| 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A |
|
|
| Bílovec, 9.-12. dubna 2000 |
|
|
|  |
|
|
| 1. Necht’ $n$ je přirozené čislo. Dokažte, že součet $4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ je dělitelný třinácti, právě když $n$ je sudé. |
|
|
| Řešení. Označme $a_{n}=4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$. Ukážeme nejprve, že pro každé přirozené číslo $n$ je rozdíl $a_{n+2}-a_{n}$ dělitelný třinácti. Po úpravách obdržíme rovnost |
| |
| $$ |
| a_{n+2}-a_{n}=4 \cdot\left(81^{2^{n}}-3^{2^{n}}\right)+3 \cdot\left(256^{2^{n}}-4^{2^{n}}\right) . |
| $$ |
| |
| Položme ve známém vzorci |
| |
| $$ |
| A^{p}-B^{p}=(A-B)\left(A^{p-1}+A^{p-2} B+\ldots+B^{p-1}\right), |
| $$ |
| |
| který platí pro každé přirozené $p$ a pro libovolná dvě reálná čísla $A$ a $B$, nejprve $p=2^{n}, A=81$, $B=3$ a poté $p=2^{n-1}, A=256^{2}, B=4^{2}$. Protože je $81-3=78=13 \cdot 6$ a také $256^{2}-4^{2}=$ $=(256-4)(256+4)=252 \cdot 260=13 \cdot 20 \cdot 252$, jsou oba sčítanci na pravé straně rovnosti (1) čísla dělitelná 13. Je proto také rozdíl $a_{n+2}-a_{n}$ dělitelný 13 . Číslo $a_{1}$ není dělitelné 13 , nebot $a_{1}=84=13 \cdot 6+6$, kdežto číslo $a_{2}$ číslem 13 dělitelné je $\left(a_{2}=1092=13 \cdot 84\right)$. Užitím principu matematické indukce již snadno zjistíme, že $a_{n}$ je dělitelné 13 , právě když $n$ je sudé. Tím je důkaz hotov. |
|
|
| Jiné řešení. Sestavme tabulku zbytků při dělení čísla $a_{n}=4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ třinácti. |
| |
| | $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | $\ldots$ | |
| | :---: | ---: | ---: | ---: | ---: | ---: | :---: | |
| | $3^{2^{n}}$ | 9 | 3 | 9 | 3 | 9 | $\ldots$ | |
| | $4^{2^{n}}$ | 3 | 9 | 3 | 9 | 3 | $\ldots$ | |
| | $4 \cdot 3^{2^{n}}$ | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | $\ldots$ | |
| | $3 \cdot 4^{2^{n}}$ | 9 | 1 | 9 | 1 | 9 | $\ldots$ | |
| | $a_{n}$ | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | $\ldots$ | |
|
|
| Zbytky obou čísel tvaru $N^{2^{n}}$ určujeme rekurentně pomocí rovností $N^{2^{n+1}}=N^{2^{n}} \cdot N^{2^{n}}=\left(N^{2^{n}}\right)^{2}$. Protože $3^{2}=9$ a $9^{2}=81 \equiv 3(\bmod 13)$, vidíme, že v druhém i třetím řádku tabulky se pravidelně střídá trojka s devítkou, zbytky čísla $a_{n}$ při dělení třinácti se tedy (vzhledem k číslu $n$ ) rovněž opakují s periodou 2. Č́slo $a_{n}$ je tedy dělitelné třinácti, právě když $n$ je sudé. |
|
|
| 2. Je dán rovnoramenný trojúhelník $A B C$ se základnou $A B$. Na jeho výšse $C D$ je zvolen bod $P$ tak, že kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ a čtyř́́helníku PECF jsou shodné; přitom bod $E$ je prưsečík přimky $A P$ se stranou $B C$ a $F$ prưsečík přímky $B P$ se stranou $A C$. Dokažte, že $i$ kružnice vepsané trojúhelníkưm ADP a BCP jsou shodné. |
|
|
| (J. Šimša, K. Horák) |
|
|
| Řešení. Protože přímka $C D$ je osou souměrnosti dvou vrcholových úhlů $A P B$ a $E P F$, leží střed $I_{1}$ kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ na úsečce $D P$ a zároveň střed $I_{2}$ kružnice vepsané čtyřúhelníku $P E C F$ leží na úsečce $C P$ (obr.1). Navíc platí $\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$, nebot obě zmíněné kružnice jsou shodné. Středy $O_{1}, O_{2}$ kružnic vepsaných trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$ (obr. 2) pak leží po řadě na úsečkách $A I_{1}, B I_{2}$, nebot polopřímky $A I_{1}$ a $B I_{2}$ jsou osy odpovídajících úhlo̊ $D A P$ a $C B P$. $\mathrm{Z}$ rovnosti $\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$ navíc plyne, že trojúhelníky $A P I_{1}$ a $B P I_{2}$ mají stejný obsah, protože se rovnají i příslušné výšky $|A D|=|B D|$. |
