| # Сојузен натпревар 1990 |
|
|
| ## Седмо одделение |
|
|
| 1. Определи го најголемиот природен број таков што било кои две соседни цифри запишпани во истиот редослед формираат двоцифрен број делив со 23. |
|
|
| Решение. Двоцифрени броеви деливи со 23 се 23, 46, 69 и 92 . Броеви кои го задоволуваат условот на задачата се: 23,46923 , 6923 и 923. Најголем од овие броеви е 46923. |
|
|
| 2. Ако во еден трицифрен број делив со 7 двете негови последни цифри се еднакви, докажи дека збирот на цифрите на тој број е делив со 7 . |
|
|
| Решение. Дадениот трицифрен број можеме да го запишеме во обликот $A=\overline{x y y}=100 x+10 y+y=7(14 x+y)+2(x+2 y)$, каде $x$ и $y$ се цифри. Ако 7 е делител на $A$, тогаш 7 е делител на $2(x+2 y)$ и како $\mathrm{NZD}(2,7)=1$ заклучуваме дека 7 е делител на $x+2 y=x+y+y$, т.е. на збирот на цифрите на бројот $A$. |
|
|
| 3. За броевите $a, b, c, d$ важи $d>c, a+b=c+d, a+d<b+c$. Подреди ги овие броеви по големина. |
| |
| Решение. Од $a+d<b+c$ следува $a+b+d<2 b+c$, па ако се искористи дека $a+b=c+d$, добиваме $c+2 d<2 b+c$, од каде следува $d<b$. Сега, од $a+b=c+d$ и $d<b$ следува $c-a=b-d>0$, па затоа $c>a$. Конечно, $a<c<d<b$. |
| |
| 4. На основата $B C$ на рамнокракиот остроаголен триаголник $A B C$ определи точка $M$ така што разликата на нејзините растојанија до краците ќе биде еднаква на половина од должината на кракот $A B$. |
| |
| Решение. Конструираме права $p$ паралелна на кракот $A C$ на дадениот триаголник, на растојание еднакво на половина од должината на кракот $A B$, така што го сече кракот $A B$ во точката $A_{1}$, а основата $B C$ во точката $C_{1}$. Нека $M$ е подножјето на нормалата повлечена од $A_{1}$ на $B C$. |
| |
|  |
| |
| Ќe докажеме дека оваа права ги исполнува условите на задачата. Нека $M_{1}$ и $M_{2}$ се подножјата на нормалите повлечени од точката $M$ на краците $A_{1} B$ и $A_{1} C_{1}$ на рамнокракиот триаголник $A_{1} B C_{1}$, а $M_{3}$ подножјето на нормалата од $M$ на $A C$. Точката $M$ е средина на основата на триаголникот $A_{1} B C_{1}$, па затоа $M M_{1}=M M_{2}$, што значи |
| |
| $$ |
| M M_{3}-M M_{1}=M M_{2}+\frac{1}{2} A B-M M_{1}=\frac{1}{2} A B |
| $$ |
| |
| 5. Во правоаголен триаголник висината повлечена кон хипотенузата ја дели хипотенузата на два дела чија разлика е еднаква на должината на едната катета. Определи ги аглите на овој триаголник. |
| |
| Решение. Нека $A B C$ е дадениот правоаголен триаголник со прав агол во темето $C$ и нека, на пример, $C A<B C$. Понатаму, нека $D$ е подножјето на висината повлечена од темето $C$ и $E$ е точка на отсечката $D B$ таква што |
| |
|  |
| $D E=A D$. Тогаш триаголникот $A C E$ е рамнокрак. Од условот на задачата следува $B E=A C=C E$, што значи дека и триаголникот $B C E$ е рамнокрак, при што $\alpha=\measuredangle A E C$ е негов надворешен агол, па затоа $\alpha=2 \beta$. Но, $\alpha+\beta=90^{\circ}$, па затоа $\beta=30^{\circ}$ и $\alpha=60^{\circ}$. |
| |
| ## Осмо одделение |
| |
| 1. Докажи дека збирот на кубовите на три последователни природни броја е делив со 9. |
| |
| Решение. Збирот на кубовите на три последователни природни броја e |
| |
| $$ |
| (n-1)^{3}+n^{3}+(n+1)^{3}=3 n^{3}+6 n=3 n\left(n^{2}+2\right) |
| $$ |
| |
| Сега, ако $n=3 k$, тогаш производот $n\left(n^{2}+2\right)$ е делив со 3 , а ако $n=3 k \pm 1$, тогаш |
| |
| $$ |
| n^{2}+2=3\left(3 k^{2} \pm 2 k+1\right) |
| $$ |
| |
| па затоа и во овој случај производот $n\left(n^{2}+2\right)$ е делив со 3 . |
| |
| 2. Едноцифрен број $x$ е зголемен за 10 и со тоа бројот $x$ е зголемен за некој процент. Ако добиениот број го зголемиме за истиот број проценти како првиот пат го добиваме бројот 72. Определи го бројот $x$. |
