Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Odbirno_2017.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

17. tekmovanje v znanju

matematike za dijake srednjih

tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

1. Za realni števili $x$ in $y$, kjer $x \neq y$, poenostavi izraz

$$({\left(\frac{2x+y}{x-y}\right)}^3+1)\cdot (x-y{)}^3:(9x^3-9y^3)\backslash left(\backslash left(\backslash frac\{2\; x+y\}\{x-y\}\backslash right)^\{3\}+1\backslash right)\; \backslash cdot(x-y)^\{3\}:\backslash left(9\; x^\{3\}-9\; y^\{3\}\backslash right)$$

in rezultat zapiši v obliki okrajšanega ulomka.

(10 točk)

2. Marko in France imata vsak svoj sadovnjak z jablanami in hruškami. France ima $20 %$ manj jablan, a 7 hrušk več kot Marko. Skupaj imata 218 dreves. Naslednje leto namerava France na novo posaditi še 22 jablan in 24 hrušk, da bo imel jablan 1,5-krat toliko kot hrušk. Koliko ima letos vsak od njiju jablan in koliko hrušk?

(10 točk)

17. tekmovanje v znanju
    matematike za dijake srednjih
    tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

1. Premica poteka skozi presečišče premic $11 x+3 y-7=0,12 x+y-19=0$ in razpolovišče daljice s krajiščema $A(3,-2)$ in $B(-1,6)$. Zapiši enačbo te premice $\mathrm{v}$ vseh treh oblikah in jih poimenuj. Premico nariši.

(10 točk)

2. Za realno število $x$, kjer $x \notin\left{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1,2\right}$, poenostavi izraz

$${(\frac{3x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}-2x^{-\frac{1}{3}}}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{1}{3}}})}^{-1}-{\left(\frac{1-2x}{3x-2}\right)}^{-1}\backslash left(\backslash frac\{3\; x^\{-\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}\{x^\{\backslash frac\{2\}\{3\}\}-2\; x^\{-\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}-\backslash frac\{x^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}\{x^\{\backslash frac\{4\}\{3\}\}-x^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\}\backslash right)^\{-1\}-\backslash left(\backslash frac\{1-2\; x\}\{3\; x-2\}\backslash right)^\{-1\}$$

in izračunaj njegovo vrednost za $x=\sqrt{3}$. Končni rezultat okrajšaj in po potrebi racionaliziraj imenovalec.

17. tekmovanje v znanju
    matematike za dijake srednjih
    tehniških in strokovnih šol
    Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

1. Dana je pravilna šeststrana piramida z dolžino osnovnega roba $a=10 \mathrm{cm}$ in dolžino stranskega roba $s=13 \mathrm{cm}$.

a) Natančno izračunaj površino piramide.

b) Natančno izračunaj ploščino osnega preseka piramide, ki nastane, če piramido presekamo z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in dve oglišči osnovne ploskve.

(10 točk)

2. Določi, za katere vrednosti parametra $x$ je definiran izraz $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2$, in reši enačbo $\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2=0$.

3. tekmovanje v znanju
   matematike za dijake srednjih
   tehniških in strokovnih šol
   Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

1. a) Reši neenačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}>6-5 x$.

b) Reši enačbo $x^{6}-5 x^{3}=14$.

2. Natančno izračunaj vrednost izraza $\left(\sin \frac{38 \pi}{3}\right)^{5}: 4^{\log _{2} 3-\log _{16} 256}$.

17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Rešitve nalog in točkovnik

(16. MAREC 2017,00:04)

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

Prvi letnik

1. Kubiramo ulomek, tako da kubiramo števec posebej $(2 x+y)^{3}=8 x^{3}+12 x^{2} y+6 x y^{2}+y^{3}$ in imenovalec posebej $(x-y)^{3}=x^{3}-3 x^{2} y+3 x y^{2}-y^{3}$. Poiščemo skupni imenovalec izraza v oklepaju (npr. $x^{3}-3 x^{2} y+3 x y^{2}-y^{3}$ ), tako da število 1 razširimo na skupni imenovalec, ulomka seštejemo in uredimo dobljeni ulomek $\left(\frac{2 x+y}{x-y}\right)^{3}+1=\frac{9 x^{3}+9 x^{2} y+9 x y^{2}}{(x-y)^{3}}$.