|
|
| Označme $r_{1}, r_{2}$ poloměry kružnic vepsaných trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$. Vyjádříme-li pomocí nich oba zmíněné obsahy $(S(X Y Z)$ značí obsah trojúhelníku $X Y Z$ ), dostaneme |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| & S\left(A P I_{1}\right)=S\left(A O_{1} P\right)+S\left(O_{1} P I_{1}\right)=\frac{1}{2} \cdot|A P| \cdot r_{1}+\frac{1}{2} \cdot\left|I_{1} P\right| \cdot r_{1}=\frac{r_{1}}{2}\left(|A P|+\left|I_{1} P\right|\right) \\ |
| & S\left(B P I_{2}\right)=S\left(B O_{2} P\right)+S\left(O_{2} P I_{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot|B P| \cdot r_{2}+\frac{1}{2} \cdot\left|I_{2} P\right| \cdot r_{2}=\frac{r_{2}}{2}\left(|B P|+\left|I_{2} P\right|\right) . |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 1 |
| Obr. 2 |
|
|
| Vzhledem k tomu, že $S\left(A P I_{1}\right)=S\left(B P I_{2}\right),\left|I_{1} P\right|=\left|I_{2} P\right|$ a $|A P|=|B P|$, plyne odtud $r_{1}=r_{2}$, což jsme měli dokázat. |
|
|
| Jiné řešení. Vzhledem k souměrnosti trojúhelníku $A B C$ podle osy $C D$ stačí dokázat, že se shodují kružnice vepsané trojúhelníkům $B D P$ a $B P C$. |
|
|
| Vnější společné tečny shodných kružnic vepsaných úhelníkům $A B P$ a $P E C F$ jsou rovnoběžné se střednou $C D$, tedy kolmé na přímku $A B$. Uvažujme tu z nich, která protíná úsečky $A D, P F$ a polopřímku opačnou $C B$. Tyto průsečíky označme po řadě $D^{\prime}, P^{\prime}, C^{\prime}$ (obr.3). Ve stejnolehlosti, která zobrazí trojúhelník $B D^{\prime} C^{\prime}$ na trojúhelník $B D C$, odpovídají trojúhelníkům $B D^{\prime} P^{\prime}$ a $B P^{\prime} C^{\prime}$ trojúhelníky $B D P$ a $B P C$. Protože kružnice vepsaná čtyřúhelníku $P E C F$ je zároveň vepsána i trojúhelníku $B P^{\prime} C^{\prime}$ a kružnice vepsaná trojúhelníku $A B P$ je zároveň vepsána trojúhelníku $B D^{\prime} P^{\prime}$ a obě uvedené kružnice jsou dle předpokladu shodné, jsou shodné i jejich obrazy ve zmíněné stejnolehlosti, tedy kružnice vepsané trojúhelníkům $B D P$ a $B P C$. |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 3 |
|
|
| 3. V rovině je dáno 2000 shodných trojúhelníkư o obsahu 1, které jsou obrazy téhož trojúhelníku $v$ rüzných posunutich. Každý z těchto trojúhelnikư obsahuje těžiště všech zbývajicích. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menši než $\frac{22}{9}$. |
|
|
| (P. Calábek) |
|
|
| Řešení. Necht trojúhelník $A B C$ o obsahu 1 je vzorem všech 2000 trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}, k \in$ $\in\{1,2, \ldots, 2000\}$, v různých posunutích. Obsahuje-li každý z těchto trojúhelníků těžiště všech zbývajících, plyne z řešení úlohy $49-\mathrm{A}-\mathrm{I}-4$, že průnikem všech těchto trojúhelníku je trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$, který je podobný trojúhelníku $A B C$, přičemž jeho strany $A_{0} B_{0}, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}$ jsou po řadě rovnoběžné se stranami $A B, B C, C A$ a pro poměr podobnosti $\lambda$ navíc platí $\lambda \in\left\langle\frac{1}{3} ; 1\right\rangle$. |
