Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Podrocno_2003.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

NALOGE ZA PRVI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišeš v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake od teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

C̆as za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Vrednost izraza $|-3|+||-1|-| 2||$ je: (A) -6 (B) -4 (C) 2 (D) 4 (E) 6

A2. Naravna števila, ki dajo pri deljenju s 7 ostanek 2, zapišemo: (A) $7,2 k, k \in \mathbb{N}$ (B) $2 k+7, k \in \mathbb{N}$ (C) $\frac{2}{7}$ (D) 7,2 (E) $7 k+2, k \in \mathbb{N} \bigcup{0}$

A3. Če izraz $(-x)^{6} \cdot(-x)^{5} \cdot\left(-(-x)^{4}\right)$ poenostavimo, dobimo: (A) $-x^{15}$ (B) $x^{15}$ (C) $x^{120}$ (D) $-x^{120}$ (E) nič od navedenega

A4. Rešitev neenačbe $8-16 x \leq 4 x^{2}-(2 x+1)^{2}$ je: (A) $x>\frac{3}{4}$ (B) $x \leq \frac{3}{4}$ (C) $x \geq \frac{3}{4}$ (D) $x<1$ (E) $0<x \leq \frac{3}{4}$

A5. Bron je zlitina bakra in kositra v razmerju 47 : 3. Koliko kositra je v spomeniku iz brona, ki tehta $350 \mathrm{kg}$ ? (A) $7 \mathrm{kg}$ (B) $21 \mathrm{kg}$ (C) $300 \mathrm{kg}$ (D) $329 \mathrm{~kg}$ (E) nič od navedenega

A6. Vrednost izraza $\frac{2^{1}+2^{0}+2^{-1}}{2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}}$ je enaka: (A) 6 (B) 8 (C) $\frac{31}{2}$ (D) 24 (E) 512

II. DEL

B1. Produkt dveh zaporednih naravnih števil za številom $n$ je za 600 večji od produkta dveh zaporednih naravnih števil pred številom $n$. Določi število $n$. Zapiši rešitev.

B2. Planet Jupiter obkroži Sonce v 12 letih, planet Saturn pa v 30 letih. Leta 1941 sta bila oba na isti strani Sonca in smo ju z Zemlje videli oba skupaj. Katerega leta smo ju nazadnje videli skupaj? Katerega leta se bo dogodek prvič ponovil? Zapiši odgovora.

B3. Izračunaj vrednost izraza $\left(a^{2}-a b+b^{2}\right):\left(2 a^{2}-6 b\right)$, če je $a-b=3$ in $\frac{2(a-b)}{3}-\frac{a+2 b}{9}=1$.

B4. Bazen polnijo tri cevi. Prva cev sama napolni bazen v štirih urah, druga v desetih, tretja pa v dvajsetih urah. Koliko odstotkov bazena je napolnjenega, če vse tri cevi odpremo za dve uri? Zapiši odgovor.

NALOGE ZA DRUGI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišes̆ v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake od teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Enačba premice, ki poteka skozi točko $A(\pi, 0)$ ter presečišče premic $y=\pi-2 x$ in $y=\pi-\frac{x}{2}$, je: (A) $y=2 x+\pi$ (B) $y=-x+\pi$ (C) $y=x-\pi$ (D) $y=2 \pi$ (E) nič od navedenega

A2. Za premico z enačbo $\frac{3 x}{2}-\frac{y}{3}=1$ velja: (A) odreže odsek $\frac{3}{2}$ na osi $x$ in $-\frac{1}{3}$ na osi $y$ (B) odreže odsek 2 na osi $x$ in -3 na osi $y$ (C) odreže odsek $\frac{2}{3}$ na osi $x$ in 3 na osi $y$ (D) odreže odsek $\frac{2}{3}$ na osi $x$ in -3 na osi $y$ (E) ne seka osi $x$

A3. Za kateri $n$ velja enakost $3^{2002}-3^{2001}+3^{2000}-3^{1999}=n\left(3^{1999}\right)$ ? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) ne obstaja takšen $n$

