| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol <br> Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 <br> Naloge za 1. letnik |
|
|
| Čas reševanja: 45 minut. |
|
|
| 1. (a) V domu za starejše občane so praznovali rojstni dan najstarejše oskrbovanke. Pripravili so 15 litrov napitka iz domačega hruškovega soka, razredčenega z vodo, tako da je bilo v napitku $20 \%$ vode. Ker je bil še vedno presladek, so dolili še 5 litrov vode. Izračunaj delež naravnega soka v $\%$ v dobljenem napitku. |
|
|
| (b) V tem domu imajo na voljo skupaj 141 sob. 70 sob je enoposteljnih, ostale so dvo in troposteljne sobe. Če so vse sobe popolnoma zasedene, je v domu 240 oskrbovancev. Koliko imajo dvoposteljnih in koliko triposteljnih sob? |
|
|
| (10 točk) |
|
|
| 2. Za realni števili $x$ in $y$, kjer $x \neq 0, y \notin\{-2,0,2\}$ in $x+y \neq 0$, poenostavi izraz: |
|
|
| $$ |
| \frac{x y^{2018}+2 x y^{2017}}{y^{2016}-4 y^{2014}} \cdot\left(\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}\right):\left(x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1}\right)\right): \frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}}-\frac{y^{2}+2 y}{y+2} |
| $$ |
|
|
| Čas reševanja: 45 minut. |
|
|
| 1. Dani sta točki $A(-2,1)$ in $B(1,-11)$ v pravokotnem koordinatnem sistemu. |
|
|
| (a) Določi koordinate točke $C$, ki leži na abscisni osi, da bo ploščina trikotnika $A B C$ enaka 64,5 . |
|
|
| (b) Graf linearne funkcije gre skozi točko $A$. Če bi bil smerni koeficient za 3 večji, bi šel graf skozi točko $B$. Določi predpis za to linearno funkcijo. |
|
|
| 2. Poenostavi izraz: |
|
|
| $$ |
| 2\left(x y^{-1}-1\right)^{-p}\left(x^{2} y^{-2}-1\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p} |
| $$ |
|
|
| Za $x=-2, y=-\frac{1}{2}$ in $p=-3$ izračunaj vrednost izraza. |
|
|
| 1. Dan je pravokotni trikotnik $A B C$ (pravi kot $\mathrm{v}$ oglišču $C$ ) s podatki $c=8 \mathrm{~cm}$ in $v_{c}=\sqrt{7}$ $\mathrm{cm}(a>b)$. Natančno izračunaj ploščino trikotnika, polmer trikotniku očrtanega kroga in dolžini katet. |
| |
| (10 točk) |
| |
| 2. Dana je kvadratna funkcija $f$ s predpisom $f(x)=(m-1) x^{2}+m x+m$, kjer $m \neq 1$. |
| |
| (a) Za $m=3$ izračunaj najmanjšo vrednost funkcije $f$. |
| |
| (b) Poišči vsa realna števila $m$, da bo funkcija $f$ strogo negativna za vsak $x$. |
| |
| Čas reševanja: 45 minut. |
| |
| 1. Zadnji člen geometrijskega zaporedja s količnikom 2 je 112, vsota vseh členov pa 217. Koliko členov tega zaporedja moramo sešteti? Izračunaj še prvi člen tega zaporedja. |
| |
| (10 točk) |
| |
| 2. Dana je funkcija s predpisom $f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}$. |
| |
| (a) Izračunaj ničle, pole, asimptoto in nariši graf funkcije $f$. |
| |
| (b) Izračunaj presečiš̌ča grafa funkcije $f$ s premico $y=2$. |
| |
| (c) Določi zalogo vrednosti funkcije $f$. |
| |
|  |
| |
| ## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol |
| |
| Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 |
| |
| ## Rešitve za prvi letnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki: |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami. |
| |
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk. |
| |
| Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen. |
| |
| 1. |
| |
| (a) V 15 litrih soka je $20 \%$ od 15 litrov, torej 3 litri vode. Naravnega soka je torej 12 litrov v 20 litrih napitka, kar pomeni, da je delež naravnega soka $60 \%$. |
| |
| (b) Ugotovimo, da je dvoposteljnih in troposteljnih sob skupaj 141-70 $=71$. Zapišemo $D+T=$ 71. Skupaj je v dvoposteljnih in troposteljnih sobah $2 D+3 T=170$ oskrbovancev. Rešimo sistem enačb in dobimo $D=43$ in $T=28$. |
| |
| Izračun ali ugotovitev, da so prvotno v soku primešani 3 litri vode .................. 1 točka |
| |
|  |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Ugotovimo, da je dvoposteljnih in troposteljnih sob skupaj $141-70=71$........ 1 točka |
| |
| Število oskrbovancev v dvoposteljnih in troposteljnih sobah je 170 ................ 1 točka |
| |