|
|
| Je-li $A_{k} B_{k} C_{k}(k \in\{1,2, \ldots, 2000\})$ libovolný z daných trojúhelníků, je trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$ jeho částí, proto leží vrchol $A_{k} \mathrm{v}$ polorovině $B_{0} C_{0} A_{0}$ ve vzdálenosti nejvýše $v_{a}$ od hraniční přímky $B_{0} C_{0}$, kde $v_{a}$ je velikost výšky trojúhelníku $A B C$ př́slušné vrcholu $A$. Na druhou stranu je i vzdálenost strany $B_{k} C_{k}$ od vrcholu $A_{0}$ nejvýše $v_{a}$. Protože navíc trojúhelník $A_{0} B_{0} C_{0}$ obsahuje těžiště všech takovýchto trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}$, nemůže být vzdálenost strany $B_{k} C_{k}$ od strany $B_{0} C_{0} \| B_{k} C_{k}$ větší než $\frac{1}{3} v_{a}$. Vzdálenost vrcholu $A_{0}$ od strany $B_{0} C_{0}$ je $\lambda v_{a}$, dohromady je tedy vzdálenost obou rovnoběžných přímek $B_{k} C_{k}, B_{0} C_{0}$ nejvýše $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right) \cdot v_{a}$. Vidíme, že všechny dané trojúhelníky leží uvnitř pásu omezeného dvěma rovnoběžkami $a_{0}\left\|a_{1}\right\| B_{0} C_{0}$ (obr. 4), jejichž vzdálenost od $B_{0} C_{0}$ je $v_{a}$ a $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right) \cdot v_{a}$. Analogické tvrzení můžeme vyslovit i pro další dva směry $C_{0} A_{0}$ a $A_{0} B_{0}$. Sjednocení všech daných trojúhelníků musí tedy ležet v průniku všech tří odpovídajících pásů. |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 4 |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 5 |
|
|
| Rozlišíme nyní dva případy podle toho, čemu se rovná $\min \left(\frac{1}{3}, 1-\lambda\right)$. |
|
|
| 1. Necht $\frac{1}{3} \leqq \lambda<\frac{2}{3}$. Průnikem odpovídajících tří pásů je šestiúhelník, který vznikne z trojúhelníku $T$ určeného trojicí přímek $\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)$ odstraněním tří trojúhelníčkư $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ určených trojicemi přímek $\left(a_{0}, b_{1}, c_{1}\right),\left(a_{1}, b_{0}, c_{1}\right)$ a $\left(a_{1}, b_{1}, c_{0}\right)$. V obr. 5 jsou vyznačeny některé poměrné vzdálenosti vzhledem $\mathrm{k}|A B|$, s jejichž pomocí zjistíme, že trojúhelník $T$ je podobný trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $1+\lambda$ a trojúhelníky $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ jsou podobné trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $\lambda-\frac{1}{3}$. Z vypočtených poměrư je zároveň zřejmé, že pro $\lambda=\frac{1}{3}$ se trojúhelníky $T_{a}, T_{b}$, $T_{c}$ stáhnou do jediného bodu, takže uvedený šestiúhelník se zredukuje na trojúhelník $T$. |
| |
| Pro obsah $S(\lambda)$ vyznačeného útvaru tak pro $\lambda<\frac{2}{3}$ platí |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| S(\lambda) & =(1+\lambda)^{2}-3\left(\lambda-\frac{1}{3}\right)^{2}= \\ |
| & =-2 \lambda^{2}+4 \lambda+\frac{2}{3}=-2(\lambda-1)^{2}+\frac{8}{3}<\frac{8}{3}-2 \cdot \frac{1}{9}=\frac{22}{9} |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
|  |
| |
| Obr. 6 |
| |
| odpovídající trojúhelník $T$ je podobný trojúhelníku $A B C$ s poměrem podobnosti $3-2 \lambda$ a trojúhelníky $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ jsou podobné trojúhelníku $A B C \mathrm{~s}$ poměrem podobnosti $1-\lambda$ (v tomto případě se šestiúhelník zredukuje na trojúhelník $T$ pro $\lambda=1$ ). |
|
|