Dobljeni ulomek pomnožimo z $(x-y)^{3}$ in dobimo $9 x^{3}+9 x^{2} y+9 x y^{2}$. Deljenje zapišemo $\mathrm{v}$ obliki ulomka in $\mathrm{v}$ števcu izpostavimo skupni faktor $9 x\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$ ter razstavimo imenovalec $9(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$. Ulomek okrajšamo in dobimo rezultat $\frac{x}{x-y}$.

2. Naj ima Marko $x$ jablan in $y$ hrušk. Potem ima France $0,8 x$ jablan in $y+7$ hrušk. Skupaj imata $1,8 x+2 y+7=218$ dreves, dobimo enačbo $1,8 x+2 y=211$. Naslednje leto bo imel France $0,8 x+22$ jablan in $y+31$ hrušk. Ker je jablan 1,5 -krat več kot hrušk, dobimo enačbo $0,8 x+22=1,5(y+31)$. Preoblikujemo v enačbo $1,6 x-3 y=49$. Rešitvi sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama ( $1,8 x+2 y=211$ in $1,6 x-3 y=49$ ) sta $x=85$ in $y=29$. To pomeni, da ima Marko 85 jablan in 29 hrušk, France pa 68 jablan in 36 hrušk. Zapis ali uporaba števila jablan, npr. France ima $0,8 x$ ..... 1 točka Zapis ali uporaba števila hrušk, npr. France ima $y+7$ ..... 1 točka Zveza za vsoto vseh dreves $1,8 x+2 y=211$ ..... 2 točki Zapis enačbe $0,8 x+22=1,5(y+31)$ ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe $1,6 x-3 y=49$ ..... 1 točka Reševanje sistema enačb ..... 1* točka Rešitev $x=85$ in $y=29$ ..... 1 točka Zapisan odgovor (Marko) ..... 1 točka Zapisan odgovor (France) ..... 1 točka

17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Rešitve nalog in točkovnik

(16. MAREC 2017,00:04)

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

Drugi letnik

1. Po reševanju sistema enačb s katerokoli metodo dobimo presečišče $P(2,-5)$. Določimo razpolovišče daljice $A B: S(1,2)$. Izračunamo smerni koeficient $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2+5}{1-2}=-7$.

Vstavimo podatke v enačbo premice npr.: $y-y_{1}=k\left(x-x_{1}\right)$ in po ureditvi dobimo $y=-7 x+9$. Preoblikujemo jo še v preostali dve obliki. Premico narišemo.

Reševanje sistema enačb ..... $1^{*}$ točka Zapis presečišča premic $P(2,-5)$ ..... $1+1$ točka Zapis razpolovišča daljice $A B S(1,2)$ ..... 1 točka Izračun smernega koeficienta $k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2+5}{1-2}=-7$ ..... 1 točka Vstavitev podatkov v enačbo premice ..... 1 točka Zapis eksplicitne oblike enačbe premice $y=-7 x+9$ ..... 1 točka Zapis implicitne oblike enačbe premice $7 x+y-9=0$ ..... 1 točka Zapis odsekovne oblike enačbe premice $\frac{x}{\frac{9}{7}}+\frac{y}{9}=1$ ..... 1 točka Narisana premica ..... 1 točka

2. V imenovalcu ulomka izpostavimo potenco $\mathrm{z}$ najmanjšim eksponentom $\left(\frac{3 x^{-\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{1}{3}}(x-2)}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x-1)}\right)^{-1}-\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}$, krajšamo ulomka, razširimo ulomek v oklepaju na skupni imenovalec in zapišemo obratno vrednost ulomkov $\left(\frac{(x-2)(x-1)}{2 x-1}\right)-\left(\frac{3 x-2}{1-2 x}\right)$. Za tem zopet določimo skupni imenovalec in skrčimo izraz. Tako dobimo ulomek $\frac{x^{2}}{2 x-1}$. Nato vstavimo za $x=\sqrt{3}$ in racionaliziramo imenovalec $\frac{3}{2 \sqrt{3}-1} \cdot \frac{2 \sqrt{3}+1}{2 \sqrt{3}+1}$. Dobimo rešitev $\frac{6 \sqrt{3}+3}{11}$.

