MatematickiTalent/md/mk-secondary-federal/fSnJ8A6fBUyYF9aSkllpkw.md

Сојузен натпревар 1961

III година

1. Ако $x_{1}$ и $x_{2}$ се решенија на равенката $x^{2}+k x+1=0$, определи ги оние вредности на $k$ за кои е точно неравенството

$${\left(\frac{x_1}{x_2}\right)}^2+{\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^2>2\backslash left(\backslash frac\{x\_\{1\}\}\{x\_\{2\}\}\backslash right)^\{2\}+\backslash left(\backslash frac\{x\_\{2\}\}\{x\_\{1\}\}\backslash right)^\{2\}>2$$

Решение. Од Виетовите формули следува $x_{1}+x_{2}=-k, x_{1} x_{2}=1$. Понатаму:

Од претходните равенства следува дека неравенството (1) важи ако и само ако $k^{2}>4$,т.е. ако и само ако $k(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$.

2. Определи ја најголемата вредност на изразот

$${\log }_2^{4}x+12{\log }_2^{2}x\cdot {\log }_2\left(\frac{8}{x}\right)\backslash log\; \_\{2\}^\{4\}\; x+12\; \backslash log\; \_\{2\}^\{2\}\; x\; \backslash cdot\; \backslash log\; \_\{2\}\backslash left(\backslash frac\{8\}\{x\}\backslash right)$$

ако променливата $x$ се менува на интерваот $[1,64]$.

Решение. Нека $\log _{2} x=1$. Забележуваме дека $t$ расте од 0 до 6 кога $x$ расте од 1 до 64. Понатаму,

Функцијата $f(t)=t(t-6)$ прима негативни вредности за $0<t<6$ и достигнува минимум во точката $t=3$. Затоа максимумот на дадениот израз е еднаков на $(f(3))^{2}=81$.

3. Прав цилиндар и конус имаат заедничка основа, а врвот на конусот се наоѓа во средината на другата основа на цилиндарот. Определи го аголот меѓу изводницата на конусот и оската на цилиндарот ако односот на плоштините на цилиндарот и конусот е 7:4.

Решение. Нека $r$ и $h$ се соодветно радиусот на основата на цилиндарот и неговата висина. Тогаш плоштините на цилиндарот и конусот соодветно се:

$$P_1=2\pi rh+2r^2\pi ,P_2=r\pi \sqrt{r^2+h^2}+r^2\pi P\_\{1\}=2\; \backslash pi\; r\; h+2\; r^\{2\}\; \backslash pi,\; \backslash quad\; P\_\{2\}=r\; \backslash pi\; \backslash sqrt\{r^\{2\}+h^\{2\}\}+r^\{2\}\; \backslash pi$$

Од условот $\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{7}{4}$ последователно добиваме:

и конечно $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$. Ако со $\varphi$ го означиме бараниот агол (види цртеж), тогаш $\operatorname{tg} \varphi=\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$, па затоа $\varphi=\operatorname{arctg} \frac{3}{4}$.

4. Страните на триаголникот $A B C$ се $a, b$ и $c$, при што $a<b<c$. Над нив се конструирани слични правоаголници, така што плоштината на правоаголникот над страната $c$ е поголема од збирот на плоштините на другите два правоаголници за плоштина на квадратот чија страна е $m$. Определи ги вторите страни на конструираните правоаголници.

Решение. Нека $k c$ е висината на правоаголникот конструиран над страната со должина $c$, при што $k>0$. Постојат следниве четири можности за висините на правоаголниците кои се конструирани соодветно над страните со должини $a$ и $b$ :

1. $k a, k b$;
2. $k a, \frac{b}{k}$;
3. $\frac{a}{k}, k b$;
4. $\frac{a}{k}, \frac{b}{k}$.

Доволно е во секој од овие случаи да се определи вредноста на коефициентот $k$. Условот на задачата во наведените случаи го добива видот:

1. $k c^{2}=k a^{2}+k b^{2}+m^{2}$
2. $k c^{2}=k a^{2}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$,
3. $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+k b^{2}+m^{2}$,
4. $k c^{2}=\frac{a^{2}}{k}+\frac{b^{2}}{k}+m^{2}$.

Ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$, тогаш во случајот 1) го добиваме решението $k=\frac{m^{2}}{c^{2}-a^{2}-b^{2}}$. Во случаите 2), 3) и 4) $k$ е позитивно решение на следниве равенки:

Според тоа, ако $c^{2}>a^{2}+b^{2}$,тогаш постојат четири решенија, а ако $c^{2} \leq a^{2}+b^{2}$, тогаш постојат три решенија.

IV година

1. Дадена е низата $a_{n}=\frac{c^{2}+n-2}{2}, n \in \mathbb{N}$.

a) Определи го збирот $S_{n}$ на првите $n$ членови. б) Докажи дека броителот на збирот $S_{c}$ е делив со 25 ако $c=10 k+1$, каде $k$ е природен број.