| Zapis sistema enačb ................................................................................................................................................. |
| |
| Reševanje sisema enačb ............................................................................................................ |
| |
| Odgovor .................................................................................................. 1 točka |
| |
| Opomba: Če izračuna, da je v napitku $80 \%$ soka, tudi dobi točko in prve alineje. |
| |
| 2. Števec prvega ulomka $x y^{2018}+2 x y^{2017}$ preoblikujemo $\mathrm{v} x y^{2017}(y+2)$, imenovalec $y^{2016}-$ $4 y^{2014}$ pa preoblikujemo v $y^{2014}(y-2)(y+2)$. Prvi ulomek okrajšamo in dobimo $\frac{x y^{3}}{y-2}$. Izraz $\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}$ preoblikujemo v $\frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{3}}$. Razstavimo vsoto kubov. Izraz $x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1}$ preoblikujemo $\mathrm{v} \frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x y^{2}}$. Izraz $\frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}}$ preoblikujemo v $\frac{x(x+y)^{2}}{x+y}=x(x+y)$. Zadnji ulomek razstavimo in |
| okrajšamo, dobimo $y$. |
| Prvi člen poenostavimo in dobimo $\frac{y^{2}}{y-2}$. Od tega izraza odštejemo $y$ in dobimo $\frac{2 y}{y-2}$. |
| Izpostavljanje $x y^{2018}+2 x y^{2017}=x y^{2017}(y+2)$ ..... 1 točka |
| Izpostavljanje in razstavljanje $y^{2016}-4 y^{2014}=y^{2014}\left(y^{2}-4\right)=y^{2014}(y-2)(y+2)$ ..... 1 točka |
| Preoblikovanje prvega ulomka $\mathbf{v} \frac{x y^{3}}{y-2}$ ..... 1 točka |
| Preoblikovanje $\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}+x^{-1}\right) \mathbf{v} \frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{3}}$ ..... 1 točka |
| Razstavljanje vsote kubov ..... 1 točka |
| Preoblikovanje $x y^{-2}-\frac{1}{y}+x^{-1} \mathbf{v} \frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x y^{2}}$ ..... 1 točka |
| Preoblikovanje $\frac{(x-y)^{2}+4 x y}{1+\frac{y}{x}} \mathbf{v} \frac{x(x+y)^{2}}{x+y}=x(x+y)$ ..... 1 točka |
| Preoblikovanje $\frac{y^{2}+2 y}{y+2} \mathbf{v} y$ ..... 1 točka |
| Upoštevanje deljenja, krajšanje ulomkov, da iz prvega člena dobimo $\frac{y^{2}}{y-2}$ ..... 1 točka |
| Izračun $\frac{y^{2}}{y-2}-y=\frac{2 y}{y-2}$ ..... 1 točka |
| |
| ## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol |
| |
| Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 |
| |
| ## Rešitve za drugi letnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki: |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami. |
| |
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk. |
| |
| Oznaka '*' pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen. |
| |
| 1. |
| |
| (a) Iščemo absciso točke $C(x, 0)$. Uporabimo obrazec za izračun ploščine |
| |
| $$ |
| S=\frac{1}{2} \cdot o \cdot\left|\begin{array}{ll} |
| x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\ |
| x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} |
| \end{array}\right| |
| $$ |
| |
| vstavimo koordinate točk $A, B, C$ in pomnožimo z 2 da dobimo $129=o \cdot\left|\begin{array}{cc}3 & -12 \\ x+2 & -1\end{array}\right|$. Izračunamo determinanto in dobimo zvezo $129=o \cdot(12 x+21)$. Če je orientacija $o=+1$, dobimo rešitev $x_{1}=9$, če pa je orientacija $o=-1$, dobimo rešitev $x_{2}=-\frac{25}{2}$. Za točko $C$ tako dobimo dve možnosti $C_{1}=(9,0)$ in $C_{2}=\left(-\frac{25}{2}, 0\right)$. |
| |
| (b) Ǐščemo linearno funkcijo $f(x)=k \cdot x+n$. Upoštevamo, da gre graf skozi točko $A$ in dobimo enačbo $1=-2 k+n$. Če je $k$ za 3 večji, gre graf skozi $B$ in dobimo enačbo $-14=$ $k+n$. Rešimo dobljeni sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama in dobimo $f(x)=$ $-5 x-9$. |
| |
| Zapis ali uporaba obrazca za izračun ploščine $S=\frac{1}{2} \cdot o \cdot\left|\begin{array}{ll}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1}\end{array}\right| \ldots \ldots .1$ točka |
| |
