| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| 4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004 |
|
|
| ## NALOGE ZA 1. LETNIK |
|
|
| 1. Poenostavi: |
|
|
| $$ |
| \frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{a-\frac{a}{a+1}}} |
| $$ |
|
|
| 2. V trgovini Moda je stal moški suknjič po $30 \%$ pocenitvi 24500 SIT. Pred koncem razprodaje so ga pocenili še za $20 \%$. Koliko tolarjev znaša razlika med začetno ceno in ceno po drugi pocenitvi? |
|
|
| V trgovini Obleka je imel tak suknjič enako začetno ceno kot v trgovini Moda. Pocenili so ga le enkrat in takoj prodajali po ceni, ki je veljala v trgovini Moda šele po drugi pocenitvi. Za koliko odstotkov so suknjič pocenili v trgovini Obleka? |
|
|
| Zapiši odgovora. |
|
|
| 3. Reši sistem enačb: |
|
|
| $$ |
| \begin{aligned} |
| \frac{1}{2}\left(y+\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{5}(x+2) & =1,1 \\ |
| x-2 y+4 & =\frac{1}{4}\left(2 x+3\left(y-\frac{1}{2}\right)\right) |
| \end{aligned} |
| $$ |
|
|
| 4. Dan je pravokotnik $A B C D$ z oglišči $A(-2,-1), B(1,-1), C(1,3), D(-2,3)$. Izračunaj koordinati središča $S$ in polmer $R$ pravokotniku očrtane krožnice. Nariši sliko. |
| 5. Poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik naslednjih izrazov: |
|
|
| $$ |
| 4^{x}-9^{x}, \quad 4^{x}+2 \cdot 6^{x}+9^{x}, 4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}, \quad 8^{x}+27^{x} |
| $$ |
|
|
| Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. |
|
|
| Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. |
|
|
| Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami. |
|
|
| 4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol |
|
|
| Maribor, 17. april 2004 |
|
|
| ## NALOGE ZA 2. LETNIK |
|
|
| 1. Določi parameter $b$ tako, da bo linearna funkcija $3 x+(b-2) y+6=0$ naraščajoča. |
| 2. Dani sta funkciji $f(x)=\frac{1}{2} x+1$ in $g(x)=-2 x+6$. |
|
|
| a) V kateri interval preslika funkcija $f$ interval $[-2,6]$ ? |
|
|
| b) Na katerem intervalu zavzame funkcija $f$ vrednosti od vključno -5 do vključno 0 ? |
|
|
| c) Za katere $x$ sta vrednosti $f(x)$ in $g(x)$ obe pozitivni? |
|
|
| 3. Izračunaj vsoto kvadratov višin v trikotniku s podatki: $c=6 \mathrm{~cm}, v_{c}=4 \mathrm{~cm}$, $a=5 \mathrm{~cm}$. Nariši sliko. |
| 4. Če zmnožek treh zaporednih naravnih števil $n-1, n$ in $n+1$ povečamo za srednje število, dobimo število med 3000 in 4000 . Določi ta števila. |
| 5. Poenostavi izraz |
| |
| $$ |
| \frac{x^{0,5}+1}{x+x^{0,5}+1}: \frac{1}{x^{1,5}-1} |
| $$ |
| |
| Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. |
| |
| Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. |
| |
| Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami. |
| |
| Za reševanje imaš na voljo 120 min. |
| |
| 4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004 |
| |
| ## NALOGE ZA 3. LETNIK |
| |
| 1. Določi $a$ tako, da bosta korena enačbe $a x^{2}+x^{2}+9 a x-x-9 a=0$ obratni števili. |
| 2. Del procesa priprave polizdelkov je ohlajanje posebne zmesi surovin. Zmes izdelajo pri temperaturi $180^{\circ} \mathrm{C}$ in jo takoj nato ohlajajo v prostoru, kjer je stalna temperatura $20^{\circ} \mathrm{C}$. Ugotovili so, da lahko s formulo $T=a \cdot b^{t}+c$ izračunajo trenutno temperaturo $T$ zmesi po $t$ urah od začetka hlajenja $\mathrm{v}$ prostoru s stalno temperaturo $c$. |
| |
| a) Določi konstanti $a$ in $b$, če veš, da ima zmes na začetku $(t=0)$ temperaturo $180^{\circ} \mathrm{C}$ in da ima po 1 uri hlajenja temperaturo $160^{\circ} \mathrm{C}$. |
