Romania_Olympiad/md/ro-10-Olimpiada Nationala de Matematica 2022 Etapa Nationala, Piatra-Neamt, subiecte, solutii si bareme cl. IX-cl9_nationala.md

Olimpiada Națională de Matematică

Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022

CLASA a IX-a

Problema 1. Se consideră $a$ și $b$ numere naturale nenule. Demonstrați că ecuația

$$x^2+(a+b{)}^{2}x+4ab=1x^\{2\}+(a+b)^\{2\}\; x+4\; a\; b=1$$

are soluții raționale dacă și numai dacă $a=b$.

Problema 2. Fie $A B C$ un triunghi dreptunghic în $A$, astfel încât $A^{\prime}$ este mijlocul ipotenuzei, $M$ mijlocul înălțimii $A D, D \in(B C)$ și ${P}=B M \cap A A^{\prime}$.

Dacă notăm $\alpha=m(\widehat{P C B})$, să se demonstreze că

$$\mathrm{tg}\alpha =\sin C\cdot \cos C\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash alpha=\backslash sin\; C\; \backslash cdot\; \backslash cos\; C$$

Problema 3. Determinați funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care există funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât

$$f(x)+f(y)=[g(x+y)]f(x)+f(y)=[g(x+y)]$$

oricare ar fi $x, y$ numere reale.

(Am notat cu $[a]$ partea întreagă a numărului real a.)

Problema 4. Fie $a, b, c, d$ numere naturale nenule, cu $a<b<c<d$ și $a d=b c$. Demonstrați că

Timp de lucru 4 ore.

Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.

Olimpiada Națională de Matematică
Etapa Națională, Piatra-Neamț, 16 aprilie 2022

CLASA a IX-a - soluții și bareme

Problema 1. Se consideră $a$ și $b$ numere naturale nenule. Demonstraţi că ecuația

$$x^2+(a+b{)}^{2}x+4ab=1x^\{2\}+(a+b)^\{2\}\; x+4\; a\; b=1$$

are soluții raționale dacă și numai dacă $a=b$.

Soluție. Pentru $a=b$ numere naturale nenule ecuatia se scrie $x^{2}+4 a^{2} x+4 a^{2}-1=0$, cu soluțiile $x_{1}=-1$ și $x_{2}=1-4 a^{2}$ $1 p$

Reciproc, să presupunem că ecuatia $x^{2}+s x+p=0$, unde $s=(a+b)^{2}$ și $p=4 a b-1$, admite soluții raționale. Atunci $\Delta=s^{2}-4 p$ va fi pătrat perfect, deci $s^{2}-4 p=n^{2}$, cu $n \in \mathbb{N}$. . . .1p

Cum numerele $s$ și $n$ au aceeași paritate s,i $4 p>0$ deducem că $n<s$, deci $n \leqslant s-2$.

Rezultă că $s^{2}-4 p \leqslant(s-2)^{2} \Leftrightarrow s \leqslant p+1$, ceea ce este echivalent cu $(a+b)^{2} \leqslant 4 a b$. Deducem că $(a-b)^{2}=0 \Leftrightarrow a=b$

$2 p$

Problema 2. Fie ABC un triunghi dreptunghic în $\mathrm{A}$ astfel încât $A^{\prime}$ este mijlocul ipotenuzei, M mijlocul înălțimii $A D, D \in(B C)$ și ${P}=B M \cap A A^{\prime}$.

Dacă notăm $\alpha=m(\widehat{P C B})$, să se demonstreze că

$$\mathrm{tg}\alpha =\sin C\cdot \cos C\backslash operatorname\{tg\}\; \backslash alpha=\backslash sin\; C\; \backslash cdot\; \backslash cos\; C$$

Soluție.

Aplicǎm teorema lui Menelaus în triunghiul $A A^{\prime} D$, cu punctele $B, M, P$ coliniare:

$$\frac{B{A}^{\mathrm{\prime }}}{BD}\cdot \frac{MD}{MA}\cdot \frac{PA}{P{A}^{\mathrm{\prime }}}=1\iff \frac{PA}{P{A}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{BD}{B{A}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{2BD}{BC}=\frac{2BD\cdot BC}{B{C}^2}=\frac{2A{B}^2}{B{C}^2}=2{\sin }^{2}C(1)\dots \mathbf{2}\mathbf{p}\backslash frac\{B\; A^\{\backslash prime\}\}\{B\; D\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{M\; D\}\{M\; A\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{P\; A\}\{P\; A^\{\backslash prime\}\}=1\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash frac\{P\; A\}\{P\; A^\{\backslash prime\}\}=\backslash frac\{B\; D\}\{B\; A^\{\backslash prime\}\}=\backslash frac\{2\; B\; D\}\{B\; C\}=\backslash frac\{2\; B\; D\; \backslash cdot\; B\; C\}\{B\; C^\{2\}\}=\backslash frac\{2\; A\; B^\{2\}\}\{B\; C^\{2\}\}=2\; \backslash sin\; ^\{2\}\; C(1)\; \backslash ldots\; \backslash mathbf\{2\}\; \backslash mathbf\{p\}$$