| Preoblikovanje v enačbo $129=o \cdot(12 x+21)$ ali $129=|12 x+21| \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$. |
| |
|  |
| |
|  |
| |
| Zapis ali uporaba enačbe za linearno funkcijo $f(x)=k \cdot x+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .$. |
| |
|  |
| |
| Enačba, če je $k$ za 3 večji in gre graf skozi $B:-14=k+n \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$. |
| Reševanje sistema enačb ..... 1 točka |
| Zapis $f(x)=-5 x-9$ ..... 1 točka |
| |
| 2. Uredimo prvi oklepaj $\left(x y^{-1}-1\right)^{-p}=\left(\frac{x}{y}-1\right)^{-p}=\left(\frac{x-y}{y}\right)^{-p}=\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p}$ in drugi oklepaj $\left(x^{2} y^{-2}-1\right)^{p}=\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}\right)^{p}$. Oklepaja pomnožimo med seboj, števec drugega oklepaja razstavimo in dobimo produkt $\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p} \cdot\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}\right)^{p}=\left(\frac{y}{x-y}\right)^{p} \cdot\left(\frac{(x-y)(x+y)}{y^{2}}\right)^{p}$. Ker je eksponent obeh oklepajev enak, damo v skupni oklepaj in okrajšamo $\left(\frac{y(x-y)(x+y)}{(x-y) y^{2}}\right)^{p}=\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Dobimo izraz $2\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Odštejemo in dobimo $\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$. Vstavimo vrednosti za $x, y, p$ in dobimo rezultat $\frac{1}{125}$. |
| Zapis potence $\mathbf{z}$ negativnim eksponentom $x y^{-1}=\frac{x}{y}$ ..... 1 točka |
| Zapis v obliki ulomka $x y^{-1}-1=\frac{x-y}{y}$ ..... 1 točka |
| Zapis v obliki ulomka $x^{2} y^{-2}-1=\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}}$ ..... 1 točka |
| Razstavljanje $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$ ..... 1 točka |
| Krajšanje $\frac{y(x-y)(x+y)}{(x-y) y^{2}}=\frac{x+y}{y}$ ..... 2 točki |
| Poenostavljen izraz $2\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}-\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}=\left(\frac{x+y}{y}\right)^{p}$ 1 točka |
| Vstavljene vrednosti spremenljivk $x=-2, y=-\frac{1}{2}$ in $p=-3$. ..... 1* točka |
| Izračun $\frac{-2-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=5$ ..... 1 točka |
| Rezultat $5^{-3}$ ali $\frac{1}{125}$ ..... 1 točka |
| |
| # 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol |
| |
| Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 |
| |
| ## Rešitve za tretji letnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki: |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami. |
| |
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk. |
| |
| Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen. |
| |
| 1. Ploščina trikotnika $A B C$ je $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{8 \sqrt{7}}{2}=4 \sqrt{7} \mathrm{~cm}^{2}$. Polmer trikotniku očrtanega kroga je $R=\frac{c}{2}=4 \mathrm{~cm} . \mathrm{Z} x$ in $c-x$ označimo pravokotni projekciji katet na hipotenuzo $c$. Uporabimo višinski izrek $v_{c}^{2}=x(c-x)$. Dobimo kvadratno enačbo $x^{2}-8 x+7=0$. Rešitvi enačbe sta $x_{1}=7$ in $x_{2}=1$. Z uporabo Pitagorovega izreka za dolžini katet $a$ in $b$ dobimo $a^{2}=7^{2}+(\sqrt{7})^{2}$ in $b^{2}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2}$. Izračunamo dolžini katet $a=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \mathrm{~cm}$ in $b=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. |
| |
| Izračun ploščine trikotnika $S=\frac{c \cdot v_{c}}{2}=\frac{8 \sqrt{7}}{2}=4 \sqrt{7} \mathbf{c m}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Zapis kvadratne enačbe $x^{2}-8 x+7=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
|
|
| Rešitvi kvadratne enačbe sta $x_{1}=7, x_{2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka |
|
|
| Uporaba Pitagorovega izreka $a^{2}=7^{2}+(\sqrt{7})^{2}, b^{2}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ 1 1 točka |
|
|
| Izračun dolžine katet $a=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \mathbf{~ m}, b=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \mathbf{~ c m} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \mathbf{1} \mathbf{1}$ točka |