A4. Če izraz $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ poenostavimo, dobimo: (A) $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ (B) $x+y$ (C) $2 x-y$ (D) $x y$ (E) $\sqrt{x}-\sqrt{y}$

A5. Suplementarni kot kota $\alpha$ meri $78^{\circ} 18^{\prime} 53^{\prime \prime}$. Kot $\alpha$ meri: (A) $102^{\circ} 42^{\prime} 7^{\prime \prime}$ (B) $12^{\circ} 42^{\prime} 7^{\prime \prime}$ (C) $11^{\circ} 41^{\prime} 7^{\prime \prime}$ (D) $53^{\circ}$ (E) nič od navedenega

A6. Za koliko odstotkov se poveča oziroma zmanjša ploščina pravokotnika, če eno stranico podaljšamo za $20 %$ njene dolžine, drugo pa skrajšamo za četrtino njene dolžine? (A) Poveča se za $5 %$. (B) Zmanjša se za $10 %$. (C) Poveča se za $15 %$. (D) Zmanjša se za $1 %$. (E) Ploščina se ne spremeni.

II. DEL

B1. V enačbi premice $x+m y-4=0$ določi $m$ tako, da bo razdalja med presečiščema premice $\mathrm{s}$ koordinatnima osema enaka $2 \sqrt{5}$.

B2. Če koren nekega števila delimo z $\frac{1}{2}$, dobimo ravno toliko, kot če število zmanjšamo za 3. Katero število je to? Ali je takih števil več?

B3. V trikotniku ABC meri kot $\alpha=58^{\circ}$ in kot $\beta=84^{\circ}$. Koliko meri kot $x$ med simetralo kota $\gamma$ in višino na stranico $c$ ?

B4. Izračunaj natančno, brez uporabe žepnega računala: $\frac{(-2)^{-3}}{(-0,2)^{3}}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} \cdot(-3)^{-2} \cdot 0,1^{-1}$.

NALOGE ZA TRETJI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišes̆ v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake od teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

I. DEL

A1. Dana je funkcija s predpisom $f(x)=-2(x+3)^{2}+2$. Katera trditev je pravilna?

(A) Funkcija je povsod padajoča.

(B) Teme je v točki $T(3,2)$.

(C) Funkcija nima realnih ničel.

(D) Graf je parabola, ki je zrcalno simetrična glede na premico $x=-3$.

(E) Nobena izmed navedenih trditev ni pravilna.

A2. Na danem grafu je prikazana funkcija: (A) $f(x)=x^{3}$ (B) $f(x)=-x^{3}+1$ (C) $f(x)=x^{3}-1$ (D) $f(x)=x^{2}$ (E) nič od navedenega

A3. Rešitev enačbe $\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x+5}=\sqrt{9^{6 x-3}}$ je: (A) $x=-\frac{1}{2}$ (B) $x=-\frac{1}{4}$ (C) $x=\frac{1}{4}$ (D) $x=\frac{1}{2}$ (E) $x=1$

A4. Za števili $a=\log _{3} x$ in $b=\log _{4} x$ velja: (A) $a<b$ za vsak $x>1$ (B) $a>b$ za vsak $x>1$ (C) $a \neq b$ za vsak $x>0$ (D) $a \log 4=b \log 3$ za vsak $x>0$ (E) $a b=\log _{12} x$ za vsak $x>0$

A5. Koliko je $a$, če ima enac̆ba $x^{2}=3(a x-3)$ natanko eno realno rešitev? (A) $a=2$ ali $a=-2$ (B) $a$ je lahko le 2 (C) $a=4$ (D) $a=6$ ali $a=-6$ (E) $a=\frac{2}{3}$

A6. Funkcija $f(x)=\frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}+6 x+9}$ spremeni predznak: (A) nikoli (B) enkrat (C) dvakrat (D) trikrat (E) štirikrat

II. DEL

B1. Krogu s ploščino $100 \pi \mathrm{cm}^{2}$ včrtamo pravokotnik, katerega dolžini stranic se razlikujeta za $4 \mathrm{~cm}$. Izračunaj ploščino pravokotnika.