| Pro obsah $S(\lambda)$ v tomto případě platí |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| S(\lambda) & =(3-2 \lambda)^{2}-3(1-\lambda)^{2}= \\ |
| & =\lambda^{2}-6 \lambda+6=(\lambda-3)^{2}-3 \leqq \frac{49}{9}-3=\frac{22}{9} |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| s rovností pro $\lambda=\frac{2}{3}$. |
|
|
| Zjistili jsme, že sjednocení všech trojúhelníků $A_{k} B_{k} C_{k}(k=1,2, \ldots, 2000)$ je pro $\lambda \neq \frac{2}{3}$ částí rovinného útvaru, jehož obsah je menší než $\frac{22}{9}$. Pro $\lambda=\frac{2}{3}$ je pak částí šestiúhelníku s obsahem $\frac{22}{9}$. Strana tohoto šestiúhelníku, která leží např. na přímce $a_{0}$, může obsahovat jen konečně mnoho vrcholů $A_{i}$ daných trojúhelníků $A_{i} B_{i} C_{i}$, takže v šestiúhelníku určitě najdeme trojúhelníček kladného obsahu, který do uvažovaného sjednocení nepatří. Obsah sjednocení uvažovaných trojúhelníků je proto i v tomto případě menší než $\frac{22}{9}$. Tím je důkaz hotov. |
|
|
| 4. Pro které kvadratické funkce $f(x)$ existuje taková kvadratická funkce $g(x)$, že kořeny rovnice $g(f(x))=0$ jsou čtyři rüzné po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a současně $i$ kořeny rovnice $f(x) g(x)=0$ ? |
|
|
| (P. Černek) |
|
|
| Řešení. Ze zadání plyne, že každá z rovnic $f(x)=0, g(x)=0$ má dva reálné kořeny, přitom všechny čtyři kořeny obou uvažovaných rovnic jsou navzájem různé. Označme $x_{1}, x_{2}$ kořeny rovnice $f(x)=0$. Platí tedy $f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$, kde $a$ je reálné číslo, $a \neq 0$. Císlo $x_{1}$ je podle zadání rovněž kořenem rovnice $g(f(x))=0$, platí tudíž $g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g(0)=0$. Odtud vyplývá, že rovnice $g(x)=0$ má jeden kořen 0 . Označme $b(b \neq 0)$ druhý kořen této rovnice. Je tedy $g(x)=c x(x-b)$, kde $c$ je reálné číslo, $c \neq 0$. Čísla 0 a $b$ jsou podle zadání rovněž kořeny rovnice $g(f(x))=0$ : |
|
|
| $$ |
| g(f(0))=c f(0)(f(0)-b)=0 \quad \text { a } \quad g(f(b))=c f(b)(f(b)-b)=0 \text {. } |
| $$ |
|
|
| Jelikož čísla 0 a $b$ nemohou být kořeny rovnice $f(x)=0$, plyne odtud $f(0)=f(b)=b$. |
|
|
| Na číselné ose jsou proto jak body 0 a $b$, tak i body $x_{1}$ a $x_{2}$ souměrně sdružené podle $x$-ové souřadnice vrcholu paraboly $y=f(x)$. Ćísla $0, b, x_{1}$ a $x_{2}$ (tvořící dle zadání aritmetickou posloupnost) mohou tedy být uspořádána dvěma způsoby: |
| volbě indexů), tudíž |
|
|
| $$ |
| b=f(0)=a\left(-\frac{b}{3}\right)\left(-\frac{2 b}{3}\right)=\frac{2 a b^{2}}{9} |
| $$ |
|
|
| takže $b=\frac{9}{2 a}$ a |
|
|
| $$ |
| f(x)=a\left(x-\frac{3}{2 a}\right)\left(x-\frac{3}{a}\right)=a x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{9}{2 a} . |
| $$ |
|
|
| - Čísla 0 a $b$ leží uvnitř intervalu s krajními body $x_{1}$ a $x_{2}$. Pak $x_{1}=-b$ a $x_{2}=2 b$ (při vhodné volbě indexů), tudíž |
|
|
| $$ |
| b=f(0)=a b(-2 b)=-2 a b^{2} |
| $$ |
|
|
| takže $b=-\frac{1}{2 a} \mathrm{a}$ |
|
|
| $$ |
| f(x)=a\left(x-\frac{1}{2 a}\right)\left(x+\frac{1}{a}\right)=a x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2 a} . |
| $$ |
|
|
| Závěr: Úloze vyhovují všechny kvadratické funkce $f$ tvaru |
|
|
| $$ |
| f(x)=a x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{9}{2 a} \quad \text { nebo } \quad f(x)=a x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2 a} |
| $$ |
|
|