Izpostavitev potence $z$ najmanjšim eksponentom v vsakem od prvih dveh

ulomkov $1+1$ točka $\qquad$ Upoštevanje obratne vrednosti ulomkov $\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}=\frac{3 x-2}{1-2 x}$ ..... 1 točka Razširitev ulomkov na skupni imenovalec $2 x-1$ ..... 1 točka

Množenje ulomkov ....................................................................................................................

Opomba 1: Nalogo lahko rešujemo tudi tako, da potence z racionalnim eksponentom spremenimo v korene.

Opomba 2: Namesto izpostavljanja potence $\mathrm{z}$ najmanjšim eksponentom bi lahko za negativni eksponent dobili ulomek.

2. način.

Zapis potence s korenom $x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$ ..... 1 točka Upoštevanje obratne vrednosti ulomkov $\left(\frac{1-2 x}{3 x-2}\right)^{-1}=\frac{3 x-2}{1-2 x}$ ..... 1 točka Razširitev na skupni imenovalec $\frac{(\sqrt[3]{x})^{3}-2}{\sqrt[3]{x}}$ ..... 1 točka Delno korenjenje $\sqrt[3]{x^{4}}=x \cdot \sqrt[3]{x}$ ..... 1 točka Krajšanje ulomkov ..... 1 točka Preoblikovanje prvega člena do oblike $\left(\frac{2 x-1}{(x-2)(x-1)}\right)^{-1}$ ..... 1 točka Izračun ulomka $\frac{x^{2}}{2 x-1}$ ..... 1 točka Racionalizacija imenovalca po vstavitvi $x=\sqrt{3}$ ..... 1 točka Množenje ulomkov ..... $1^{*}$ točka Rešitev $\frac{6 \sqrt{3}+3}{11}$ ..... 1 točka

17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Rešitve nalog in točkovnik

(16. MAREC 2017,00:04)

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

Tretji letnik

1.

a) S pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo višino stranske ploskve piramide $v_{s}=12 \mathrm{cm}$. S pomočjo formule za izračun ploščine osnovne ploskve $S_{o p}=\frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{6 \cdot 10^{2} \sqrt{3}}{4}=150 \sqrt{3}$ $\mathrm{cm}^{2}$ in ploščine plašča $S_{p l}=6 \cdot \frac{a \cdot v_{s}}{2}=6 \cdot \frac{10 \cdot 12}{2}=360 \mathrm{cm}^{2}$ izračunamo površino piramide $P=(150 \sqrt{3}+360) \mathrm{cm}^{2}$. Izračun višíne stranske ploskve piramide $v_{s}=12 \mathbf{c m}$ ..... 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine osnovne ploskve $S_{o p}=\frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ ..... 1 točka Izračun $S_{o p}=150 \sqrt{3} \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine plašča $S_{p l}=6 \cdot \frac{a \cdot v_{s}}{2}$ ..... 1 točka Izračun $S_{p l}=360 \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka Rešitev $P=(150 \sqrt{3}+360) \mathbf{c m}^{2}$ ..... 1 točka

b) Ugotovimo, da je osni presek piramide enakokraki trikotnik s stranicami $20 \mathrm{cm}, 13 \mathrm{cm}$ in 13 $\mathrm{cm}$. S pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo višino trikotnika, ki je osni presek piramide $v_{o p}=\sqrt{69} \mathrm{cm}$. Izračunamo ploščino osnega preseka $S_{o p}=\frac{2 a \cdot v_{o p}}{2}=\frac{20 \cdot \sqrt{69}}{2}=10 \sqrt{69} \mathrm{cm}^{2}$.

Ugotovitev, da je osni presek piramide enakokraki trikotnik s stranicami $20 \mathbf{c m}, 13 \mathbf{c m}$ in $13 \mathbf{~ c m}$ 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun višine trikotnika, ki je osni presek piramide $v_{o p}=\sqrt{69} \mathbf{~ c m}$ 1 točka Zapis ali uporaba formule za izračun ploščine osnega preseka $S_{o p}=\frac{2 a \cdot v_{o p}}{2} \ldots .1$ točka Rešitev $S_{o p}=10 \sqrt{69} \mathbf{c m}^{2}$ 1 točka

2. Izraz je definiran za $x^{2}-2 x-1>0$. Rešimo kvadratno neenačbo in dobimo rešitev $D_{f}=(-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup(1+\sqrt{2}, \infty)$. Enačbo $\log {\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)-2=0$ preoblikujemo do oblike $\log {\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2 x-1\right)=2$. Enačbo rešimo po definiciji logaritma. Dobimo kvadratno enačbo $\frac{1}{4}=x^{2}-2 x-1$. Rešitvi kvadratne enačbe sta $x{1}=\frac{5}{2}, x{2}=-\frac{1}{2}$.