B2. Koliko je $12 %$ od števila $\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}+2^{-\log _{10} 0,01}$ ? Zapiši odgovor.

B3. Skiciraj graf funkcije $f(x)=\frac{x(x+1)}{x+2}$.

B4. Pokaži, da je polinom $p(x)=x^{4}-2 x^{3}+5 x^{2}-4 x+4$ enak kvadratu nekega polinoma.

NALOGE ZA ČETRTI LETNIK

Pred teboj sta dva sklopa nalog. Naloge od 1 do 6 prvega sklopa rešuješ tako, da na tem listu izmed predlaganih petih odgovorov izbereš pravilnega in ga vpišes̆ v preglednico pod ustrezno zaporedno številko. Le en odgovor je pravilen. Pravilni odgovor bo ovrednoten z dvema točkama, medtem ko ti bomo za vpisan nepravilni odgovor eno točko odšteli.

Naloge od 1 do 4 drugega sklopa rešuješ na priloženi papir. Rešitev vsake od teh nalog bo ocenjena z 0 do 6 točkami. Na liste, kjer boš reševal(a) naloge, se ne podpisuj, napiši le svojo šifro. Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno.

Čas za reševanje je 90 minut.

DRŽAVNA TEKMOVALNA KOMISIJA TI ŽELI VELIKO USPEHA.

$\mathrm{A} 1$	$\mathrm{~A} 2$	$\mathrm{~A} 3$	$\mathrm{~A} 4$	$\mathrm{~A} 5$	$\mathrm{~A} 6$

I. DEL

A1. Katera kocka je razgrnjena v mrežo? (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

A2. Največja vrednost funkcije $g(x)=24-5 \sin x$ je:

(A) 14 (B) 19 (C) 24 (D) 34 (E) nič od navedenega

A3. Telesna diagonala kocke z robom $a$ je dolga: (A) $3 a$ (B) $a^{3}$ (C) $a \sqrt{2}$ (D) $a \sqrt{3}$ (E) nič od navedenega

A4. Tričleno naraščajoče aritmetično zaporedje s srednjim členom 10 postane geometrijsko, če ta člen zmanjšamo za 2. Sklepamo: (A) aritmetično zaporedje je $3,10,17$ (B) aritmetično zaporedje je $4,10,16$ (C) geometrijsko zaporedje je $8,8,8$ (D) geometrijsko zaporedje je $1,8,64$ (E) iz aritmetičnega zaporedja na opisani način ni mogoče dobiti geometrijskega

A5. V skupini 20 fantov tehta vsak povprečno $62 \mathrm{kg}$. Če se fantom pridruži še učitelj, je vsak v povprečju težak $63 \mathrm{kg}$. Koliko tehta učitelj? (A) $62 \mathrm{kg}$ (B) $73 \mathrm{kg}$ (C) $83 \mathrm{kg}$ (D) $93 \mathrm{kg}$ (E) ni mogoče izračunati

A6. Če izraz $\left(\frac{\cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}+\frac{\sin \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}\right):(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha-1)$ poenostavimo, dobimo: (A) $\sin ^{2} \alpha+\cos \alpha$ (B) $\sin \alpha+\cos \alpha$ (C) $\operatorname{tg} \alpha$ (D) $\operatorname{ctg} \alpha-1$ (E) 1

II. DEL

B1. Dani so izrazi $\frac{x+3}{x^{2}-4}, \frac{x-1}{x-2}$ in $\frac{x+3}{x+2}$. Določi $x$ tako, da bo drugi izraz aritmetična sredina prvega in tretjega.

B2. Izračunaj $\sin (2 \alpha+\pi)$, če je $\sin \alpha=\frac{5}{13}$ in je $\alpha$ ostri kot.