| |
| Решение. Ако непознатиот број го означиме со $x$, тогаш од условот на задачата ја добиваме равенката |
| |
| $$ |
| x+10+\frac{10}{x}(x+10)=72 |
| $$ |
| |
| од каде добиваме $x^{2}-52 x+100=0$, односно $(x-2)(x-50)=100$. Производ на два броја е еднаков на 0 ако еден од множителите е еднаков на 0 , па од последната равенка добиваме $x-2=0$ или $x-50=0$ т.е. $x=2$ или $x=50$. Но, $x$ е едноцифрен број, па затоа решение на задачата е $x=2$. |
| |
| 3. Определи шестцифрен број кој помножен со 2 , со 3 , со 4 , со 5 , со 6 дава шестцифрени броеви запишани со истите цифри како и почетниот број. |
| |
| Решение. Со анализа на производите со 2 , со 3 , со 4 , со 5 и со 6 се добива дека единствено решение на задачата е бројот 142857. На пример, ако бараниот број е $\overline{a b c d e f}$, тогаш бидејќи при множење со бројот 6 треба да се добие шестцифрен број запишан со истите цифри како и почетниот број, заклучуваме дека $a=1$ итн. Деталите ги оставаме на читателот за вежба. |
| |
| 4. Во триаголникот $A B C$ симетралата на $\measuredangle C A B$ ја сече страната $B C$ во точката $N$, а симетралата на $\Varangle C B A$ ја сече страната $A C$ во точката $P$, при што $P N=1$. Симетралите $A N$ и $B P$ се сечат во точката $Q$. Темето $C$ припаѓа на кружницата која минува низ точките $P, Q$ и $N$. Определи ја плоштината на триаголникот $N P Q$. |
| |
| Решение. Имаме |
| |
| $$ |
| \measuredangle P Q N=\measuredangle A Q B=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2} |
| $$ |
| |
| Понатаму, од тетивниот четири аголник $P Q N C$ следува $\measuredangle P Q N=180^{\circ}-\gamma$, па од овие две релации добиваме $\gamma=60^{\circ}$. Сега, |
| |
| $$ |
| \measuredangle Q N P=\measuredangle Q C P=\frac{\gamma}{2}=30^{\circ} |
| $$ |
| |
|  |
| и слично $\measuredangle N P Q=30^{\circ}$, па затоа триаголникот $N P Q$ е рамнокрак, со агол на основата $30^{\circ}$. Со симетралата $Q C$ на основата $N P$ тој може да се подели на два складни триаголници од кои може да се состави рамностран триаголник со висина $\frac{1}{2} P N=\frac{1}{2}$, што значи со страна $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Конечно, неговата плоштина е еднаква на $\frac{\sqrt{3}}{12}$. |
| |
| 5. Дијагоналите на произволен трапез го делат трапезот на четири триаголници. Плоштините на триаголниците, изразени во $\mathrm{cm}^{2}$, кои ги содржат основите на трапезот се $m$ и $n$. Пресметај ја плоштината на трапезот. |
| |
| Решение. Триаголниците $A B O$ и $C D O$ се слични со коефициент на сличност $\sqrt{m}: \sqrt{n}$. Ако $A B=a, C D=c$ и ако $h^{\prime}$ и $h^{\prime \prime}$ се висините на овие триаголници од темето $O$, тогаш |
| |
| $$ |
| \frac{h^{\prime}}{h^{n}}=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} |
| $$ |
| |
|  |
| |
| Оттука |
| |
| $$ |
| \frac{h^{\prime}+h^{\prime \prime}}{h^{\prime \prime}}=\frac{a+c}{c}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \text { и } \frac{\left(h^{\prime}+h^{\prime \prime}\right)(a+c)}{h^{\prime \prime} c}=\frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}}{n} |
| $$ |
| |
| Бидејќи $h " c=2 n$, добиваме дека плоштината на трапезот е |
| |
| $$ |
| P=\frac{\left(h^{\prime}+h^{\prime \prime}\right)(a+c)}{2}=\frac{\left(h^{\prime}+h^{\prime \prime}\right)(a+c)}{h^{\prime \prime} c} \cdot \frac{h^{\prime \prime} c}{2}=\frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}}{n} \cdot n=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2} |
| $$ |
| |
| |