| kde $a$ je libovolné nenulové reálné číslo. |
|
|
| 5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně a. Určete objem tohoto jehlanu. |
|
|
| (P. Leischner) |
|
|
| Řešení. Označme $A B C D$ uvažovaný jehlan s podstavou $A B C$, kde $|\Varangle A C B|=90^{\circ}$. Podle textu úlohy byl model rozříznut podél obou odvěsen $A C$ a $B C$ podstavy a dále podél těžnice z vrcholu $D$ jedné ze stěn $B C D, A C D$. Při řezu podél těžnice ve stěně $A B D$ by totiž nebylo možné rozvinout model do roviny. Bez újmy na obecnosti předpokládejme dále, že řez je veden podél těžnice $D E$ ve stěně $A C D$ (obr. 7), kdy po rozvinutí do roviny vznikne útvar s hranicí $B C A E_{2} D E_{1} C_{1} B$ a pravým úhlem u vrcholu $C$ (obr. 8). Protože tento útvar je čtverec (označme ho $\mathcal{C}$ ), jsou úhly $A E_{2} D$ a $D E_{1} C_{1}$ pravé (žádný z nich nemůže být přímý, nebot jejich součet je $180^{\circ}$ ). Proto je těžnice $D E$ trojúhelníku $A C D$ zároveň jeho výškou a body $E_{1}, E_{2}$ jsou vrcholy čtverce $\mathcal{C}$. |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 7 |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 8 |
|
|
| Kdyby vrcholy $E_{1}$ a $E_{2}$ ćtverce $\mathcal{C}$ byly sousední, z rovnosti $\left|E_{1} C_{1}\right|=\left|E_{2} A\right|$ a z toho, że $\mathcal{C}$ má vrchol $C$, by plynulo, že $\mathcal{C}=C E_{2} E_{1} B$, a tak $|B C|=\left|B E_{1}\right|$, což ale odporuje rovnosti $|B C|=\left|B C_{1}\right|$ (obr. 9). Tak jsme (sporem) dokázali, že vrcholy $E_{1}$ a $E_{2}$ čtverce $\mathcal{C}$ nejsou sousední, proto $\mathrm{k}$ vrcholům $\mathcal{C}$ patří (kromě bodů $E_{1}, E_{2}$ a $C$ ) nutně bod $D$ (z úseku $E_{2} D E_{1}$ hranice $B C A E_{2} D E_{1} C_{1} B$ ). |
|
|
| Popsané body rozdělují hranici čtverce $\mathcal{C}=C E_{2} D E_{1}$ na úseky, jejichž délky jsou vyznačeny na obr. 8 pomocí výhodného označení $x=\frac{1}{3} a$. Délky ostatních hran jehlanu spočteme podle Pythagorovy věty: |
|
|
| $$ |
| \begin{gathered} |
| |D C|=|D A|=\sqrt{(3 x)^{2}+(x)^{2}}=x \sqrt{10} \\ |
| |D B|=\sqrt{(3 x)^{2}+(2 x)^{2}}=x \sqrt{13}, \quad|A B|=x \sqrt{5} |
| \end{gathered} |
| $$ |
|
|
| Abychom zjistili objem jehlanu $A B C D$, potřebujeme určit velikost jeho tělesové výšky. |
|
|
| Označíme-li $F$ střed hrany $A B$, vidíme, že hrana $A C$ je kolmá na rovinu $E F D$, nebot $A C \perp B C \| E F$ a $A C \perp D E$. Rovina $E F D$ je tedy kolmá na základnu $A B C$. |
|
|
| Tělesová výška jehlanu je proto výškou (z vrcholu $D$ ) trojúhelníku $D E F$. Protože $D F$ tvoří těžnici trojúhelníku $A B D$, ze známého vzorce pro velikost těžnice dostaneme |
|
|
| $$ |
| 2|D F|^{2}=|D A|^{2}+|D B|^{2}-\frac{1}{2}|A B|^{2}=\frac{41}{2} x^{2} |
| $$ |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 9 |
|
|
| takže strany trojúhelníku $D E F$ mají délky $|D F|=\frac{1}{2} x \sqrt{41},|D E|=3 x$ a $|E F|=\frac{1}{2}|B C|=\frac{1}{2} x$. Podle Heronova vzorce je obsah $S$ takového trojúhelníku roven |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| S & =\frac{x^{2}}{4} \sqrt{\left(3+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(3+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(3+\frac{\sqrt{41}}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{1}{2}-3\right)}= \\ |