Din teorema sinusurilor în triunghiurile $P C A^{\prime}$ și $P C A$ obținem:

$$\frac{P{A}^{\mathrm{\prime }}}{\sin \alpha }=\frac{PC}{\sin 2B}(2),\text{ respectiv }\frac{PA}{\sin (C-\alpha )}=\frac{PC}{\sin C}(3)\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \mathbf{p}\backslash frac\{P\; A^\{\backslash prime\}\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}=\backslash frac\{P\; C\}\{\backslash sin\; 2\; B\}(2),\; \backslash text\; \{\; respectiv\; \}\; \backslash frac\{P\; A\}\{\backslash sin\; (C-\backslash alpha)\}=\backslash frac\{P\; C\}\{\backslash sin\; C\}(3)\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash mathbf\{p\}$$

Din relațiile (2) și (3) rezultǎ:

$$\frac{PA}{P{A}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{\sin (C-\alpha )}{\sin \alpha }\cdot \frac{\sin 2B}{\sin C}=\frac{\sin C\cos \alpha -\sin \alpha \cos C}{\sin \alpha }\cdot \frac{\sin 2B}{\sin C}\backslash frac\{P\; A\}\{P\; A^\{\backslash prime\}\}=\backslash frac\{\backslash sin\; (C-\backslash alpha)\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sin\; 2\; B\}\{\backslash sin\; C\}=\backslash frac\{\backslash sin\; C\; \backslash cos\; \backslash alpha-\backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash cos\; C\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sin\; 2\; B\}\{\backslash sin\; C\}$$

Ținând cont de relația (1) avem:

$(\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} C) \cdot \sin 2 B=2 \sin ^{2} C \Leftrightarrow(\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} C) \cdot 2 \sin B \cos B=2 \sin ^{2} C \Leftrightarrow$ $(\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{ctg} C) \cdot \sin B=\sin C$ $2 \mathbf{p}$

Așadar $\operatorname{ctg} \alpha=\operatorname{ctg} C+\operatorname{tg} C=\frac{1}{\sin C \cos C}$, de unde concluzia. $1 p$

Problema 3. Determinați funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ pentru care există funcția $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât

$$f(x)+f(y)=[g(x+y)]f(x)+f(y)=[g(x+y)]$$

oricare ar fi $x, y$ numere reale.

Am notat cu $[a]$ partea întreagă a numărului real $a$.

Soluție. Pentru $x \rightarrow(x+y), y \rightarrow 0$ în relația din enunț deducem

$$f(x+y)+f(0)=[g(x+y)]=f(x)+f(y)f(x+y)+f(0)=[g(x+y)]=f(x)+f(y)$$

Notând $h$.

Notând $h(x)=f(x)-f(0)$ obținem $h(x+y)=h(x)+h(y)$ (ecuația lui Cauchy) ...... 1p

Deducem că, pentru orice $x_{0} \in \mathbb{R}$, ales arbitrar și orice $n$ natural, $h\left(n x_{0}\right)=n h\left(x_{0}\right)$.

Rezultă că $h\left(x_{0}\right)=h\left(n \cdot \frac{x_{0}}{n}\right) \Leftrightarrow h\left(\frac{x_{0}}{n}\right)=\frac{h\left(x_{0}\right)}{n}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathbf{2}$

Cum $2 f(x)=[g(2 x)] \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2 h(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{2 h\left(x_{0}\right)}{n} \in \mathbb{Z}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$. Alegând $n>\left|2 h\left(x_{0}\right)\right|$ obținem că

de unde $h\left(\frac{x_{0}}{n}\right)=0$, deci $h\left(x_{0}\right)=0$. Cum $x_{0}$ a fost ales arbitrar obținem $h(x)=0$ pentru orice $\mathrm{x}$ real. Deducem că $f(x)=f(0)$ iar cum $2 f(x)=[g(2 x)] \in \mathbb{Z}$ rezultă $f(x)=\frac{k}{2}$ pentru orice $\mathrm{x}$ real, unde $\mathrm{k}$ este un număr întreg fixat.

$3 p$

Problema 4. Fie $a, b, c, d$ numere naturale nenule cu $a<b<c<d$ și $a d=b c$.

Demonstrați că

Soluție. Fie $b=a+x, c=a+y, d=a+z$ cu $0<x<y<z$ numere naturale.

Atunci relația din enunț, se scrie $a(a+z)=(a+x)(a+y)$. Deducem că $z=x+y+\frac{x y}{a}>$ $x+y \Rightarrow z \geqslant x+y+1$. Obținem astfel

$$a=\frac{xy}{z-x-y}⩽xya=\backslash frac\{x\; y\}\{z-x-y\}\; \backslash leqslant\; x\; y$$

$.2 \mathbf{p}$

Avem că $\frac{x y}{a}+a \leqslant x y+1 \Leftrightarrow x y+a^{2} \leqslant x y a+a \Leftrightarrow(x y-a)+a(a-x y) \leqslant 0 \Leftrightarrow(x y-a)(1-a) \leqslant 0$, adevărat.

Obținem astfel $d=a+z=x+y+\frac{x y}{a}+a \leqslant x+y+x y+1=(x+1)(y+1)$ $2 \mathbf{p}$

Inegalitatea din enunț se transcrie $\sqrt{a}+\sqrt{d}<x+y+1$, iar prin ridicare la pătrat este echivalentă cu

Cum

$$a+d⩽xy+x+y+xy+1a+d\; \backslash leqslant\; x\; y+x+y+x\; y+1$$

iar din inegalitatea mediilor, întrucât $x<y$, avem:

Adunând ultimele douǎ relații, obținem (1). ...........................................................