy $E, F$ polokružnic jsou totožné se středy stran $A B, B C$ (obr. 1). Poloměry |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 1 |
|
|
| těchto polokružnic jsou $\frac{1}{2} a, \frac{1}{2} b$ a z trojúhelníku $E B F$ snadno pomocí Pythagorovy věty spočteme |
|
|
| $$ |
| |E F|=\sqrt{\frac{1}{4} a^{2}+\frac{1}{4} b^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}} |
| $$ |
|
|
| Podle trojúhelníkové nerovnosti (obr.1) zřejmě pro libovolné dva body $X, Y$ takové, že $X$ leží na polokružnici $k$ a $Y$ na polokružnici $l$, platí |
|
|
| $$ |
| |X Y| \leqq|X E|+|E Y| \leqq|X E|+|E F|+|F Y| |
| $$ |
|
|
| s rovností, právě když body $E, F$ leží na úsečce $X Y$. Úsečka $X Y$ má tedy největší délku pro $X=X_{0}, Y=Y_{0}$, kde body $X_{0}, Y_{0}$ jsou průsečíky polokružnic $k, l$ s přímkou $E F$. Pro délku úsečky $X_{0} Y_{0}$ pak platí |
|
|
| $$ |
| \left|X_{0} Y_{0}\right|=\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2} b=\frac{1}{2}\left(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right) . |
| $$ |
|
|
| Za úplné řešení je 6 bodů; 4 body dejte za nalezení nejdelší úsečky a 2 body za určení její délky. Nestrhávejte body, pokud řešitel prohlásí za zřejmé (ale nedokǎže) tvrzení, že nejdelší spojnice dvou kružnic leží na jejich středné. |
|
|
|
|