|
|
| 2. |
|
|
| (a) Najmanjša vrednost kvadratne funkcije je pri $q=\frac{-D}{4 a}$. Izračunamo diskriminanto $D=-15$. Izračunamo najmanjšo vrednost $q=\frac{15}{8}$. |
|
|
| (b) Funkcija $f$ bo negativna za vsak $x$, ko bosta izpolnjena pogoja ( $m-1<0$ ) in $D<0$. Diskriminanta kvadratne funkcije $f$ je $D=m^{2}-4(m-1) m=-3 m^{2}+4 m$. Upoštevamo, da je $D<0$ in dobimo kvadratno neenačbo $-3 m^{2}+4 m<0$. Izračunamo rešitvi kvadratne neenačbe $-3 m^{2}+4 m=0$ in dobimo $m_{1}=0, m_{2}=\frac{4}{3}$. Rešitve kvadratne neenačbe so $m<0$ ali $m>\frac{4}{3}$. Upoštevamo pogoja $(m-1<0)$ in $D<0$ ter dobimo rezuiltat $m<0$. |
| Zapis ali upoštevanje $q=\frac{-D}{4 a}$ ..... 1 točka |
| Izračun diskriminante $D=-15$ ..... 1 točka |
| Izračun najmanjše vrednosti $q=\frac{15}{8}$ ..... 1 točki |
| Zapis ali upoštevanje ( $m-1<0$ ) in $D<0$ ..... 1 točki |
| Zapis ali upoštevanje $D=m^{2}-4(m-1) m=-3 m^{2}+4 m$ ..... 1 točka |
| Zapis ali upoštevanje $-3 m^{2}+4 m<0$ ..... 1 točka |
| Reševanje kvadratne neenačbe ..... $1^{*}$ točka |
| izračun $m_{1}=0, m_{2}=\frac{4}{3}$ ..... 1 točka |
| Zapis ali upoštevanje rešitev kvadratne neenačbe $m<0$ ali $m>\frac{4}{3}$ ..... 1 točka |
| Rezultat $m<0$ ..... 1 točka |
| |
| ## 18. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol |
| |
| Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018 |
| |
| ## Rešitve za četrti letnik |
| |
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
| |
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki: |
| |
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
| |
| Če je kakšen vmesni ali končni rezultat možno prepoznati, uganiti, odčitati iz slike ali izračunati na pamet, tekmovalcu praviloma pripadajo vse predvidene točke. Če pa je rešitev uganjena (do nje ni možno priti brez računanja), tudi zgolj slučajna brez zapisanega preizkusa oziroma dokaza, jo točkujemo z 0 točkami. |
| |
| Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovice možnih točk. |
| |
| Oznaka ${ }^{\prime * \prime}$ pri točkah pomeni, da točko oz. točke tekmovalec lahko dobi za pravilni postopek, čeprav je morda izračun nepravilen. |
|
|
| 1. Po vstavitvi podatkov v splošni člen geometrijskega zaporedja dobimo $112=a_{1} \cdot 2^{n-1}$. Iz enačbe izrazimo prvi člen $a_{1}=\frac{112}{2^{n-1}}=\frac{224}{2^{n}}$. Vstavimo podatke $\mathrm{v}$ obrazec za izračun končne geometrijske vrste in dobimo $217=\frac{a_{1}\left(2^{n}-1\right)}{2-1}$. Vstavimo izražen prvi člen $217=\frac{224}{2^{n}}\left(2^{n}-1\right)$. Po ureditvi enačbe dobimo $\frac{224}{2^{n}}=7$. Preoblikujemo v enačbo $2^{n}=32$. Rešimo eksponentno enačbo $2^{5}=32$ in dobimo rešitev enačbe $n=5$. Sešteti moramo prvih pet členov geometrijskega zaporedja. Izračunamo prvi člen $a_{1}=\frac{112}{2^{4}}=\frac{224}{2^{5}}$ in dobimo rešitev enačbe $a_{1}=7$. |
| |
|  |
| |
| 2. |
| |
| (a) Funkcija ima dvojno ničlo v $x=1$. Pola nima. Vodoravna asimptota je $\mathrm{v} y=1$. Funkcija seka ordinatno os v točki $N(0,1)$. Narišemo graf funnkcije $f$. |
| |
|  |
| |
| (b) Zapišemo enačbo: $\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}=2$. Po ureditvi dobimo enačbo: $x^{2}+2 x+1=0$. Dvojna rešitev te enačbe je $x=-1$. Zapišemo presečišče $P(-1,2)$. |
| |
| (c) Zapišemo zalogo vrednosti funkcije $f$ : $Z_{f}=[0,2]$. |
|
|
|  |
|
|
| Ugotovitev, da funkcija nima pola .............................................................................................................. |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Natančno narisan graf funkcije ................................................................................. |
|
|
| Zapis enačbe $\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ |
|
|
|  |
|
|
| Rešitev enačbe $x=-1$............................................................................................ |
|
|
| Zapis presečišča funkcije s premico $P(-1,2)$........................................... 1 točka |
|
|
|  |
|
|
|
|