| |
| b) Koliko časa po izdelavi se zmes ohladi na $150^{\circ} \mathrm{C}$ ? Izračunaj do minute natančno. Zapiši odgovor. |
| |
| 3. V trikotniku je $\beta=74^{\circ} 18^{\prime}$ in $\gamma=38^{\circ} 46^{\prime}$ ter $|A C|-|A B|=2,5 \mathrm{~cm}$. Izračunaj dolžini stranic $|A B|$ in $|A C|$ ter rezultat zaokroži na dve mesti natančno. Nariši skico. |
| 4. Osnovna ploskev pokončne prizme je deltoid, ki ima krajšo diagonalo dolgo e. Notranja kota deltoida z vrhoma v krajiščih daljše diagonale merita $90^{\circ}$ in $60^{\circ}$. Višina prizme je enaka daljši diagonali deltoida. Izrazi prostornino prizme z e. Rezultat naj bo točen. |
| 5. Reši enačbo: |
| |
| $$ |
| \log \left(\frac{1}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{4}{x}\right)=\frac{3}{4} \cdot(\log 4)^{2} |
| $$ |
| |
| Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. |
| |
| Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. |
| |
| Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami. |
| |
| Za reševanje imaš na voljo 120 min. |
| |
| DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA. |
| |
| 4. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol Maribor, 17. april 2004 |
| |
| ## NALOGE ZA 4. LETNIK |
| |
| 1. V razredu je 25 dijakov. Rok je računal, koliko točk je v povprečju dosegel posamezen dijak pri šolski nalogi. Najprej je izračunal povprečje 74,5 točk, a se je spomnil, da je pozabil upoštevati svoj dosežek. Ko ga je upošteval, je izračunal povprečje 75 točk. Koliko točk je dosegel Rok pri šolski nalogi? Zapiši odgovor. |
| 2. Dana sta polinom $p(x)=x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}$ in premica $y=b x+20$. Grafa obeh funkcij se sekata v točkah z abscisama $x=5$ in $x=-2$. Določi koeficienta $a$ in $b$ in zapiši obe funkciji. |
| 3. Janez in Peter, ki sta drug od drugega oddaljena $450 \mathrm{~m}$, istočasno kreneta drug proti drugemu. Janez si je zakril oči in se premika počasi - v prvi minuti prehodi $5 \mathrm{~m}$, v vsaki naslednji minuti pa $15 \mathrm{~m}$ več kot v prejšnji. Peter prehodi v prvi minuti $100 \mathrm{~m}$, v vsaki naslednji minuti pa $10 \mathrm{~m}$ manj kot v predhodni. Čez koliko časa se bosta srečala? Zapiši odgovor. |
| 4. Za racionalno funkcijo $f(x)=\frac{a x+b}{c x+1}$ velja: $f(1)=\frac{3}{4}, f(2)=1$ in $f(-1)=$ $-\frac{1}{2}$. Določi realne parametre $a, b$ in $c$ ter zapiši funkcijo $f(x)$. Zapis funkcije poenostavi. |
| 5. Pokaži, da velja |
| |
| $$ |
| \frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin ^{2}(\pi+x)}{\cos 6 \pi+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}=-\cos x |
| $$ |
| |
| kjer je $x \neq 2 k \pi(k \in \mathbb{Z})$. |
| |
| Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran. |
| |
| Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. |
| |
| Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami. |
| |
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi k rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk. |
| |
| ## Prvi letnik |
| |
| 1. Izraz poenostavimo: |
| |
| $$ |
| \frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{a-\frac{a}{a+1}}}=\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{a+1}}}=\frac{a^{3}-1}{\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}}}=\frac{(a-1)\left(a^{2}+a+1\right) a^{2}}{a^{2}+a+1}=a^{2}(a-1) |
| $$ |
| |
| Poenostavljeno do oblike: $\frac{a^{3}-1}{1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{a+1}}}$ |
| |
| Poenostavljeno do oblike: $\frac{a^{3}-1}{\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}}}$ |