Zapis definicijskega območja $D_{f}=(-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup(1+\sqrt{2}, \infty) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .2$ točki

Reševanje enačbe . ...................................................................................................

17. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol

Odbirno tekmovanje, 16. marec 2017

Rešitve nalog in točkovnik

(16. MAREC 2017,00:04)

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk.

Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen.

Četrti letnik

1.

a) Uredimo neenačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-6>0$. Rešimo enačbo $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-$ $6=0$ in zapišemo realni rešitvi enačbe $x_{1}=-2$ in $x_{2}=3$. Zapišemo rešitev neenačbe $x \in(-\infty,-2) \cup(3, \infty)$.

b) Uredimo enačbo $x^{6}-5 x^{3}-14=0$ in jo razcepimo $\left(x^{3}-7\right)\left(x^{3}+2\right)=0$. Zapišemo realni rešitvi enačbe $x_{1}=\sqrt[3]{7}$ in $x_{2}=-\sqrt[3]{2}$.

a) Ureditev neenačbe $x^{4}-2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-6>0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Reševanje enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1^{*}$ točka

Reševanje enačbe $x^{3}-7=0$ in prva rešitev $x_{1}=\sqrt[3]{7} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Reševanje enačbe $x^{3}+2=0$ in druga rešitev $x_{2}=-\sqrt[3]{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

2. Poenostavimo in izračunamo prvi del izraza:

$${(\sin \frac{38\pi }{3})}^5={\sin }^5(12\pi +\frac{2\pi }{3})={\sin }^5\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^5=\frac{9\sqrt{3}}{32}\backslash left(\backslash sin\; \backslash frac\{38\; \backslash pi\}\{3\}\backslash right)^\{5\}=\backslash sin\; ^\{5\}\backslash left(12\; \backslash pi+\backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{3\}\backslash right)=\backslash sin\; ^\{5\}\backslash left(\backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{3\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash right)^\{5\}=\backslash frac\{9\; \backslash sqrt\{3\}\}\{32\}$$

Poenostavimo in izračunamo drugi del izraza:

$$4^{{\log }_{2}3-{\log }_{16}256}=4^{{\log }_{2}3}:4^{{\log }_{16}256}=2^{{\log }_{2}9}:4^2=\frac{9}{16}4^\{\backslash log\; \_\{2\}\; 3-\backslash log\; \_\{16\}\; 256\}=4^\{\backslash log\; \_\{2\}\; 3\}:\; 4^\{\backslash log\; \_\{16\}\; 256\}=2^\{\backslash log\; \_\{2\}\; 9\}:\; 4^\{2\}=\backslash frac\{9\}\{16\}$$

Izračunamo vrednost danega izraza:

$$\frac{9\sqrt{3}}{32}:\frac{9}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash frac\{9\; \backslash sqrt\{3\}\}\{32\}:\; \backslash frac\{9\}\{16\}=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$$

Upoštevanje periodičnosti $\sin \left(\frac{38 \pi}{3}\right)=\sin \left(12 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ ..... 1 točka Izračun $\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 točka Potenciranje $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5}=\frac{9 \sqrt{3}}{32}$ ..... 1 točka Upoštevanje deljenja potenc $4^{\log _{2} 3-\log _{16} 256}=4^{\log _{2} 3}: 4^{\log _{16} 256}$ ..... 1 točka Zapis $4^{\log _{2} 3}=2^{\log _{2} 9}$ ..... 1 točka Izračun $2^{\log _{2} 9}=9$ ..... 1 točka Izračun $4^{\log _{16} 256}=4^{2}$ ..... 1 točka Izračun $\frac{9}{16}$ ..... 1 točka Množenje ulomkov $\frac{9 \sqrt{3}}{32} \cdot \frac{16}{9}$ ..... 1 točka Rešitev $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ..... 1 točka