B3. V mestni bolnišnici leži 120 bolnikov. Po jutranjem merjenju srčnega utripa je glavna sestra meritve uvrstila v 8 frekvenčnih razredov. Izračunaj aritmetično sredino meritev in standardni odklon.

Stevilo utripov na minuto	Frekvenca
$60-64,9$	23
$65-69,9$	16
$70-74,9$	15
$75-79,9$	32
$80-84,9$	24
$85-89,9$	6
$90-94,9$	2
$95-99,9$	2

B4. Dana je krožnica $k$ s polmerom $R$. Na premeru $A B$ sta taki točki $C$ in $D$, da velja $|A C|=|C D|=|D B|$. Nad $A C$ in $A D$ sta narisani polkrožnici na eni strani daljice $A B$, nad $D B$ in $C B$ pa na drugi strani (glej sliko). Izrazi ploščino osenčenega lika z $R$.

Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi k rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.

Prvi letnik

I. DEL

Naloga	A1	A2	A3	A4	A5	A6
Odgovor	D	E	B	C	B	B

A1. D

A2. E

A3. B

A4. Neenačbo preoblikujemo v $8-16 x \leq-4 x-1$, ki ima rešitev $x \geq \frac{3}{4}$.

A5. Zaradi razmerja $47: 3$ je v $50 \mathrm{kg}$ brona $3 \mathrm{kg}$ kositra, v $350 \mathrm{kg}$ brona pa $21 \mathrm{kg}$ kositra.

A6. B

II. DEL

B1. Naj bo iskano naravno s̆tevilo $n$. Tedaj je $(n-2) \cdot(n-1)+600=(n+1) \cdot(n+2)$, od koder dobimo $n^{2}-3 n+2+600=n^{2}+3 n+2$ in izrazimo $n=100$.

Zapisano zaporedje naravnih števil: $n-2, n-1, n, n+1, n+2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Odprava oklepajev.................................................................................................................................................

Odgovor . ..........................................................................................................

B2. Ker je najmanjši skupni večkratnik števil 12 in 30 enak 60, vidimo Jupiter in Saturn skupaj na isti strani Sonca vsakih 60 let. Nazadnje je bilo to leta $1941+60=2001$, prvič pa se bo dogodek ponovil leta $2001+60=2061$.

Zapisana odgovora ...............................................................................................

B3. Iz $a-b=3$ izrazimo $a=b+3$ in vstavimo v enačbo $\frac{2(a-b)}{3}-\frac{a+2 b}{9}=1$, od koder dobimo $b=2$ in je torej $a=5$. Izračunani vrednosti vstavimo v izraz $\left(a^{2}-a b+b^{2}\right):\left(2 a^{2}-6 b\right)$ in dobimo rezultat $\frac{1}{2}$.

Zapis $a=b+3$ .1 točka

Vstavitev neznanke $a$ v enačbo $\frac{2(a-b)}{3}-\frac{a+2 b}{9}=1$ .1 točka

(Oziroma pravilno reševanje sistema .........................................................................................................

Za izračunano neznanko $b=2$....................................................................................................................

Vstavljanje vrednosti za $a$ in $b$.......................................................................................................

Rezultat: $\frac{1}{2}$ (ulomek mora biti okrajšan) ...............................................................

B4. V eni uri napolni prva cev $\frac{1}{4}$ bazena, druga $\frac{1}{10}$ in tretja $\frac{1}{20}$ bazena. Če vse tri cevi odpremo za dve uri, napolnijo $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{8}{10}$ bazena, kar je $80 %$.

Pravilen zapis za vse tri cevi v eni uri..............................................................................................

Pravilen zapis za vse tri cevi v dveh urah .............................................................................................................

Zapisan odgovor . .............................................................................................