| |
| .1 točka |
| |
| Odprava dvojnih ulomkov: $\frac{\left(a^{3}-1\right) a^{2}}{a^{2}+a+1}$. . |
| |
| 1 točka |
| |
| Razstavljanje števca: $\frac{(a-1)\left(a^{2}+a+1\right) a^{2}}{\left(a^{2}+a+1\right)}$ |
| |
| 1 točka |
| |
| Krajšanje |
| |
| 1 točka |
| |
| Rezultat: $a^{2}(a-1)$ |
| |
| 1 točka |
| |
| 2. Če označimo začetno ceno suknjiča z $x$, velja $0,7 x=24500$, od koder izračunamo $x=35000$. Po drugi pocenitvi je suknjič stal $0,8 \cdot 24500=19600$ SIT. Razlika med začetno ceno in ceno po drugi pocenitvi je $35000-19600=15400$ SIT. |
| |
| V trgovini Obleka so pocenili suknjič, ki je stal 35000 SIT, za 15400 SIT, to je za $\frac{15400}{35000}=$ $44 \%$. |
| |
| Nastavljena enačba: $0,7 x=24500$ SIT 1 točka |
| |
| Izračun: $x=35000$ SIT |
| |
| Izračunana cena po ponovni pocenitvi: $24500 \cdot 0,8=19600$ SIT............................................ |
| |
| Razlika med začetno in končno ceno: $35000-19600=15400$ SIT................... 1 točka |
| |
| Izračunan odstotek pocenitve v trgovini Obleka: $p=\frac{15400}{35000}=44 \% \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ točka |
| |
| Odgovora ....................................................................................................... |
| |
| 3. Najprej poenostavimo obe enačbi. Prvo preoblikujemo v $10 y+5 x-4 x-8=22$ oziroma $10 y+x=30$, drugo pa v $8 x-16 y+32=4 x+6 y-3$ oziroma $4 x-22 y=-35$. Sistem rešimo po eni izmed metod. Če uporabimo zamenjalni način, iz prve izrazimo $x=30-10 y$ in vstavimo v drugo enačbo: $4(30-10 y)-22 y=-35$. Odtod izrazimo $y=\frac{5}{2}$. Nato izračunamo $x=5$. |
| |
| Poenostavitev prve enačbe: $10 y+x=30$. .1 točka |
| |
|  |
| |
| Pravilno reševanje sistema....................................................................................... |
| |
| Rešitev sistema: $x=5, y=\frac{5}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1+1$ točka |
| |
| 4. Središče $S$ pravokotniku očrtane krožnice je hkrati razpolovišče diagonale $A C$, zato je $S\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2}, \frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$ oziroma $S\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$. S skice je razvidno, da je polmer $R$ enak polovici dolžine diagonale $A C$. Ker je $|A C|=$ $\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{9+16}=5$, je $R=\frac{5}{2}$. |
| |
|  |
| |
| Skica |
| |
| Izračunani koordinati središča: $S\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ 1 točka 1 točka |
| |
| Sklep $R=\frac{1}{2} \cdot d(A, C)$ oziroma $R=\frac{1}{2} \cdot|A C|$. |
| |
| 1 točka |
| |
| Zapis ali uporaba obrazca za razdaljo med točkama...................................................................................... |
| |
| Pravilno vstavljeni podatki v obrazec ........................................................................ |
| |
|  |
| |
| 5. Najprej razcepimo posamezne izraze: $4^{x}-9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}-3^{x}\right), 4^{x}+2 \cdot 6^{x}+9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2}$, $4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}+2 \cdot 3^{x}\right)$ in $8^{x}+27^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(4^{x}-6^{x}+9^{x}\right)$. Vidimo, da je največji skupni delitelj $2^{x}+3^{x}$, najmanjši skupni večkratnik pa $\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2}\left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+\right.$ $\left.2 \cdot 3^{x}\right)\left(4^{x}-6^{x}+9^{x}\right)$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Razcep: $4^{x}+3 \cdot 6^{x}+2 \cdot 9^{x}=\left(2^{x}+3^{x}\right)\left(2^{x}+2 \cdot 3^{x}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