| & =\frac{x^{2}}{16} \sqrt{(7+\sqrt{41})(7-\sqrt{41})(5+\sqrt{41})(\sqrt{41}-5)}=\frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}, |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| a tak má jeho výška $v$ z vrcholu $D$ velikost $v=\frac{2 S}{|E F|}=2 x \sqrt{2}$. Objem $V$ jehlanu $A B C D$ je proto roven |
|
|
| $$ |
| V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}|A C| \cdot|B C| \cdot v=\frac{2 \sqrt{2}}{3} x^{3}=\frac{2 \sqrt{2}}{81} a^{3} . |
| $$ |
|
|
| Závěr: Objem uvažovaného jehlanu je $\frac{2 \sqrt{2}}{81} a^{3}$. |
|
|
| ## Poznámka. |
|
|
| Ze čtverce lze popsaným způsobem čtyřstěn $A B C D$ požadovaných vlastností vytvořit, když je součet dvou ze tří předpokládaných stěnových úhlů při vrcholu $D$ větší než úhel třetí. Protože jejich součet je $90^{\circ}$, stačí ověřit, že každý z těchto tří úhlů je menší než $45^{\circ}$. Nerovnost $|\Varangle C D B|<45^{\circ}$ je zřejmá, zbylé dvě nerovnosti jsou důsledkem výpočtů, podle kterých $\cos |\Varangle A D B|=\frac{9}{\sqrt{130}}>\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\operatorname{atg}|\Varangle C D A|=\operatorname{tg}\left(2\left|\Varangle C_{1} D E_{1}\right|\right)=\frac{3}{4}<1$. |
|
|
| 6. Najděte všechna čtyřmístná čísla $\overline{a b c d}$ ( $v$ desitkové soustavě), pro něž platí rovnost |
|
|
| $$ |
| \overline{a b c d}+1=(\overline{a c}+1)(\overline{b d}+1) . |
| $$ |
|
|
| Řešení. Rovnost $1000 a+100 b+10 c+d+1=(10 a+c+1)(10 b+d+1)$ lze upravit na tvar |
|
|
| $$ |
| 100 a(9-b)+10 a(9-d)+10 b(9-c)+c(9-d)=0 . |
| $$ |
|
|
| Přitom každý ze čtyř sčítanců na levé straně je nezáporné celé číslo, proto bude tato rovnost splněna, právě když bude každý z nich roven nule. Protože je $a>0$, musí být $b=d=9$ a následně i $c=9$. V tom případě rovnici vyhovuje libovolná číslice $a, a \in\{1,2, \ldots, 9\}$. Řešením úlohy jsou tedy právě všechna následující čtyřmístná čísla: 1999, 2999, 3999, 4999, 5999, 6999, 7999, 8999 a 9999 . |
|
|
| # 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A |
|
|
| Bílovec, 10. dubna 2000 |
|
|
|  |
|
|
| 1. Neché $n$ je přrirozené číslo. Dokažte, že součet $4 \cdot 3^{2^{n}}+3 \cdot 4^{2^{n}}$ je dělitelný třinácti, právě když $n$ je sudé. |
| 2. Je dán rovnoramenný trojúhelník $A B C$ se základnou $A B$. Na jeho výšce $C D$ je zvolen bod $P$ tak, že kružnice vepsané trojúhelníku $A B P$ a čtyřúhelníku $P E C F$ jsou shodné; přitom bod $E$ je pri̊sečík přímky $A P$ se stranou $B C$ a $F$ průsečík přímky $B P$ se stranou $A C$. Dokažte, že i kružnice vepsané trojúhelníkům $A D P$ a $B C P$ jsou shodné. |
| 3. V rovině je dáno 2000 shodných trojúhelníkư o obsahu 1 , které jsou obrazy téhož trojúhelníku v různých posunutích. Každý z těchto trojúhelníků obsahuje těžiště všech zbývajících. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menší než $\frac{22}{9}$. |
|
|
| # 49. ročník matematické olympiády, III. kolo kategorie A |
|
|
| Bílovec, 11. dubna 2000 |
|
|
|  |
|
|
| 4. Pro které kvadratické funkce $f(x)$ existuje taková kvadratická funkce $g(x)$, že kořeny rovnice $g(f(x))=0$ jsou čtyři různé po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a současně i kořeny rovnice $f(x) g(x)=0$ ? |
| 5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně $a$. Určete objem tohoto jehlanu. |
| 6. Najděte všechna čtyřmístná čísla $\overline{a b c d}$ (v desítkové soustavě), pro něž platí rovnost |
|
|
| $$ |
| \overline{a b c d}+1=(\overline{a c}+1)(\overline{b d}+1) . |
| $$ |
|
|
|
|