Drugi letnik

I. DEL

Naloga	A1	A2	A3	A4	A5	A6
Odgovor	B	D	C	A	E	B

A1. Premici z enačbama $y=\pi-2 x$ in $y=\pi-\frac{x}{2}$ se sekata v točki $B(0, \pi)$. Enačba premice skozi točki $A(\pi, 0)$ in $B(0, \pi)$ je $y=-x+\pi$.

A2. Dano enac̆bo premice lahko preoblikujemo v odsekovno obliko $\frac{x}{\frac{2}{3}}+\frac{y}{-3}=1$, od koder preberemo odseka: $\frac{2}{3}$ na osi $x$ in -3 na osi $y$.

A3. Če na levi strani enakosti izpostavimo $3^{1999}$, dobimo $3^{1999} \cdot\left(3^{3}-3^{2}+3-1\right)=20 \cdot 3^{1999}$.

A4. Izraz v s̆tevcu zapišemo kot razliko kvadratov, ki jo razstavimo: $\frac{(\sqrt{x})^{2}-(\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$ $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$.

A5. Suplementarni kot kota $78^{\circ} 18^{\prime} 53^{\prime \prime}$ je $101^{\circ} 41^{\prime} 7^{\prime \prime}$, zato je pravilen odgovor (E).

A6. Ploščina pravokotnika s stranicana $1.2 a$ in $0.75 b$ je $\frac{12}{10} \frac{3}{4} \cdot a b=\frac{9}{10} \cdot a b$, torej je za $10 %$ manjša od ploščine pravokotnika s stranicama $a$ in $b$.

B1. Očitno mora biti $m \neq 0$, sicer premica ne bi sekala ordinatne osi. Pri tem pogoju premica seka ordinatno os $\mathrm{v}$ točki $N\left(0, \frac{4}{m}\right)$. Abscisno os seka v točki $M(4,0)$. Veljati mora $\sqrt{16+\frac{16}{m^{2}}}=2 \sqrt{5}$, od koder izrazimo $m^{2}=4$ oziroma $m= \pm 2$.

Presečišči s koordinatnima osema: $N\left(0, \frac{4}{m}\right)$ in $M(4,0)$

$1+1$ točka

Točki, vstavljeni v obrazec $d(M, N)=\sqrt{16+\frac{16}{m^{2}}}=\sqrt{\frac{16 m^{2}+16}{m^{2}}}$ 1 točka

OPOMBA: če ne zapiše obeh rešitev, zadnje točke ne dobi

B2. Enačbo $\sqrt{x}: \frac{1}{2}=x-3$ preoblikujemo v $x^{2}-10 x+9=0$, ki ima rešitvi $x_{1}=9$ in $x_{2}=1$. Število 9 ustreza pogoju naloge, saj je $\sqrt{9}: \frac{1}{2}=9-3$, število 1 pa ne, saj imamo $\sqrt{1}: \frac{1}{2} \neq 1-3$.

Rešitvi kvadratne enačbe $x^{2}-10 x+9=0 ; x_{1}=9, x_{2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Preizkus.................................................................................................................................................

Odgovor: Iskano število je 9. ......................................................................................

B3. Kot $x$ lahko izračunamo na dva načina, in sicer $x=\frac{\gamma}{2}-$ $\left(90^{\circ}-\beta\right)=19^{\circ}-6^{\circ}=13^{\circ}$ ali $x=90^{\circ}-\alpha-\frac{\gamma}{2}=32^{\circ}-19^{\circ}=$ $13^{\circ}$.

Ustrezna skica ............................................................................................................................................

B4. Računamo: $\frac{(-2)^{-3}}{(-0,2)^{3}}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} \cdot(-3)^{-2} \cdot 0,1^{-1}=\frac{-\frac{1}{8}}{-\frac{1}{125}}-\frac{125}{8} \cdot \frac{1}{9} \cdot 10=\frac{125}{8} \cdot\left(1-\frac{10}{9}\right)=$ $-\frac{1}{9} \cdot \frac{125}{8}=-\frac{125}{72}$.

Odprava dvojnega ulomka .........................................................................................................................

Razširjanje na skupni imenovalec .................................................................................... 1 .