|  |
| |
| Pravilen zapis $D$ in $v$ |
| |
| ## Drugi letnik |
| |
| 1. Parameter $b$ ne sme biti enak 2 , sicer zapis $3 x+(b-2) y+6=0$ ne predstavlja funkcije. Za $b \neq 2$ lahko enačbo premice zapišemo v eksplicitni obliki: $y=\frac{-3}{b-2} x-\frac{6}{b-2}$. Linearna funkcija je naraščajoča, če je smerni koeficient pozitiven: $\frac{-3}{b-2}>0$. Števec ulomka $\frac{-3}{b-2}$ je negativen, zato bo vrednost ulomka pozitivna, če bo imenovalec negativen, torej $b-2<0$. Od tod dobimo rešitev $b<2$. |
| |
| Zapis enačbe premice v eksplicitni obliki $y=\frac{-3}{b-2} x-\frac{6}{b-2}$ .1 točka |
| |
| Zapis ali uporaba pogoja $k>0$ 1 točka |
| |
|  |
| |
| Pravilno reševanje neenačbe .................................................................................................................... |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| 2. Funkcija $f$ je linearna naraščajoča. Izračunamo vrednost funkcije pri -2 in pri 6 , ki sta krajišči danega intervala. Dobljeni vrednosti $f(-2)=0$ in $f(6)=4$ sta krajišči intervala $[0,4]$, v katerega se preslika dani interval. |
| |
| Da bi ugotovili, na katerem intervalu zavzame funkcija $f$ vrednosti od -5 do 0 , rešimo enačbi $\frac{1}{2} x+1=-5$ in $\frac{1}{2} x+1=0$. Rešitev prve je $x=-12$, rešitev druge pa $x=-2$. Iskani interval je $[-12,-2]$. |
| |
| Vrednost $f(x)$ je pozitivna, če velja $\frac{1}{2} x+1>0$ oziroma $x>-2$, vrednost $g(x)$ pa je pozitivna, če velja $-2 x+6>0$ oziroma $x<3$. Obe sta pozitivni za $x \in(-2,3)$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| c) Zapis dveh neenačb: $\frac{1}{2} x+1>0$ in $-2 x+6>0$..................................................... |
| |
|  |
| |
| 3. Ko narišemo sliko, opazimo, da imamo dva trikotnika $\mathrm{z}$ danimi podatki: $\triangle A B C_{1}$ in $\triangle A B C_{2}$. Oglejmo si najprej $\triangle A B C_{1}$. Iz $S=$ $\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{a \cdot v_{a}}{2}$ sledi $v_{a}=\frac{c \cdot v_{c}}{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Naj bo $x_{1}$ doľ̌ina pravokotne projekcije stranice $a$ na stranico $c$. Izračunamo jo po Pitagorovem izreku: $x_{1}=3 \mathrm{~cm}$. Ker je stranica $c$ dolga |
|
|
|  |
| $6 \mathrm{~cm}$, je tudi $c-x_{1}=3 \mathrm{~cm}$. Trikotnik $A B C_{1}$ je enakokrak in zato je $v_{b}=v_{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Vsota kvadratov višin je $v_{a}^{2}+v_{b}^{2}+v_{c}^{2}=62,08 \mathrm{~cm}^{2}$. |
| |
| Oglejmo si še $\triangle A B C_{2}$. Ker so dolžini stranic $c$ in $a$ ter višina $v_{c}$ enake kot $\mathrm{v}$ trikotniku $\triangle A B C_{1}$, je tudi $v_{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. Naj bo $x_{2}$ dolžina pravokotne projekcije stranice $a$ na podaljšek stranice $c$. Izračunamo jo po Pitagorovem izreku: $x_{2}=3 \mathrm{~cm}$. Dolžino stranice $b$ prav tako izračunamo po Pitagorovem izreku: $b=\sqrt{\left(c+x_{2}\right)^{2}+v_{c}^{2}}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$. Nato iz $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{b \cdot v_{b}}{2}$ izračunamo $v_{b}=\frac{c \cdot v_{c}}{b}=\frac{24}{\sqrt{97}} \mathrm{~cm}$. Končno imamo $v_{a}^{2}+v_{b}^{2}+v_{c}^{2}=$ $44,98 \mathrm{~cm}^{2}$. |
|
|
| Skica z označenimi podatki 1 točka |
|
|
| Izračunana $v_{a}=\frac{2 S}{a}=4,8 \mathrm{~cm}$. .1 točka |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Izračun dolžine $b$ in $v_{b}$ za drugi trikotnik.................................................................... |
|
|
|  |
|
|
| 4. Najprej ugotovimo, da je $(n-1) n(n+1)+n=n^{3}$. Zapišemo neenačbo $3000<n^{3}<4000$. Sklepamo, da je $\sqrt[3]{3} 000<n$ oziroma $14,42<n$ in da je $n^{3}<4000$ oziroma $n<15,87$. Tako je $n=15$. Iskana zaporedna naravna števila so 14,15 in 16 . |
| Zapis $(n-1) n(n+1)+n$ ..... 1 točka |
| Ureditev zgornjega izraza do $=n^{3}$. . . ..... 1 točka |
| Zapis neenačbe $3000<n^{3}<4000$ ..... 1 točka |
| Sklepanje: $14,42<n<15,87$. . . ..... 1 točka |
| Rešitev $n=15$. . ..... 1 točka |
| Odgovor: Iskana števila so $14,15,16$. ..... 1 točka |
| 5. Potence z racionalnimi eksponenti zapišemo s koreni. Tako je $\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}: \frac{1}{\sqrt{x^{3}}-1}=$ $\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x^{3}}-1}{1}$. Ulomka množimo in dobimo $\frac{\sqrt{x^{4}}+\sqrt{x^{3}}-\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$. Števec poenostavimo $\frac{x^{2}+x \sqrt{x}-\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$, nato pa preoblikujemo $\mathrm{v} \frac{(x-1)(x+1)+\sqrt{x}(x-1)}{x+\sqrt{x}+1}$ in izpostavimo skupni faktor v števcu: $\frac{(x-1)(x+1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}+1}$. Po krajšanju dobimo $x-1$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Poenostavitev števca: $x^{2}+x \sqrt{x}-\sqrt{x}-1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
| Izpostavljanje skupnega faktorja v števcu: $(x-1)(x+1)+\sqrt{x}(x-1) \ldots \ldots \ldots \ldots . .1$ točka |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| ## Tretji letnik |
| |
| 1. Enačbo uredimo do oblike $x^{2}(a+1)+x(9 a-1)-9 a=0$. Korena enačbe $x_{1}$ in $x_{2}$ sta obratni števili, če velja $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$ ali $x_{1} \cdot x_{2}=1$. Upoštevamo obrazec $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$, pa imamo $\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}=1$. Enačbo uredimo do oblike $b^{2}-D=4 a^{2}$ in uporabimo zvezo $D=b^{2}-4 a c$. Dobimo $a=c$, torej mora biti vodilni koeficient enak stalnemu členu. To za dano enačbo pomeni $a+1=-9 a$, kar prinese rešitev $a=-\frac{1}{10}$. |
| |
| Ureditev enačbe: $x^{2}(a+1)+x(9 a-1)-9 a=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
| Upoštevanje obrazca: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
| Nastavljena enačba iz $x_{1}=\frac{1}{x_{2}} \Rightarrow \frac{2 a}{-b-\sqrt{D}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| 2. Ker ima zmes na začetku temperaturo $180^{\circ}$, velja $180=a \cdot b^{0}+20$, od koder izračunamo $a=160$. Po 1 uri hlajenja ima zmes temperaturo $160^{\circ}$, zato velja $160=a \cdot b+20$, od tod pa dobimo $b=\frac{7}{8}$, če upoštevamo, da je $a=160$. Velja torej formula $T=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20$. |
| |
| Iz enačbe $150=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20$ sledi $\frac{13}{16}=\left(\frac{7}{8}\right)^{t}$, odtod pa dobimo $t=\frac{\log \frac{13}{16}}{\log \frac{7}{8}}=1,555$, kar je 1 ura in 33 minut. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Zapis enačbe za $T=150,150=160 \cdot\left(\frac{7}{8}\right)^{t}+20 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
|  |
| |
| Odgovor: Zmes se ohladi na $150^{\circ} \mathrm{C} 1$ uro in 33 minut po izdelavi. ................ 1 točka |