Решение. а) Имаме:

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n\frac{c^2+k-2}{2}=n\frac{c^2-2}{2}+\frac{1}{2}(1+2+\dots +n)=\frac{n}{4}(2c^2+n-3)S\_\{n\}=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; a\_\{k\}=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; \backslash frac\{c^\{2\}+k-2\}\{2\}=n\; \backslash frac\{c^\{2\}-2\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}(1+2+\backslash ldots+n)=\backslash frac\{n\}\{4\}\backslash left(2\; c^\{2\}+n-3\backslash right)$$

б) Ако $c=10 k+1$, тогаш броителот на $S_{c}$ е еднаков на

$$(10k+1)(2(10k+1{)}^2+10k+1-3)=25k(10k+1)(8k+2)(10\; k+1)\backslash left(2(10\; k+1)^\{2\}+10\; k+1-3\backslash right)=25\; k(10\; k+1)(8\; k+2)$$

2. Докажи дека збирот на квадратите на растојанијата од произволна точка на кружницата до сите темиња на рамностраниот триаголник впишан во таа кружница е константен.

Решение. Без ограничување на општоста можеме да земеме дека опишаната кружница $k$ е кружница со радиус $r$ и центар во координатниот почеток, а темињата на рамностраниот триаголник се точките $A, B, C$ со координати, соодветно: $\left(\frac{r}{2}, \frac{r \sqrt{3}}{2}\right),(-r, 0),\left(\frac{r}{2},-\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)$. Произволна точка $X$ на кружницата $k$ има координати ( $r x, r y$ ), каде $x^{2}+y^{2}=1$. Тогаш:

3. Определи го параметарот $\lambda$ така што растојанието од центарот на кружницата

$$x^2+y^2+4x-4y-17=0x^\{2\}+y^\{2\}+4\; x-4\; y-17=0$$

до правата $x-(\lambda+2) y-\lambda-4=0$ е еднакво на $\frac{5}{\sqrt{2}}$. Тангентите кои го допираат кружницата во пресечните точки со дадената права и самата права формираат триаголник. Определи ја плоштината на пресекот на опишаниот круг околу тој триаголник и дадениот круг. (За $\lambda$ земи го целобројното решение.)

Решение. Равенката на кружницата $k$ можеме да ја запишеме во видот

$$(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=25(x+2)^\{2\}+(y-2)^\{2\}=25$$

Центарот на кружницата е тоќката $O(-2,2)$. Равенката

$$\frac{\mathrm{\mid }-2-2(\lambda +2)-\lambda -4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+(\lambda +2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\backslash frac\{|-2-2(\backslash lambda+2)-\backslash lambda-4|\}\{\backslash sqrt\{1+(\backslash lambda+2)^\{2\}\}\}=\backslash frac\{5\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$$

има две решенија $\lambda_{1}=5$ и $\lambda_{2}=-\frac{15}{7}$. Правата $x-7 y-9=0$ ја сече кружницата $k$ во точките $A(2,-1)$ и $B(-5,-2)$, види цртеж. Равенките на тангентите на кружницата $k$ во точките $A$ и $B$, соодветно се:

$$y+1=\frac{4}{3}(x-2)\text{ и }y+2=-\frac{3}{4}(x+5)y+1=\backslash frac\{4\}\{3\}(x-2)\; \backslash text\; \{\; и\; \}\; y+2=-\backslash frac\{3\}\{4\}(x+5)$$

Пресечната точка на овие тангенти е $C(-1,-5)$. Да забележиме дека четириаголникот $A O B C$ е квадрат со страна 5. Бараната плоштна е еднаква на

$$\frac{5^2\pi }{4}+\frac{1}{2}(\frac{50}{4}\pi -25)=\frac{25}{2}(\pi -1)\backslash frac\{5^\{2\}\; \backslash pi\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{50\}\{4\}\; \backslash pi-25\backslash right)=\backslash frac\{25\}\{2\}(\backslash pi-1)$$

4. Докажи дека позитивните реални броеви $a, b$ и $c$ може да се должини на страни на триаголник ако и само ако неравенството $a^{2} p+b^{2} q>c^{2} p q$ важи за секои парови позитивни реални броеви $p$ и $q$ чиј збир е еднаков на 1.

Решение. Прво да забележиме дека позитивните броеви $a, b, c$ може да се должини на страни на триаголник ако и само ако

$$a+b>c,b+c>a,c+a>ba+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b$$

Да означиме

$$p=x,q=1-x,a^{2}p+b^{2}q-c^{2}pq=f(x)=c^2{x}^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^{2}p=x,\; q=1-x,\; a^\{2\}\; p+b^\{2\}\; q-c^\{2\}\; p\; q=f(x)=c^\{2\}\; x^\{2\}+\backslash left(a^\{2\}-b^\{2\}-c^\{2\}\backslash right)\; x+b^\{2\}$$

Дискриминантата на триномот $f(x)$ e:

$$D={(a^2-b^2-c^2)}^2-4b^2{c}^2=-(a+b+c)(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)D=\backslash left(a^\{2\}-b^\{2\}-c^\{2\}\backslash right)^\{2\}-4\; b^\{2\}\; c^\{2\}=-(a+b+c)(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)$$

Неравенството $f(x)>0$ важи за секој рален број $x$ ако и само ако $D<0$,т.е.ако и само ако важи

$$(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)>0(a+b-c)(a+b-c)(b+c-a)>0$$

Лесно се гледа дека за позитивни броеви $a, b, c$ може да биде негативен најмногу еден од броевите $a+b-c, b+c-a, c+a-b$. Неравенството (1) важи ако и само ако

$$a+b>c,b+c>a,c+a>ba+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b$$