Tretji letnik

I. DEL

Naloga	A1	A2	A3	A4	A5	A6
Odgovor	D	C	B	B	A	C

A1. Iz zapisa funkcije vidimo, da je njen graf parabola s temenom $T(-3,2)$ in je zrcalno simerična glede na premico $x=-3$.

A2. C

A3. Enačbo preoblikujemo v $3^{-2 x-5}=3^{6 x-3}$, zato je $-2 x-5=6 x-3$, odtod pa $x=-\frac{1}{4}$.

A4. Logaritemska funkcija z višjo osnovo počasneje narašča kot funkcija z nižjo osnovo, zato je $a>b$ za vsak $x>1$.

A5. Dano enačbo preoblikujemo v $x^{2}-3 a x+9=0$. Njena diskriminanta je $D=9 a^{2}-36$ in je enaka nič, če je $a=2$ ali $a=-2$.

A6. Ker je $f(x)=\frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}+6 x+9}=\frac{(x+4)(x+1)}{(x+3)^{2}}$, ima graf te racionalne funkcije dve ničli prve stopnje in en pol druge stopnje, zato dvakrat spremeni predznak.

II. DEL

B1. Iz $\pi r^{2}=100 \pi$ izračunamo $r=10 \mathrm{cm}$, nato pa uporabimo Pitagorov izrek: $a^{2}+(a+4)^{2}=(2 r)^{2}$. Od tod izračunamo $a_{1}=12$ in $a_{2}=-16$. Upoštevamo le pozitivno rešitev: stranici pravokotnika sta dolgi $12 \mathrm{cm}$ in $16 \mathrm{cm}$, njegova ploščina je $192 \mathrm{cm}^{2}$.

Ko Pitagorov izrek preoblikujemo v kvadratno enačbo $a^{2}+$ $4 a-192=0$, vidimo, da je $a(a+4)=192$. Slednje je ravno zapis ploščine pravokotnika s stranicama $a$ in $a+4$. Ne da bi izračunali dolžini stranic, vemo, da je ploščina $192 \mathrm{~cm}^{2}$.

Ploščina pravokotnika $S=12 \cdot 16=192 \mathrm{~cm}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

B2. Izračunamo najprej $\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}+2^{-\log _{10} 0,01}=\sqrt[3]{1}+2^{\log _{10} 100}=1+4=5$, nato pa poiščemo $\frac{12}{100} \cdot 5=\frac{3}{5}$.

Vrednost izraza 5 ............................................................................................................................................

B3. Iz zapisa $f(x)=\frac{x(x+1)}{x+2}$ vidimo, da ima graf funkcije ničli $x_{1}=0$ in $x_{2}=-1$ ter pol $x_{p}=-2$. Če zapis preoblikujemo $\mathrm{v} f(x)=x-1+\frac{2}{x+2}$ ugotovimo, da ima graf funkcije asimptoto $y=x-1$ in da le-te ne seka. Nato še skiciramo graf.

$\mathrm{Pol}-2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Izračunana asimptota $y=x-1 \ldots \ldots \ldots .1$ točka

Narisana asimptota ......................... 1 točka

Skiciran graf (vsaka veja grafa)........1.1 1 točka

B4. Če zapišemo $p(x)=(q(x))^{2}$, domnevamo, da je $q(x)=x^{2}+a x \pm 2$. Tedaj je $(q(x))^{2}=$ $x^{4}+2 a x^{3}+\left(a^{2} \pm 4\right) x^{2} \pm 4 a x+4$. Če primerjamo koeficienta pri $x^{3}$ polinomov $p(x)$ in $(q(x))^{2}$, ugotovimo, da mora biti $a=-1$, če pa primerjamo še koeficienta pri $x^{2}$ oziroma $x$, ugotovimo, da ima stalni člen polinoma $q(x)$ pozitiven predznak. Imamo torej eno samo rešitev: $p(x)=\left(x^{2}-x+2\right)^{2}$.