| |
| 3. Zvezo $c=b-2,5$ vstavimo v obrazec za sinusni izrek. Izrazimo $b=-\frac{2,5 \sin \beta}{\sin \gamma-\sin \beta}$ in izračunamo $b=7,1 \mathrm{~cm}$ ter $c=4,6 \mathrm{~cm}$. |
| |
| Skica .1 točka |
| |
| Zapis ali uporaba sinusnega izreka 1 točka |
| |
| Zveza $c=b-2,5$ vstavljena v sinusni izrek..................................................................... |
| |
| Izražen $b=-\frac{2,5 \sin \beta}{\sin \gamma-\sin \beta}$. |
| |
| Pravilen izračun $b=7,1 \mathrm{~cm}$. . . |
| |
| 4. Prostornina prizme je $V=\frac{e \cdot f}{2} \cdot f$. Daljša diagonala je razdeljena na dela $f_{1}$ in $f_{2}$. Oba dela izrazimo z dolžino $e$ krajše diagonale. Pravokotni trikotnik $D B C$ je enakokrak, zato je $f_{2}=\frac{e}{2}$. Trikotnik $B D A$ je enakostraničen, zato je $f_{1}=\frac{e \sqrt{3}}{2}$, saj je to višina enakostraničnega trikotnika. Torej je dolžina diagonale $f$ enaka $\frac{e \sqrt{3}}{2}+\frac{e}{2}=\frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)$. Prostornina prizme je |
| |
|  |
| $\frac{e \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)}{2} \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)=\frac{e^{3}(2+\sqrt{3})}{4}$. |
| |
| Izražena prostornina $V=\frac{e \cdot f}{2} \cdot f$ .1 točka |
| |
| Izražena $f_{1}=\frac{e \sqrt{3}}{2}$. |
| |
| .1 točka |
| |
| $$ |
| f_{2}=\frac{e}{2} |
| $$ |
| |
| Izražen $f=\frac{e \sqrt{3}}{2}+\frac{e}{2}=\frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)$ .1 točka |
| |
| Izračun $V=\frac{e \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)}{2} \cdot \frac{e}{2}(\sqrt{3}+1)=\frac{e^{3}(3+2 \sqrt{3}+1)}{8}$. .1 točka |
| |
| Rezultat $V=\frac{e^{3}(2+\sqrt{3})}{4}$. |
| |
| 5. Najprej uporabimo pravilo za logaritmiranje količnika: $(\log 1-\log x) \cdot(\log 4-\log x)=$ $\frac{3}{4}(\log 4)^{2}$. Enačbo preuredimo v $(\log x)^{2}-\log x \cdot \log 4-\frac{3}{4}(\log 4)^{2}=0$. Izračunamo diskriminanto kvadratne enačbe $D=4(\log 4)^{2}$, ki ima rešitvi $(\log x)_{1}=\frac{3}{2} \log 4=\log 8$ in $(\log x)_{2}=$ $-\frac{1}{2} \log 4=\log \frac{1}{2}$. Iz teh rešitev dobimo rešitvi dane enačbe: $x_{1}=8$ in $x_{2}=\frac{1}{2}$. |
| |
| Uporaba pravila za logaritmiranje količnika .............................................................................. Urejena kvadratna enačba: $(\log x)^{2}-\log x \cdot \log 4-\frac{3}{4}(\log 4)^{2}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka |
| |
| Izračunana diskriminanta $D=4(\log 4)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
| Rešitvi kvadratne enačbe: $(\log x)_{1}=\log 8,(\log x)_{2}=\log \frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka |
| |
|  |
| |
| ## Četrti letnik |
| |
| 1. Ker je vsak izmed 24 dijakov dosegel v povprečju 74,5 točke, so vsi skupaj dosegli $24 \cdot 74,5=$ 1788 točk. Ko je Rok upošteval tudi svoje točke, je izračunal povprečje 75 točk, zato je 25 dijakov doseglo skupaj $25 \cdot 75=1875$ točk. Razlika $1875-1788$ predstavlja število točk, ki jih je dosegel Rok. Rok je dosegel 87 točk. |
| |
| Pri upoštevanju 24 nalog je vsota vseh točk $24 \cdot 74,5=1788 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 2$ točki |
| |
| Pri upoštevanju 25 nalog je vsota vseh točk $25 \cdot 75=1875 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
| |
| Razlika je 87 točk.......................................................................................................................................... |
| |
| Odgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka |
| |
| 2. Abscise presečišč grafov obeh funkcij dobimo z rešitvijo enačbe $x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}=b x+20$ oziroma $x^{4}-3 x^{3}+a x^{2}-b x-20=0$. Ker vemo, da sta rešitvi $x=5$ in $x=-2$, velja $625-375+25 a-5 b-20=0$ in $16+24+4 a+2 b-20=0$. Enačbi preuredimo v $25 a-5 b+230=0$ in $4 a+2 b+20=0$. Sistem ima rešitev $a=-8$ in $b=6$. Funkciji sta torej $p(x)=x^{4}-3 x^{3}-8 x^{2}$ in $y=6 x+20$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Pravilno reševanje sistema ................................................................................................................. |
| |
|  |
| |
| Zapisani funkciji $p(x)=x^{4}-3 x^{3}-8 x^{2}$ in $y=6 x+20 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka |
| |
| 3. Sestavimo preglednico, v kateri zapisujemo prehojeno pot v metrih. |
| |
| | | Janez | Peter | O b a s k u p a j | | |
| | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | v zadnji minuti | | | | | |
| | 1. minuta | 5 | 100 | 105 | 105 | |
| | 2. minuta | 20 | 90 | 110 | 215 | |
| | 3. minuta | 35 | 80 | 115 | 330 | |
| | 4. minuta | 50 | 70 | 120 | 450 | |
| |
| Janez in Peter se bosta srečala čez 4 minute. |
| |
| Nalogo lahko rešimo tudi drugače. Dolžine poti, ki jih prehodi Janez v zaporednih minutah, predstavljajo člene aritmetičnega zaporedja z $a_{1}=5$ in $d=15$. Podobno velja za Petrovo pot: $a_{1}=100, d=-10$. Vsota doľ̌in poti, ki jih prehodi Janez v času $t$ minut, je enaka $\frac{t}{2}(10+15(t-1))$, vsota dolžin poti, ki jih prehodi Peter, pa $\frac{t}{2}(200-(t-1) \cdot 10)$. Ker skupaj prehodita $450 \mathrm{~m}$, zapišemo enačbo $450=\frac{t}{2}(10+15(t-1))+\frac{t}{2}(200-(t-1) \cdot 10)$, ki jo uredimo v $t^{2}+41 t-180=0$. Pozitivna rešitev enačbe je $t=4$, kar pomeni, da se srečata čez 4 minute. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Odgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 točka |
| |
| 4. Upoštevamo zapisane pogoje in zapišemo enačbe $\frac{a+b}{c+1}=\frac{3}{4}, \frac{2 a+b}{2 c+1}=1$ in $\frac{-a+b}{-c+1}=-\frac{1}{2}$. Odpravimo ulomke in rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami. Dobimo rě̌itev $a=$ $\frac{2}{3}, b=c=\frac{1}{3}$. Zapišemo funkcijo $f(x)=\frac{\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} x+1}$ in zapis poenostavimo $f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}$. |
| |
| Nastavljene enačbe: $\frac{a+b}{c+1}=\frac{3}{4}, \frac{2 a+b}{2 c+1}=1, \frac{-a+b}{-c+1}=-\frac{1}{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .1$ točka Pravilno reševanje sistema |
| |
| 1 točka |
| |
| Rešitev: $a=\frac{2}{3}, b=c=\frac{1}{3}$ $.1+1+1$ točka |
| |
| Zapisana funkcija: $f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}$ |
| |
| 5. Najprej poenostavimo posamezne člene: $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x, \sin (\pi+x)=-\sin x$ in $\mathrm{z}$ uporabo adicijskega izreka še $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)=-\cos x$. Ulomek zapišemo v obliki $\frac{1-\cos x-\sin ^{2} x}{1-\cos x}$. Upoštevamo zvezo $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ in dobimo $\frac{\cos ^{2} x-\cos x}{1-\cos x}$, nato pa v števcu izpostavimo skupni faktor in krajšamo: $\frac{-\cos x(1-\cos x)}{1-\cos x}=-\cos x$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| Izpostavljanje skupnega faktorja in krajšanje: $\frac{-\cos x(1-\cos x)}{1-\cos x} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 1$ točka |
| |
|  |
| |
| |