Primerjava koeficientov $2 a=-2, a^{2} \pm 4=5, \pm 4 a=-4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Četrti letnik

I. DEL

Naloga	A1	A2	A3	A4	A5	A6
Odgovor	C	E	D	B	C	B

A1. C

A2. Največja vrednost funkcije $g(x)$ je 29 , zato je pravilen odgovor (E).

A3. D

A4. Tričleno naraščajoče aritmetično zaporedje s srednjim členom 10 lahko zapišemo $10-d, 10$, $10+d$, kjer je $d>0$. Ustrezno geometrijsko zaporedje je $10-d, 8,10+d$ in velja $\frac{8}{10-d}=\frac{10+d}{8}$, od koder je $d^{2}=36$, zaradi pogoja $d>0$ pa imamo le rešitev $d=6$. Aritmetično zaporedje je torej $4,10,16$.

A5. Vsi fantje skupaj tehtajo $20 \cdot 62=1240 \mathrm{kg}$, skupaj z učiteljem pa $21 \cdot 63=1323 \mathrm{kg}$. Učitelj tehta $83 \mathrm{~kg}$.

A6. Pišemo: $\left(\frac{\cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}+\frac{\sin \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}\right):(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha-1)=\left(\frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos \alpha}\right):\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}-1\right)=$

II. DEL

B1. Pogoju naloge je zadoščeno, če velja $\frac{x-1}{x-2}=\frac{\frac{x+3}{x^{2}-4}+\frac{x+3}{x+2}}{2}$, enačbo pa lahko preuredimo $\mathrm{v}$ $x^{2}=1$, ki ima rešitvi $x_{1}=1$ in $x_{2}=-1$.

Pogoj $x \neq \pm 2$.................................................................................................................................................

Odprava ulomkov ........................................................................................................................................

Pravilno reševanje enačbe ......................................................................................................................................

Sklep $x^{2}-1=0$................................................................................................................................

B2. Ker je $\alpha$ oster kot, je $\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\frac{12}{13}$. Nato izračunamo $\sin (2 \alpha+\pi)=-\sin 2 \alpha=$ $-2 \sin \alpha \cos \alpha=-2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}=-\frac{120}{169}$.

B3. Najprej izračunamo sredine razredov, nato pa $\bar{x}=\frac{1}{120} \cdot(62.45 \cdot 23+67.45 \cdot 16+72.45$. $15+77.45 \cdot 32+82.45 \cdot 24+87.45 \cdot 6+92.45 \cdot 2+97.45 \cdot 2)=\frac{1}{120} \cdot 8964=74.7$. Po formuli $\sigma=\sqrt{\frac{1}{120} \cdot\left(23 \cdot(74.7-62.45)^{2}+16 \cdot(74.7-67.45)^{2}+\cdots+2 \cdot(74.7-97.45)^{2}\right)}=8.5$ izračunamo še standardni odklon.

Izračunana sredina razredov...........................................................................................................

Poznavanje obrazca za aritmetično sredino ............................................................................................................................

Rezultat $\bar{x}=74.7$...........................................................................................................................

Poznavanje obrazca za standardni odklon .......................................................................................................................

Postopek . ................................................................................................................................................

B4. Ploščina osenčenega lika iz naloge je enaka ploščini osenčenega lika na desni sliki, to je razliki med ploščino kroga s polmerom $\frac{2}{3} R$ in ploščino kroga s polmerom $\frac{1}{3} R$ : $S=\pi\left(\frac{4}{9} R^{2}-\frac{1}{9} R^{2}\right)=\frac{\pi}{3} R^{2}$.

Zveza $r_{2}=\frac{2}{3} R \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka Poznavanje obrazca za ploščino kroga ......................................................... Sklep $S=\pi r_{2}^{2}-\pi r_{1}^{2}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

$=\pi\left(\frac{4}{9} R^{2}-\frac{1}{9} R^{2}\right)=\frac{\pi}{3} R^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka